苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题35反比例函数中的正方形(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题35反比例函数中的正方形(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了经过点C，于点M、N，等内容，欢迎下载使用。
1．如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____.
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ______________．
3．（2020春·江苏连云港·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
4．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y=（k﹥0）的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
(2)如图2，当k=8时，分别求出正方形的顶点、两点的坐标；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形有重叠部分时，求k的取值范围．
5．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点．
(1)若，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．
(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2020春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在轴上，点D在直线上，且AO=OB，反比例函数（）经过点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是轴上一动点，当的周长最小时，求出P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．
10．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）于点M、N，
（1）若m＝2，MN∥x轴，＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m－n的值；
（3）如图，若m＝4，n＝－6，点A(d，0)为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．
11．（2020春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B得坐标分别为（0，2），（1，0），过点C的反比例函数交正方形的边AD于点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点E的坐标；
(3)若P是y轴上的一个动点，在反比例函数上是否存在另一个点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）．
（1）求a的值；
（2）如图②，当时，求点P的坐标；
（3）若点P也在函数的图像上，求b的值；
（4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．
图① 图② 备用图
专题35 反比例函数中的正方形
1．如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____.
【答案】12
【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故答案为12．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ______________．
【答案】5
【分析】过F作FN垂直于x轴,交CB延长线于点M,利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等, 利用全等三角形对应边相等得到AD=FM,进而表示出F坐标, 根据B为CM中点,得出G的CF中点,表示出G坐标,进而得出E坐标, 把G与E代入反比例解析式求出a的值,确定出E坐标,代入反比例解析式求出k的值即可.
【详解】详解: 过F作FN⊥x轴,交CB的延长线于点M,过E作EH⊥x轴,交x轴于点H,
∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,
∴∠FBM=∠ABD,
∵四边形BDEF为正方形,
∴BF=BD,
在△ABD和△BMF中,
∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,
∴△ABD≌△BMF(AAS),
设AD=FM=a,则有F(4,2+a),C(0,2),
由三角形中位线可得G为CF的中点,
∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,
∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,
∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),
∴E(5,1),
把F代入反比例解析式得:k=5.
故答案为:5.
【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,解一元二次方程,以及反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.
二、解答题
3．（2020春·江苏连云港·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
【答案】（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.
【详解】分析：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，
，
解得，
∴y2=x﹣2；
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方，
∴由图象得：2＜x＜4；
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO，
∵O为AA′中点，
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴，
解得k=6；
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）.
把A′代入到y=，得：﹣，
∴n=，
∴A′B解析式为y=﹣.
当x=a时，点D纵坐标为，
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为，
∴点P纵坐标为.
∴点P在y1═（x＞0）的图象上.
点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
4．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y=（k﹥0）的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
(2)如图2，当k=8时，分别求出正方形的顶点、两点的坐标；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形有重叠部分时，求k的取值范围．
【答案】(1)点D的纵坐标为3
(2)、两点的坐标分别为（2，4），（4，2）
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，可得∠AED=90°，由正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，可得∠EDA=∠OCD，根据角角边证得△AED≌△DOC，从而OD=EA，从而得出点D的纵坐标；
（2）过点作轴于点F，过点作轴于点E，同理，得出，，设，，则，， 由此可表示出点、的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论；
（3）由（2）可知点、、、的坐标，利用待定系数法即可求出直线、的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k的取值范围．
（1）
解：过点A作AE⊥y轴于点E，如图所示：
则∠AED=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ODC+∠EDA=90°，
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD=EA，
∵点A的横坐标为3，
∴点D的纵坐标为3．
（2）
解：过点作轴于点F，过点作轴于点E，如图所示：
同理，
∴，，
∴，
设，，
则，
即点，点，
∵点、在反比例函数的图象上，
∴a（a+b）=8，b（a+b）=8，
解得a=b=2或a=b=-2（舍去），
∴、两点的坐标分别为（2，4），（4，2）．
