2024中考数学二次函数压轴专题训练-专题02定点、定值问题（含解析）

这是一份2024中考数学二次函数压轴专题训练-专题02定点、定值问题（含解析），共26页。
专题02 定点、定值问题
训练题01【2023·湖北武汉·光谷实验中学中考模拟】
已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点.
训练题02【2022·甘肃平凉·统考二模】
如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
训练题03【2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题】
如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
训练题04【2021·广西梧州·中考真题】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．
训练题05【2022·山东淄博·中考真题】
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
训练题06【2023·广东东莞·统考三模】
如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C．
（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

训练题07【2023·四川成都·西川中学三模】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；
(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
训练题08【2023·广西钦州·统考一模】
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
训练题09【2020·西藏·中考真题】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
训练题10【2023·浙江湖州·统考一模】
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·湖北武汉·光谷实验中学中考模拟】
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）先求得平移后的抛物线的解析式为：，设，，则直线的解析式为，由直线经过定点，可得，再由直线经过点，可得直线的解析式为，进而求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，，即直线必过定点，．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，解得：，抛物线的解析式为；
（2）证明：如图2，抛物线，
将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，
抛物线的解析式为：，

设，，
则直线的解析式为，
直线经过定点，
，
，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
由，
解得：或，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，，，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线必过定点，．
训练题02【2022·甘肃平凉·统考二模】
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
训练题03【2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题】
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
训练题04【2021·广西梧州·中考真题】
【答案】（1）；（2）F（-4，3），（3）．
【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：
，
解得：，
∴原抛物线对应的函数表达式为：；
（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为
∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，
∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线对应的函数表达式为：，即：
故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，
以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：
当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；
当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上，
综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；
（3）∵，MN＝CE，
∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，
设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，
，
解得： ，
即M点坐标为，
∴点N坐标为，
设直线MN解析式为，
∴，
解得：，
即：，
故直线MN与y轴交点K坐标为．
训练题05【2022·山东淄博·中考真题】
【答案】(1)y =x²+2x+3
(2)定值16
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
（2）解：四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设，

∵，，
∴直线AP的解析式为，
∴，
∵E，G关于x轴对称，
∴，
∴直线PB的解析式为，
∴，
∴，
∴四边形AFBG的面积，∴四边形AFBG的面积是定值．
训练题06【2023·广东东莞·统考三模】
【答案】（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0）
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与x轴的交点y=0，求出C的坐标，然后根据A与C的坐标求出二次函数的解析式即可；
（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，证明△BOC为等腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值；
（3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情况求出D点的坐标即可.
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，
∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1，
∴一次函数解析式为：y＝x﹣4，
∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C，
∴y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0），
∴，
解得a＝﹣2，b＝7，
∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4；
（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，

∵C（4，0），B（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，
∴BC＝＝＝4，
∴OH＝BC＝2，
由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，
在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝；
（3）存在，
由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3，
∴AB＝AH﹣BH＝，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°，
①当，即时，解得CD＝2，
∵C（4，0），即OC＝4，
∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，
此时D坐标为（6，0）；
②当，即时，
解得CD＝16，
∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，
此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
训练题07【2023·四川成都·西川中学三模】
【答案】(1)，
(2)或
(3)定值，，理由见详解
【分析】（1）将、代入解析式即可求解；
（2）可求直线过定点，设，则有，，可求或，①当时，过作交于，过作交于，可求，从而可求，求得，接可求解；②当时，由①同理可求，即可求解；
（3）分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，可求，从而可得，从而可求，可得，由和可证，从而可得，即可求证．
【详解】（1）解：由题意得
，解得：，，当时，，，
故抛物线的函数表达式为，的坐标为．
（2）解：由得
，
当时，，
直线过定点，
设，，
则有，，
线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分，
或，
①当时，
如图，过作交于，过作交于，

，
，
，
或，
或，
，
整理得：，
解得：或，
此时，
（舍去），
故，
当时，，
，
当时，
解得：；
②当时，如图，

由①同理可求，
当时，，
，
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或．
（3）解：定值，；
理由：如图，分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，

，
，
由（2）得：，
整理得：，
，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
训练题08【2023·广西钦州·统考一模】
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，该定值为2
【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；
（2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论；
（3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，
解得，，
∴，；
将点，代入抛物线，
得，解得
∴抛物线的解析式为； 3分
（2）证明：设，则，
∴，
，∴
∴的值为定值，该定值为2
训练题09【2020·西藏·中考真题】
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）没有变化，2
【分析】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题．
（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
二次函数的解析式为，
即．
（2）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．
理由：如图乙中，连接，，，设，，，．
由题意，，
，
解得，
，，，
，，
点在运动过程中线段的长是定值，
训练题10【2023·浙江湖州·统考一模】
【答案】(1)点；
(2)
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，∴，，∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：，∴抛物线的解析式为，由抛物线的表达式知，点；
（2）当和在对称轴两侧时，
此时，抛物线在时，取得最小值，
当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时，即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．