广西壮族自治区柳州市柳城县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、上下折叠能重合，是轴对称图形，故此选项合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 清代袁枚写的诗《苔》中有这样一句：“苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉半径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接运用科学记数法的知识进行表示即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3. 如图，中，，是边上的中线，若的周长为35，则的周长是（ ）
A. 20B. 29C. 26D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中线的意义，根据是边上的中线，得到，根据的周长为；的周长为，计算周长的差，得到，结合的周长为35，计算即可．
【详解】∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为；的周长为，
∴，
∵的周长为35，
∴的周长为,
故选B．
4. 下列各计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则进而得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，无法计算，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
5. 若三角形两边长分别为7 cm和10 cm，则第三边长可能为（ ）
A. 2 cmB. 3 cmC. 8 cmD. 17 cm
【答案】C
【解析】
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10-7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
四个选项中，只有8cm适合，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．
6. 如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：在中，
∴，
∵
∴，B选项错误，不符合题意
根据三角形外角的性质，可得，C选项错误，不符合题意，
，D选项错误，不符合题意；
，A选项正确，符合题意，
故选A
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和的性质，解题的关键是灵活利用有关性质进行求解．
7. 若把分式的x，y同时扩大3倍，则分式值是（ ）
A 扩大3倍B. 缩小3倍C. 不变D. 扩大9倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先扩大，再代入约分求值．
【详解】原式．
所以分式的值扩大3倍．
故选：A．
8. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，负指数幂，幂的乘方及同底数幂的除法，根据，，，直接求解即可得到答案
【详解】解：原式
，
故选：C．
9. 若是完全平方式，则的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】是完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10. 超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先用a×（1+20%）得到标价，再得到0.8（1+20%）a即可得出结论．
【详解】解：由题意，得
0.8a×（1+20%）＝0.96a．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式和打折销售在实际问题中的运用，解答中注意审清题意是关键．
11. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个锐角到的位置，连接，若，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=70°，再根据旋转得性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′的度数即可．
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，
∴旋转角α的度数为40°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm
【答案】D
【解析】
【分析】由垂直的定义，三角形的内角和定理和角的和差求∠FBD＝∠FAE，直角三角形中两锐角互余和等腰三角形的判定与性质求得BD＝AD，用角角边证明△FBD≌△CAD，由其性质得BF＝AC，求出BF的长是9cm．
【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，
又∵∠FBD＋∠BDF＋∠BFD＝180°，
∠FAE＋∠FEA＋∠AFE＝180°，
∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
又∵∠ABC＝45°，∠ABD＋∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
在△FBD 和△CAD中，
∴△FBD≌△CAD（AAS），
∴BF＝AC，
又∵AC＝9cm，
∴BF＝9cm．
故选：D．
【点睛】本题综合了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差，垂直定义和等腰三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点用角角边证明的三角形全等问题，也可以用角边角证明三角形全等．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 若分式无意义，则的值为__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据分式无意义的条件为：分母为0即可求出x的值．
【详解】∵分式无意义
∴
解得
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为0是解题的关键．
14. 如图，自行车是人们日常代步的工具．你发现了没有，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的______．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
15. 因式分解： _________.
【答案】2a（a+4）（a-4）
【解析】
【分析】先提取公因式2a，再利用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：.
故答案为.
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握平方差公式.
