2023-2024学年山东省菏泽市定陶区孟海中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市定陶区孟海中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG和MH是对应边，若EH=1.1cm，NH=3.3cm，则线段HG的长为( )
A. 1.1cmB. 2.2cmC. 3.3cmD. 4.4cm
3.点A(−3,10)关于y轴对称的点B的坐标为( )
A. (6,4)B. (−3,5)C. (−3,−4)D. (3,10)
4.如图所示，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，AB=AC，∠ACB=∠ABC，CE=1.5，则CD的长度为( )
A. 2
B. 3
C. 4.5
D. 6
5.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M,N不在AB上)的垂直平分线的是
( )
A. MA=MB，NA=NBB. MA=MB，MN⊥AB
C. MA=NA，MB=NBD. MA=MB，MN平分AB
6.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 4
7.对于非零实数a、b，规定a⊗b=2ab−1a.若x⊗(2x−1)=1，则x的值为( )
A. 1B. 13C. −1D. −13
8.已知关于x的分式方程x−2x+2−mxx2−4=1无解，则m的值为( )
A. 0B. 0或−8C. −8D. 0或−8或−4
9.下列命题是真命题的是( )
A. 两个锐角的和一定是钝角
B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到该直线的距离
10.王老师乘公共汽车从A地到相距50千米的B地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时所花的时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A. 50x+20=34×50xB. 50x=34×50x+20
C. 50x+20+14=50xD. 50x=50x+20−14
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是32cm，DE=12cm，EF=14cm，则AC= ______cm．
12.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是______．
13.把命题“同角或等角的余角相等．”改写成“如果…，那么…”的形式______．
14.有一组数据：2，x，4，6，7，已知这组数据的众数是6，那么这组数据的方差是______．
15.超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是______分．
16.已知a，b，c是不为0的实数，且aba+b=13,bcb+c=14,cac+a=15，那么abcab+bc+ca的值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.八(2)班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制)：
(1)甲队成绩的中位数是______分，乙队成绩的众数是______分；
(2)计算乙队的平均成绩和方差；
(3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是______队．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知：线段a，c，∠α(如图)，求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，AB=c．
19.(本小题8分)
先化简，再求值．
(1)a2−b2a÷(a−2ab−b2a)，其中a=2，b=1．
(2)已知x2−5x−2023=0，求(x−2)3−(x−1)2+1x−2的值．
20.(本小题8分)
已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE．
(1)求证：AD=AE．
(2)若BE/​/AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中：A(−2,2)，B(−3,−2)．
(1)若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______；点D与点B关于直线AC对称，则点D的坐标为______；
(2)以A，B，O为顶点组成三角形，则△ABO的面积为______；
(3)在y轴上求作一点P使得PA+PB的值最小．
22.(本小题8分)
近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
23.(本小题8分)
在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．
(1)如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE；
(2)如图2，若点E不是AB的中点时，(1)中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系，若成立，请给予证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此作答．
此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形，要熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：∵△EFG≌△NMH，
∴EG=NH=3.3cm，
∵EH=1.1cm，
∴HG=EG−EH=2.2cm．
故选：B．
由全等三角形的对应边相等得到EG=NH=3.3cm，而EH=1.1cm，即可求出HG的值．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
3.【答案】D
【解析】解：点A(−3,10)关于y轴对称的点B的坐标为(3,10)，
故选：D．
根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：延长CE至F，使EF=CE，
∵CE是中线，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEF，
∴△AEC≌△BEF(SAS)，
∴BF=AC，∠FBA=∠A，
∵AC=AB，
∴BF=AB，∠ACB=∠ABC，
∵CB为中线，
∴BD=AB，
∴BD=BF，
∵∠CBD=∠ACB+∠A，
∠CBF=∠CBA+∠ABF，
∴∠CBD=∠CBF，
又∵CB=CB，
∴△CBD≌△CBF(SAS)，
∴CD=CF=2CE=3．
故选：B．
延长CE至F，使EF=CE，证明△AEC≌△BEF(SAS)，得出BF=AC，∠FBA=∠A，利用SAS证明△CBD≌△CBF，证出CD=CF即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，证明△CBD≌△CBF是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【解答】
解：∵MA=MB，NA=NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
由勾股定理得：AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7．
故选：B．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到△ABP周长的最小值．
本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7.【答案】A
【解析】解：根据题中的新定义化简得：2x2x−1−1x=1，
去分母得：2x2−2x+1=2x2−x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选：A．
利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.【答案】D
【解析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解：方程去分母得：(x−2)2−mx=(x+2)(x−2)，
解得：(4+m)x=8，
当m=−4时，整式方程无解；
当x=−2时分母为0，方程无意义，则m=−8；
当x=2时分母为0，方程无意义，则m=0．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解钝角的定义、平行线的性质及点到直线的距离的定义等知识，难度不大．利用钝角的定义、平行线的性质及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A.两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
B.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；
C.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，故错误，是假命题．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为(x+20)千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了14，得出回来时所用时间为：34×40x，
根据题意得出：50x+20=34×50x，
故选：A．
