2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题(含答案)

这是一份2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数（，a，）满足为纯虚数，则( )
A.B.C.D.
3．样本数据5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位数次为( )
A.7B.9C.9.5D.10
4．若，，成等比数列，则公比为( )
A.B.C.D.2
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为( )
A.B.C.D.
6．在中，，，则( )
A.B.C.D.1
7．已知正方体的棱长为2，P为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知抛物线C的方程为,F为其焦点，点N坐标为，过点F作直线交抛物线C于A,B两点，D是x轴上一点，且满足，则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，则下列判断正确的是( )
A.若，且，则
B.若，且，则
C.是偶函数
D.在区间上单调递增
10．已知O为坐标原点，点,,.若点C满足，,则下列判断错误的是( )
A.B.面积的最大值为
C.D.
11．已知正方体的棱长为1,M是中点，P是的中点，点N满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，,则下列判断正确的是( )
A.时，截面面积为B.时，
C.随着的增大先减小后增大D.的最大值为
三、填空题
12．是在处的切线方程，则_________.
13．1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点，,动点P满足，则面积的最大值为_________.
14．已知，是实数，满足，当取得最大值时，_________.
四、解答题
15．设数列为等差数列，前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前n项和为，求.
16．乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜.
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队赢得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望.（参考数据）
17．已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，,,，,平面与底面的交线为直线l.
（1）若，证明：；
（2）若三棱锥的体积为，Q为交线l上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围.
18．已知双曲线P的方程为，,,其中，是双曲线上一点，直线与双曲线P的另一个交点为E，直线与双曲线P的另一个交点为F，双曲线P在点E,F处的两条切线记为,,与交于点P，线段的中点为G，设直线,的斜率分别为,.
（1）证明：；
（2）求的值.
19．记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线.已知函数,.
（1）若，证明：对任意,；
（2）若，,证明：在上的“最接近”直线为：，其中且为二次方程的根.
参考答案
1．答案：B
解析：，.
，故选B.
2．答案：A
解析：.
，.故选A.
3．答案：D
解析：，数据4，5，6，7，9，10，11，12的第70百分位数为10.故选D.
4．答案：B
解析：，y，z成等比数列.，即，.，
，公比为，故选B.
5．答案：C
解析：先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为，设过件A为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，.故选C.
6．答案：C
解析：，，两式相减，得，.由正弦定理，得，，故选C.
7．答案：C
解析：如图，连接，交于点E，点E为的外心.
连接,交于点F，易知平面,三棱锥的外接球球心O在上.
设的外接圆内心为,平面，且.
设的外接圆半径为r.三棱锥的外接球半径为R，.
设，，，
，
又.
.
设，设.则.
又，易知，，.故选C.
8．答案：B
解析：设，，，直线方程为：，联立直线与抛物线方程，可得.
又，故，是方程的解.
将代入方程，得.
，，即.故选B.
9．答案：AD
解析：
10．答案：ACD
解析：，，则点C在劣弧上，或者在优弧上.
或者，故A错误；，故B正确；取，故C错误；
点C在劣弧上时，.点C在优弧上时.,错误.故选ACD.
11．答案：BCD
解析：如图1，当时，截面为正六边形.且棱长为，故截面面积为,A错误；
由对称性可知.当时.平面分两部分体积相等，B正确；
如图2.当从0变化到1时.截面从四边形变化至五边形（其中J为靠近B点的三等分点）.被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C正确.
取最大值时对应为，或时情形.计算可知，当,时，,的最大值为，故D正确.故选BCD.
12．答案：
解析：
13．答案：3
解析：
14．答案：5
解析：.
.
，.
取等条件：，或，.
15．答案：（1）略
（2）
解析：（1）略
（2）.
.
16．答案：略
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意：，，F分别为棱,的中点，.
,,
为等边三角形，E为中点.
.
又,,平面，
平面.
平面,.
（2）如图，在底面内过点A作的平行线即面与底面的交线l.
由题意可得，即.
故底面的面积为.
设底面上的高为h，则，于是.
注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点D.
连接，则，从而平面.
取中点M，连接，则.
于是，以点D为坐标原点.分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，,,,,,,
于是,,.
设平面的一个法向量为.
则即.
解得即，
由线面所成角的定义可知，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）略
解析：（1）证明：，，
又在双曲线上，.
，
由可知.
（2）略.
19．答案：略