16. 如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝__°．
【答案】210
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BEF+∠BFE的度数，根据补角的定义得出∠DEF+∠GFE的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠B=30°，
∴∠BEF+∠BFE=180°-30°=150°，
∴∠DEF+∠GFE=360°-150°=210°．
∵∠DEF=∠A+∠D，∠GFE=∠C+∠G，
∴∠A+∠D+∠C+∠G=∠DEF+∠GFE=210°，
故答案为：210．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
17. 已知x，y，z是三角形的三边长，且满足，则该三角形的形状是______．
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出x，y，z的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
18. 如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作，交于点E，交于点F，则有，结合正方形的性质得和，进一步可得，即可证，有，利用勾股定理求得，即可求得正方形的面积．
【详解】解：过点C作，交于点E，交于点F，如图，
∵直线，，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用平行线的性质和构造全等三角形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是结合题目的特征，灵活运用二次根式性质，选择恰当的解题途径．
20. 如果，那么代数式的值．
【答案】，9
【解析】
【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据可以得到，然后整体代入化简后的式子即可解答本题．
详解】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握整体思想的应用．
21. 如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给的平面直角坐标系中，解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在格点上找一个异于点A的点D，使得以B、C、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D所有可能的坐标为 ；
（3）若平面内有一点P（m，5）关于直线x＝－1对称的点为Q（3，－n），则m＝ ，n＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）(4，0)或(0，4)或(0，0)；（3）－5，－5．
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点分别确定点A′、B′、C′的位置，顺次连接即可求解；
（2）根据△BCD与△ABC全等，BC=BC，在坐标系中即可确定点D位置，问题得解；
（3）根据直线x＝－1对称的两点到直线x＝－1的距离相等，纵坐标相同即可得到关于m、n的方程，即可求出m、n．
【详解】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作的三角形；
（2）如图，使得以B、C、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D所有可能的坐标为(4，0)或(0，4)或(0，0)；
故答案为：(4，0)或(0，4)或(0，0)；
（3）∵点P（m，5）关于直线x＝－1对称的点为Q（3，－n），
∴－1－m=3－（－1），5=－n，
解得m=－5，n=－5，
故答案为：－5，－5．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，理解轴对称的含义并能与平面直角坐标系相结合是解题关键．
22. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查这200名学生得到的数据进行整理，绘制成如下2幅统计图（均不完整）．

（1）D班选择环境保护的学生人数为 ，并补全折线统计图；
（2）扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数为 ．
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【答案】（1）15，图见解析
（2）97.2° （3）估计该校选择文明宣传的学生人数为950人
【解析】
【分析】本题考查了扇形与折线统计图的综合，用样本估计总体，求一个扇形的圆心角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据扇形统计图可得选择环境保护的学生总人数，再将去班选择环境保护的学生人数可得D班选择环境保护的学生人数，据此补全折线统计图即可；
（2）利用360°乘以选择交通监督的学生人数所占百分比即可得；
（3）利用该校学生总人数乘以选择文明宣传的学生人数所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：选择环境保护的学生总人数为（人），
则D班选择环境保护的学生人数为（人），
故答案为：15人．
补全折线统计图如下：
【小问2详解】
解：依题意，
即扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数为97.2°，
故答案为：97.2°．
【小问3详解】
解：依题意，（人），
答：估计该校选择文明宣传的学生人数为950人．
23. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在BC上，使∠AEB＝∠ADC，连接AC，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若∠BAC＝90°，连接ED，求∠AED的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证出∠BAE=∠CAD，根据AAS可证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
【小问2详解】
解：∵△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=∠ADE=45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
24. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？
（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用为2000元，求购买了多少个乙种品牌奖品？
【答案】（1）甲品牌奖品的单价是30元，则乙品牌奖品的单价是40元；
（2）购买20个乙种品牌奖品．
【解析】
【分析】（1）设甲品牌奖品的单价是x，则乙品牌奖品的单价是元，找出等量关系列方程求解即可；
（2）设购买了m个甲种品牌奖品，则购买个乙种品牌奖品，根据题意找出等量关系列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设甲品牌奖品的单价是x，则乙品牌奖品的单价是元，
由题意可知：，
解得：，
∴甲品牌奖品的单价是30元，则乙品牌奖品的单价是40元；
【小问2详解】
解：设购买了m个甲种品牌奖品，则购买个乙种品牌奖品，
∵总费用为2000元，
∴，
解得：，
60-40=20，
∴购买20个乙种品牌奖品．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是找出等量关系列出方程．
25. 【知识储备】（1）
【知识探究】我们称（1）中公式为“十字相乘”公式，当（1）中时，则上式变为完全平方公式，我们知道，完全平方公式可以由图形的面积得到，那么“十字相乘”公式能否利用图形的面积进行证明？分割下面的几何图形并做好标记，利用两种求面积的方法证明“十字相乘”公式
（2）求几何面积的方法：
方法一：
方法二：

【知识应用】（3）计算：
【拓展应用】（4）因式分解
【答案】（1）；；（2）；；；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则计算，并合并同类项即可；
（2）从整体计算面积和部分计算面积两个方法计算即可，同一图形不同计算面积方法求出的面积相等；
（3）利用（1）中公式，即“十字相乘”公式计算即可；
（4）利用（1）中公式，即“十字相乘”公式进行逆运算即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；．
（2）如图，分割图形：
∴方法一：用长方形的面积公式直接求面积：，
方法一：用长方形的面积等于四个小矩形的面积之和求面积：，
∴，
故答案为：；；．
（3）
，
故答案为：．
（4）
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式计算，读懂题意，找到所求的等量关系，及应用所找到的规律解题是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________；
（2）如图2，若，点D是延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论；
（2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴,
∴，
∴点C的坐标是；
（2）证明：过点E作轴于点M，依题意有，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又，即，
∴，
∴，
即，又，设与相交于点N，
∴在和中，
，，
∴；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，
则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵，,，
∴,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt△DAH和Rt△DAK中，
，
∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）
∴AK＝AH＝a−2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算术平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．