（3）
解：∵点，点，点，点，
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，，
解得：，，
∴直线的解析式为：y=﹣x+6，直线解析式为y=﹣x+2，
∵反比例函数图像和正方形都是轴对称图形，△AED≌△DOC，
∴△AED、△DOC都是等腰直角三角形，
∴AE=DE=OD=OC，
∴设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m）
当A点在直线上时，
有2m=﹣m+2，解得：m=，
此时点A的坐标为（，），
∴k=×=，
当点D在直线上时，m=6，此时点A的坐标为（6，12），
∴k=6×12=72，
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决该类型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是解题的关键．
5．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点．
(1)若，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
【答案】(1)k＝12
(2)①正方形ABCD的面积为8；②
【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值；
（2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答；
②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标．
（1）
解：当a＝3时，A（0，3）
∴点A平移前的点的坐标是（4，3）
∴k＝4×3＝12．
（2）
解：①把点A（0，a）代入中得：a＝，
∴k＝4a，
过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示：
∴∠DMA＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝a，
当x＝a时，，
∴AM＝4−a，
同理得：△AMD≌△DFC（AAS），
∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4−a），
∴4（4−a）＝4a，
∴a＝2，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8；
②由①得：B（2，0），C（4，2），
设BC的解析式为：y＝mx＋b，
则，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x−2，
∴，
解得：，
∵点E在第一象限，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中．
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．
(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(﹣3，1)
(2)，
(3)存在，或或
【分析】对于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；
对于（2），先根据运动表示出点，的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
对于（3），先求出点，的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【详解】（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，DG=3，
∴AG=OG-OA=1．
∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，
∴∠GDA=∠BAH．
又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，
∴△DGA≌△AHB，
∴DG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），
∴运动t秒时，点，．
设反比例函数的关系式为，
∵点，在反比例函数图象上，
∴，
解得，k=6，
∴反比例函数的关系式为；
（3）存在，理由：由（2）知，点，，，
∴，，反比例函数关系式为，
设点Q，点P（0，s）．
以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
②当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
③当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，．
综上所述：或或．
【点睛】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
8．（2021春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在符合题意的点D，E，理由见解析
【分析】（1）把与分别代入，解方程即可得到结论；
（2）过作于点，由（1）得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，推出，得到垂直平分，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（3）分三种情况逐个讨论即可：以为边在右侧作正方形，过作于点，根据全等三角形的判定与性质得到，，求得，进而求得点E（9，－3）在第四象限，于是得到结论；再以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BF⊥EH，垂足为点F，根据全等三角形的判定与性质求得，进而求得点D（7.5，1.5），进而可判断此时的这两点都不在反比例函数图象上，由此可得结论；最后以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，根据全等三角形的判定与性质求得在第二象限，由此可得结论．
【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点与，
且，
，
解得：；
（2）如图，过作于点，
，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点纵的坐标为6，
即，
的纵坐标为12，
则，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形；
（3）不存在，理由如下：
如图，以为边在右侧作正方形，过作于点，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，，
∴，，
又∵，，，
∴，，
解得：，，
∴点E的坐标为（9，－3），
点在第四象限，不合题意；
如图，以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BF⊥EH，垂足为点F，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥EH，EH⊥CH，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为（1.5，4.5），
∵正方形的对角线互相平分，
∴，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴点D的坐标为（7.5，1.5），
∵反比例函数y＝的图像经过点B（6， 6），
∴k＝6×6＝36，
∵7.5×1.5≠36，1.5×4.5≠36，
∴点D、E均不在反比例函数的图象上，
∴此时不存在符合题意的点D，E，
如图，以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥OC，EH⊥OC，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为（－3，3），
点在第二象限，不合题意，
综上所述，在第一象限不存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形．
【点睛】本题是一道反比例函数与几何图形的综合题，考查了反比例的图象与性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（2020春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在轴上，点D在直线上，且AO=OB，反比例函数（）经过点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是轴上一动点，当的周长最小时，求出P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．
【答案】（1）y=x+2，；（2）P（，0）；（3）M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．
