专题15三角形的概念和性质核心知识点精讲-备战2024年中考数学一轮复习考点

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1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；
2.理解并掌握三角形的中位线的性质；
3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；
4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；
5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。
考点1：三角形边角关系
（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
考点2：三角形的重要线段
考点3： 三角形的内角和定理及推论
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。

③直角三角形的两个锐角互余。

【题型1：三角形的三边关系】
【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4B．1，2，3C．3，4，5D．3，4，8
【答案】C
【解答】解：∵2+2＝4，
∴A不能构成三角形；
∵1+2＝3，
∴B不能构成三角形；
∵3+4＞5，4﹣3＜5，
∴C能构成三角形；
∵3+4＜8，
∴D不能构成三角形．
故答案为：C．
1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
【答案】C
【解答】解：∵1+3＝4，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
∵2+2＜7，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
∵4+5＞7，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
2．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，
解得：1＜m＜7，
即符合的只有5，
故选：B．
3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
【答案】C
【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【题型2：三角形内角和定理及推论】
【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80°B．95°C．100°D．110°
【答案】B
【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．
1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 直角 三角形．
【答案】直角．
【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ 55 °．
【答案】55．
【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
∵FG∥AC，∠DFG＝115°，
∴∠A＝180°﹣115°＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，
故答案为：55．
3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【题型3：三角形中的重要线段】
【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 80或40 度．
【答案】80或40．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△CEG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴＝4，
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
故选：B．
2．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝ 10° ．
【答案】10°．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
一．选择题（共11小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（ ）
A．74°B．32°C．22°D．16°
【答案】B
【解答】解：∵CD＝CE，∠D＝74°，
∴∠DEC＝∠D＝74°，
∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝32°，
故选：B．
3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
【答案】D
【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，
∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，
故选：D．
4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm
【答案】C
【解答】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
7﹣2＜x＜7+2，
解得：5＜x＜9，
故选：C．
5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠CDE＝∠1＝58°，
∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，
∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，
故选：A．
6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
8．下列图形中，是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、第三个角的度数是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等边三角形，不符合题意；
B、第三个角的度数是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合题意；
C、第三个角的度数是180°﹣30°﹣30°＝120°，是钝角三角形，不符合题意；
D、第三个角的度数是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）
A．5°B．8°C．10°D．12°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝50°．
∵CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD
＝60°﹣50°
＝10°．
故选：C．
10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（ ）
A．65°B．67.5°C．75°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【答案】D
【解答】解：由题意
解得∠2＝55°．
故选：D．
二．填空题（共3小题）
12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB＝6，AC＝5，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为 75° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DC∥AE，
∴∠BDF＝∠E＝45°，
∵∠B＝30°，
∴∠BFE＝∠B+∠BDF＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A 减少 （选填“增加”或“减少”）．
【答案】减少．
【解答】解：延长CD交AB于点E，

∵∠ADC＝∠A+∠CEA，∠CEA＝∠B+∠C，
∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C，
∵∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，
∴∠ADC＝20°+90°+35°＝145°，
∵∠ADC＝140°，
∴可将∠A减少5°．
故答案为：减少．
三．解答题（共2小题）
15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）88°．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
又∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC．
（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠ACB＝52°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．
16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝×60°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°
一．选择题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣B．2α﹣βC．α+D．3α﹣β
【答案】B
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°
【答案】D
【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α ②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．85°B．60°C．50°D．95°
【答案】D
【解答】解：如图，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，
故选：D．
4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【答案】C
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共3小题）
5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝ 2b﹣2a ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a
6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝ 115° ．
【答案】115°．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝115°．
故答案为：115°．
7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长PC交BD于E，
∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，
在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，
在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，
∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，
①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，
∴∠P＝（∠A﹣∠D），
∵∠A＝70°，∠D＝10°，
∴∠P＝（70°﹣10°）＝30°．
故答案为：30°．
三．解答题（共2小题）
8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，
∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，
∴2∠BOC﹣∠A＝180°，
∴∠BOC＝90°+∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠BOC＝90°+×70°＝125°；
（2）∠BOC＝90°+∠A＝125°；
（3）∠BOC＝90°+n°．
9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝ 115 °，∠P＝ 65 °；
（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
【答案】（1）115，65；
（2）∠D＝118°，∠P＝62°；
（3）∠D+∠P的值不变．∠D+∠P＝180°，理由见解析．
【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，
∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，
∴，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝
＝
＝
＝
＝118°；
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠CBP+∠BCP
＝
＝
＝
＝
＝90°+28°
＝118°；
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝
＝90°﹣28°
＝62°；
（3）∠D+∠P的值不变．
∵由（1）知，，
∴∠D+∠P＝180°．
∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变．
1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【答案】C
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cmB．0.7cmC．1.5cmD．2cm
【答案】D
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【答案】B
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：如图，