内蒙古赤峰市2024届高三下学期3·20模拟考试理科数学试题

这是一份内蒙古赤峰市2024届高三下学期3·20模拟考试理科数学试题，共11页。试卷主要包含了03，20模拟考试试题等内容，欢迎下载使用。
2024.03
本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内．
2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若向量与满足．且，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．命题“，，”的否定形式是（ ）
A．，，．B．，，．
C．，，．D．，，．
5．已知是定义在R上的偶函数，且周期．若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
6．在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A．B．C．D．
7．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
10．已知数列满足，若，的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
11．在直三棱柱中，各棱长均为2，M，N，P，Q分别是线段，，，的中点，点D在线段上，则下列结论错误的是（ ）
A．三棱柱外接球的表面积为B．
C．面D．三棱锥的体积为定值
12．已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中x的系数为______
14．已知圆，直线被圆C截得的弦长为______
15．已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为______
16．定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立．下列结论中可能成立的有______
①为奇函数；
②对定义域内任意，都有；
③对，都有；
④．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列，______．在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；
（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望．
附：若，则，
，．
19．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围．
20．（12分）已知正方体，棱长为2．
（1）求证：平面．
（2）若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值．
（3）在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点E、F、G，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知抛物线上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．过点F做两条互相垂直的弦、，设弦、的中点分别为M、N．
（1）求抛物线P的方程．
（2）过焦点F作，且垂足为G，求的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．选修4-4：坐标与参数方程（本题满分10分）：
已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数，）．
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知M，N分别是曲线，上的动点，求的最小值．
23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求m的取值范围．
赤峰市高三年级3.20模拟考试试题
理科数学答案
2024.03
一、选择题：
二、填空题：
13．8014．15．16．①③④
解答题：
17．解：（1）选①，当时，，即
当时，①
②
①②得：，即
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
所以
选②，当时，，即
当时，，即
当时，符合上式．
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
所以
（2）因为，所以，
所以
18．解（1）由频率分布直方图可知，
质量超过515克的产品的频率为，
质量超过515克的产品数量为（件）
（2）由题意可得，
则，
则该批产品质量指标值的概率：
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过515克的概率为
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布．
故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且
，
，，
的分布列为
Y的均值为或者
19．解（1）：当时，，则，
所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即．
（2）当时，，该函数的定义域为，，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、
（3）法Ⅰ：因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，恒成立，无零点，故不符合题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，故符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，故不符合题意，舍去
综上所述，实数a的取值范围是．
法Ⅱ：令
则有根．
令
设
由题意可知
20．证明：（1）连接，
因为是正方体，所以平面，因为平面，所以
又因为四边形是正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以．同理：
又因为，所以平面．
（2）截面图形为如图所示的六边形
根据题意知截面面积最大时，图形是边长为的正六边形，
所以最大的截面面积为
（3）因为平面平面，所以当截面的面积最大时，E、F、G分别是棱、、的中点，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系
，，，
设平面的一个法向量是，
，，
令，则，，
设平面的一个法向量是，，
，令，则，，则
设二面角的平面角为，由图知为锐角，所以，
所以二面角的余弦值为．
21．解：（1）由题可知，
解得，或（舍）
所以，抛物线P的方程为
（2）设直线，，，
联立，可得，则得，，
，同理
①时，
②当时，
根据曲线对称性可知，令时，则．所以直线恒过点
又，所以点G在以为直径的圆上，且轨迹方程为，
由几何图形关系可知，的最大值为3
22．解：（1）由，可得
消去参数得，
所以曲线的普通方程为，又因为
所以曲线的普通方程为
（3）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以设点M的坐标为，
设圆心与上任意一点的距离为d
则
设，，则，，
所以
23．解：①当时，，即
当时，不等式化为，解得，所以
当时，不等式化为，解得
当时，不等式化为，解得，所以
综上，原不等式的解集为
②若恒成立，即
因为（当且仅当时，等号成立），
所以，即或，
解得或
故m的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
B
D
A
D
B
B
C
D
Y
0
1
2
P