【分析】（1）设一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，利用一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及等腰三角形的性质可得出点E的坐标，由点E的坐标利用待定系数法可求出一次函数解析式，由BD∥OA，OE=OB可求出BD的长，进而可得出点D的坐标，由正方形的性质可求出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，由点D的坐标可得出点D'的坐标，由点C，D'的坐标，利用待定系数法可求出直线CD'的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（x，y），分DP为对角线、CD为对角线及CP为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点M的坐标，此题得解．
【详解】（1）设一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．
当x=0时，y=kx+2=2，∴OA=2．
∵四边形ABCD为正方形，OA=OB，∴∠BAE=90°，∠OAB=∠OBA=45°，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴OE=OA=2，点E的坐标为（﹣2，0）．
将E（﹣2，0）代入y=kx+2，得：﹣2k+2=0，解得：k=1，∴一次函数的解析式为y=x+2．
∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°，∴BD∥OA．
∵OE=OB=2，∴BD=2OA=4，∴点D的坐标为（2，4）．
∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．
∵反比例函数y（x＞0）经过点C，∴n=4×2=8，∴反比例函数解析式为y．
（2）作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．
∵点D的坐标为（2，4），∴点D'的坐标为（2，﹣4）．
设直线CD'的解析式为y=ax+b（a≠0），将C（4，2），D'（2，﹣4）代入y=ax+b，得：，解得：，∴直线CD'的解析式为y=3x﹣10．
当y=0时，3x﹣10=0，解得：x，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．
（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．
①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；
②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；
③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．
综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质，求出点E，C的坐标；（2）利用两点之间线段最短，确定点P的位置；（3）分DP为对角线、CD为对角线及CP为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点M的坐标．
10．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）于点M、N，
（1）若m＝2，MN∥x轴，＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m－n的值；
（3）如图，若m＝4，n＝－6，点A(d，0)为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．
【答案】（1）－10；（2）40；（3）
【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（−）×a，即可求解；
（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），PM＝PN，则＝−，解得：m＝−n，即可求解；
（3）若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，由此即可求解．
【详解】解：（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），
则S△MON＝6＝×MN×OP＝×（−）×a，
解得：n＝−10；
（2）点M、N的坐标分别为（，a）、（，a），
∵PM＝PN，则＝−，
解得：m＝−n，
若a＝5，点M的横坐标为4，则点M（4，5），
故m＝4×5＝20＝−n，
故m−n＝40；
（3）点A（d，0），则点B（d＋4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d＋4，4），
设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，−）、（d＋4，），
若正方形ABCD与（m＞0、x＞0）、（n＜0、x＜0）都有交点，
则HD≥0且CG≥0，即，且d＜0，d＋4＞0，
解得：−3≤d≤−，
故d的范围为：−3≤d≤−．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、解不等式、面积的计算等，综合性强，难度适中．
11．（2020春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B得坐标分别为（0，2），（1，0），过点C的反比例函数交正方形的边AD于点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点E的坐标；
(3)若P是y轴上的一个动点，在反比例函数上是否存在另一个点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）E（，）；（3）存在，P1（0，-2）或P2（0，5）
【详解】（1）过点C作CF⊥x轴于点F，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∵在Rt△CBF中，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABO=∠BCF，
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△FBC（AAS），
∴BF=AO=2，CF=OB=1，
∴OF=3，
∴点C坐标为（3，1）， ………………………………2分
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴把C（3，1）代入反比例解析式得：k=3，
则反比例函数解析式为y= y=， ………………………………3分
（2）设E（a，）过点E作FG⊥y轴于点G,
∴∠EGA=90°，EG=a，OG=
∵∠BAO+∠GAE=90°，
∵在Rt△AOB中，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠GAE=∠ABO，
又∵∠EGA=∠AOB=90°，
∴△EGA∽△AOB
∴，
∴
即a= ………………………………5分
解得：a=（ 舍）
∴E（，） ………………………………6分
（3）设P（0，p），Q（q，）
分类讨论：
①以AB、PQ为对角线
，
解得p=-2，q=1
∴P（0，-2） ………………………………7分
②以AP、BQ为对角线
，
解得p=-5，q=-1（舍） ………………………………8分
③以AP、BQ为对角线
，
解得p=5，q=1
∴P（0，5） ………………………………9分
∴综上，P1（0，-2）或P2（0，5）
12．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）．
（1）求a的值；
（2）如图②，当时，求点P的坐标；
（3）若点P也在函数的图像上，求b的值；
（4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．
图① 图② 备用图
【答案】（1）；（2）P的坐标为.（3）或（4）或.
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图②中，作PE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）如图③中，作AF⊥OB于F，PE⊥OB于E．利用全等三角形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
（4）如图④中，当点N在反比例函数图形上时，想办法用b表示点N的坐标，利用待定系数法解决问题即可．
【详解】（1）解：把代入，得
；
（2）解：如图①，过点A作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为T，
即.
四边形ABPQ是正方形，
，，
，
，
，
，,
A的坐标为，
，，
P的坐标为.
（3）解：如图②
I．当时，分别过点A、P作轴、轴，垂足为、N.
与 （2）同理可证：，，，
，；
II．当时，过点作轴，垂足为.
同理：，，
综上所述，点P的坐标为，
点P在反比例函数图像上，
，解得或
（4）或.
图① 图②
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．