根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为(x+20)千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了14，得出分式方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节省了14，得出方程是解题关键．
11.【答案】6
【解析】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=12cm，EF=14cm，
∴DF=32−12−14=6(cm)，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=6cm．
故答案为：6．
由△DEF的周长是32cm求出DF=6cm，由全等三角形的对应边相等即可得到AC=DF=6cm．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
12.【答案】SSS证明△COM≌△CON
【解析】解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC=∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS证明△COM≌△CON．
由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
13.【答案】如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【解析】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．
命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
14.【答案】3.2
【解析】解：一组数据：2，x，4，6，7的众数是6，
∴x=6，
∴x=2+6+4+6+75=5，
∴s2=(2−5)2+(6−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(7−5)25=3.2，
故答案为：3.2．
根据题意可以得到x的值，从而可以求得这组数据的平均数和方差，本题得以解决．
本题考查方差、众数，解题的关键是明确题意，会求一组数据的方差．
15.【答案】77.4
【解析】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×510+80×310+92×210=77.4(分)，
故答案为：77.4．
根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
16.【答案】16
【解析】解：∵aba+b=13，
∴a+bab=3，即1a+1b=3①；
同理可得1b+1c=4②，
1c+1a=5③；
∴①+②+③得：2(1a+1b+1c)=3+4+5；1a+1b+1c=6；
又∵abcab+bc+ca的倒数为ab+bc+caabc，即为1a+1b+1c=6，则原数为16．
故答案为16．
将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
本题先把已知式子转化为倒数计算，可使计算简便．
17.【答案】(1)9.5 10;
(2)乙队的平均成绩是：110×(10×4+8×2+7+9×3)=9，
则方差是：110×4×(10−9)2+2×(8−9)2+(7−9)2+3×(9−9)2=1；
(3) 乙 ．
【解析】解：(1)把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是(9+10)÷2=9.5(分)，
则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：9.5，10；
(2)见答案；
(3)∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
(1)根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；
(2)先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
(3)先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18.【答案】解：如图，△ABC即为所求．

【解析】任意作射线BM，以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线BM于点C，再根据作一个角等于已知角的方法作∠NBM=∠α，最后以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线BN于点A，连接AC即可．
本题考查作图—复杂作图，熟练掌握基本尺规的作图方法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)a2−b2a÷(a−2ab−b2a)
=(a+b)(a−b)a÷(a2a−2ab−b2a)
=(a+b)(a−b)a÷a2−2ab+b2a
=(a+b)(a−b)a÷(a−b)2a
=(a+b)(a−b)a⋅a(a−b)2
=a+ba−b，
当a=2，b=1时，原式=2+12−1=3；
(2)(x−2)3−(x−1)2+1x−2
=(x−2)3−[(x−1)2−1]x−2
=(x−2)3−(x−1−1)(x−1+1)x−2
=(x−2)3−x(x−2) x−2
=(x−2)2−x
=x2−5x+4，
∵x2−5x−2023=0
∴x2−5x=2023
∴原式=2023+4=2027
【解析】(1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=2，b=1代入进行计算即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由x2−5x−2023=0得出x2−5x=2023，代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAD=∠BAE，
在△ADB和△AEB中，
∠ADB=∠E∠BAD=∠BAEAB=AB,
∴△ADB≌△AEB(AAS)，
∴AD=AE；
(2)解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵BE/​/AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】(1)证出△ADB≌△AEB，即可得出结论；
(2)由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC为等边三角形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)(2,2)；(−3,6)
(2)5；
(3)如图，点P即为所求．

【解析】解：(1)如图，点C(2,2)，点D(−3,6)．
故答案为：(2,2)；(−3,6)；
(2)△AOB的面积=3×4−12×2×3−12×2×2−12×1×4=5．
故答案为：5；
(3)如图，点P即为所求．
(1)作出对称点可得结论；
(2)把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)连接BC交y轴于点P，连接PA，点P即为所求．
本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)xkm/h，
依题意，得：25x−30(1+50%)x=660，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=75．
答：走路线B的平均速度为75km/h．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1+50%)xkm/h，根据时间=路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
23.【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，
∴∠BCE=30°．
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°．
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=∠ABC−∠D=60°−30°=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE．
∴BD=AE；
(2)BD=AE成立．
证明：如图2，过点E作EF/​/BC交AC于点F．
∵EF/​/BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120°．
∵∠D+∠BED=∠ABC=60°，∠FCE+∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠D+∠BED=∠ECF+∠ECD．
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
∠DEB=∠ECF,∠DBE=∠EFC,DE=EC,
∴△DEB≌△ECF(AAS)，
∴BD=EF．
又∵AE=EF，
∴BD=AE．
【解析】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再证出∠D=∠DEB，得出BD=BE，从而证出BD=AE；
(2)作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE=EF，再证明三角形全等，得出BD=EF，证出BD=AE．测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩(分数)
70
80
92
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9