2024年山东省济南市长清区九年级数学中考模拟预测题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山东省济南市长清区九年级数学中考模拟预测题（原卷版+解析版），文件包含精品解析2024年山东省济南市长清区九年级数学中考模拟预测题原卷版docx、精品解析2024年山东省济南市长清区九年级数学中考模拟预测题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
1. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）

A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿年年年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
4. 下面运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式运算，掌握“，， ．”及合并同类型法则是解题的关键．
【详解】解：A．结论正确，符合题意；
B．，结论错误，不符合题意；
C．，结论错误，不符合题意；
D．，结论错误，不符合题意；
故选：A．
5. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 是轴对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不符合题意；
C. 是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．
【详解】由数轴可知，
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项正确；
∴，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断解题关键．
7. 为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A. 这组数据的众数是B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是D. 这组数据的方差是
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解．
【详解】解：、这组数据中出现次数最多的是，故众数是，正确，不符合题意；
、这组数据重新排序为：，，，，，， ， ， ，，故中位数是，错误，符合题意；
、这组数据平均数是，故平均数是，正确，不符合题意；
、这组数据的平均数是，方差是，故方差是，正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握众数的概念，中位数，平均数，方差的计算方法是解题的关键．
8. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
9. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．若二次函数的图像在的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出答案．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，共24分．
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______ 个
【答案】
【解析】
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意：设棋子的总数为个
解得
故答案为：20．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13. 已知关于的一元二次方程的一个实数根，则另一个根是______
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．先把代入原方程即可解出m的值，再解方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴把代入原方程，得，
∴，
∴原方程为，
，
或，
解得或，
故答案为：．
14. 如图，正八边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______ 结果保留．
【答案】
【解析】
【分析】本体考查了正多边形的性质，多边形的内角和，扇形面积；由正多边形的性质和多边形的内角和公式得，可求出，再由扇形面积公式即可求解；掌握多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
；
故答案为：．
15. 在刚刚结束的校运动会上，甲和乙赛跑，开始甲在乙的前方米处，两人同时起跑，甲的速度为每秒米，乙的速度为每秒米，如图是两人跑步的路程关于跑步时间的函数图象，则两图象交点的坐标为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，先根据题意可知点P的横坐标为甲、乙两人相遇的时间，纵坐标为两人相遇时所走的路程，据此列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，
∴两图象交点的坐标为，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】②③④
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【详解】解：∵，，
∴，
在点P移动过程中，不一定，
相矛盾，
故①不正确；

延长交于点H,
则为矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，
，
即当的最小值，作B、D关于的对称点,
把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,
这时，
即的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
四、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，实数的混合计算，先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．
【详解】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
19. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出．
【详解】证明：∵四边形平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．
20. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面上点的距离为80米，从点测得点的俯角为，楼顶点的俯角为，已知点与大楼的距离为70米（点、、、在同一平面内），求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】大楼的高度为．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求得，，可得，，据此求解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，
∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴大楼的高度为．
21. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69，74，54；
（2）见解析 （3）大约有1725名学生达到适宜心率．
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
（2）根据样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
∴中位数为；
∵74出现的次数最多，
∴众数是74；
，
∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是；
故答案为：69，74，54；
【小问2详解】
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
【小问3详解】
（人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．
22. 如图，为四边形的对角线，，，，的外接圆交于点，所对的圆心角的度数为．
（1）求证：是的外接圆的切线；
（2）若的外接圆的半径为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．
（1）连接．证出．由切线的判定可得出结论；
（2）连接．求出的度数，由弧长公式可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，设圆心为点，连接．
所对圆心角的度数为，
，
，
，
，
．
．
，
是的直径．
是的半径．
是外接圆的切线；
【小问2详解】
解：连接．
，，
．
，
，
．
的长．
23. 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元．
（1）求，两种商品每件的利润；
（2）已知商品的进价为元件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）12元，8元
（2）定价为元时，利润最大，最大为元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用；
（1）等量关系式：销售件商品的利润销售件商品的利润元；销售件商品的利润销售件商品的利润元；据此列出方程组，即可求解；
（2）等量关系式：总利润销售商品的单件利润销售总量，据此列出二次函数，化成顶点式，即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设商品每件的利润为元，商品每件的利润为元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品每件的利润为元，商品每件的利润为元．
【小问2详解】
解：设降价元利润为元根据题意得：
=2400+240a−200a−20a
；
，
当时，有最大值，最大值为，
此时定价元．
答：定价为元时，利润最大，最大为元．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）；

（2）；

（3）．
【解析】
【分析】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）观察图象特点，即可得出取值范围；
（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长．
【小问1详解】
∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
如图，在第二象限内，当时，，
【小问3详解】
如图，过作轴于点，

∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
25. 如图1，二次函数的图象经过点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）正确，
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线解析式，然后通过设点坐标，并表示对应点坐标，从而利用“割补法”计算的面积表达式并建立方程求解即可；
（3）首先连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，根据已知信息求出，然后推出，从而在中求出，确定出点坐标，再求出直线解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点的坐标即可．
【小问1详解】
解：将代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将，代入解得：，
∴直线解析式为：，
此时，如图所示，作轴，交于点，

∵点P在二次函数对称轴上，
∴设，则，
∴，
∴，
∵要使得面积为5，
∴，解得：或，
∴的坐标为或；
【小问3详解】
解：正确，，理由如下：
如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，

由（1）、（2）可得，，
∴，，
根据抛物线的对称性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将、代入解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得：或（不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．
26. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证；
（2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．