黄梅县育才高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份黄梅县育才高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列为等比数列,若,,则的值为( )
A.8B.C.16D.
2．下列说法不正确的是( )
A.直线必过定点
B.直线在y轴上的截距为-2
C.直线的倾斜角为
D.过点且垂直于直线的直线方程为
3．函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
4．设是可导函数,且,则( )
A.2B.C.-1D.-2
5．如图,在正方体中,点E是上底面的中心,则异面直线AE与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知三角形ABC的周长为12,且,,则顶点C的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
7．下列三个图中的多边形均为正多边形,是正多边形的顶点,椭圆过且均以图中的,为焦点,设图①,②,③中的椭圆的离心率分别为,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知S,A,B,C是球O表面上的点,平面ABC,,,,则球O的表面积等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点(点A在x轴的下方),则下列结论正确的是( )
A.若,则中点到y轴的距离为4
B.弦的中点的轨迹为抛物线
C. 若,则直线的斜率
D.的最小值等于9
11．如图,是一块半径为1的圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形,,⋯,,⋯,记纸板的周长为,面积为,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．若曲线在处的切线经过点,则实数___________．
13．已知抛物线的焦点为F,,是抛物线上两点,若,则的中点到y轴距离的最小值为______________.
14．已知实数,,,满足,,,则的最大值是_____________．
四、解答题
15．求下列直线的方程：
(1)曲线在处的切线;
(2)曲线过点的切线．
16．记为数列的前n项和,,．
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和．
17．已知曲线 且 的左、右焦点分别为,直线与C交于点A,B.
(1)若,且四边形是矩形,求的值;
(2)若P是C上与A,B不重合的点, 且直线PA,PB的斜率分别为,,若,求.
18．如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,,E为线段的中点,F为线段上的动点．
(1)求证：平面平面;
(2)求平面与平面夹角的最小值．
19．在平面直角坐标系中xOy,椭圆的离心率为,点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两动点,记直线AB的斜率为,直线的斜率为,已知．
①求证：直线恒过x轴上一定点;
②设和的面积分别为,,求的最大值．
参考答案
1．答案：A
解析：因为为等比数列,设的公比为q,
则,,
两式相除可得,所以,
所以,
故选：A．
2．答案：C
解析：可化为,则直线必过定点,故A正确;
令,则,即直线在y轴上的截距为-2,故B正确;
可化为,则该直线的斜率为,即倾斜角为,故C错误;
设过点且垂直于直线的直线的斜率为k,
因为直线的斜率为,所以,解得,
则过点且垂直于直线的直线的方程为,即,故D正确．
故答案选：C．
3．答案：B
解析：由函数的图象可知：
当时,单调递增,且当时,,,,,
而处切线的倾斜角比处的倾斜角小,且均为锐角,
,
．
4．答案：B
解析：,
．故选：B．
5．答案：B
解析：以D为坐标原点,DA,DC,分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则,,,,所以,,所以．故异面直线AE与所成角的余弦值为．
故选：B．
6．答案：C
解析：、,,
又的周长为12,
顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆,
,,即,
顶点C的轨迹方程为．
故选：C．
7．答案：B
解析：由图①知,,;
由图②知,点在椭圆上,
,则,整理得：,
即解得;
由图③知,在椭圆上,
,则,整理得：,即,解得．
．
故选：B．
8．答案：A
解析：如图所示：
因为平面,平面,平面,
,,
又,,平面,平面,
平面,又平面,,
可知和均为以为斜边的直角三角形,
则球O的球心O为的中点,满足,
又,,,,
,
即球O的半径为1,球O的表面积为．
故选：A．
9．答案：BC
解析：,故A错误;
,故B正确;
,故C正确;
,故D错误．
故选：BC．
10．答案：BCD
解析：抛物线,则焦点,准线为,
对于A,设,,
则结合抛物线的定义可得,解得,
设M为线段的中点,则,
所以点M到y轴的距离为,故A错误;
对于B,由题意,直线l斜率不为0,设,
联立得,则,
则,,,
设线段中点坐标为,
则,消去t可得,
故弦的中点的轨迹为抛物线,故B正确;
对于C,易知,,
由,可得,,
结合B选项可知,则,
又,可得,,
所以直线AB的斜率,故C正确;
对于D,由选项B可知,,所以,
所以,当且仅当,即时取得等号,故D正确．
故选：BCD．
11．答案：ABD
解析：根据图形生成的规律可知,
,,,故A正确;
,,,故B正确;
根据题意可知,图形中被剪去的最小的半圆的半径为,所以当,故C错误;
根据题意可知,图形中被剪去的最小的半圆的半径为,
,故D正确．
故选：ABD．
12．答案：
解析：,
,则,
切点为,
曲线在处的切线方程为,
曲线在点处的切线过点,
,
解得：．
故答案为：．
13．答案：3
解析：设直线的方程为,由
得,则,,
由于,
则,解得,
的中点到y轴的距离为
,当且仅当时,取最小值为3．
14．答案：24
解析：设,,所以A,B是圆上两点,
,,,
所以,
记直线,过A作l的垂线,垂足为D,过B作l的垂线,垂足为F,
设的中点为M,过M作l的垂线,垂足为E,如图所示,
,
所以表示的是A,B两点到直线的距离之和的倍,
又,
所以,
表示的是M到直线的距离的2 2倍,
由于是直角三角形,
所以,
所以M在圆上运动,圆心为,半径为,
所以M到直线的距离最大值为,
又,
所以的最大值是24．
故答案为：24．
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)的导数为,
可得在处的切线斜率为,
即有切线的方程为,
即为;
(2)曲线的导数为,
设切点为,可得切线的斜率为,
切线的方程为,
代入,可得,
解得或,
可得切线的方程为或．
16．答案：(1),时也成立
(2)
解析：(1)由,
时,,相减可得：,
化为：,
,
,时也成立．
(2),
数列的前n项和,
,
相减可得：,
化为：．
17．答案：(1)2
(2)
解析：(1)当时,曲线C的方程为,
此时C为椭圆,
所以,
因为四边形是矩形,
所以,
此时,
由椭圆定义得,
则;
(2)不妨设,
此时,
因为A,B两点都在曲线C上,
所以,
不妨设,
因为P是C上与A,B不重合的点,
所以,②,
①-②得,
即,
所以,
解得,
则C是双曲线,
故．
18．答案：(1)见解析
（2）
解析：(1)证明：中,E为的中点,所以,
在正方形中,,
因为平面,平面,
所以,
又因为,,平面,所以平面,
平面,所以,
又因为,,,平面,所以平面,平面,即平面平面;
(2)因为平面,底面是正方形,所以易知,,两两垂直,
以A为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
有,,,,,中点,
设,,,,,,
设平面的法向量,
由,得,取．设平面的法向量,
由得,取,
所以平面与平面的夹角的余弦值为,令,,则,
所以当即时,平面与平面的夹角的余弦值取得最大值,
此时平面与平面的夹角取得最小值．
19．答案：(1)
(2) 的最大值为2
解析：(1)由题意得：,解得,
所以椭圆C的方程为．
(2) ①依题意,点,,设,,
因为若直线的斜率为0,则点P,Q关于y轴对称,必有,不合题意．
所以直线斜率必不为0,设其方程为,与椭圆C联立
整理得：,
所以,且,
因为点是椭圆上一点,即,所以,
所以,即,
因为
,
所以,此时,故直线PQ恒过x轴上一定点．
②由 ①得,,
所以
(当且仅当即时等号成立),
所以的最大值为2．