53，湖北省武汉市华中科技大学附属中学2023—2024学年下学期开学模拟检测考试-九年级数学

这是一份53，湖北省武汉市华中科技大学附属中学2023—2024学年下学期开学模拟检测考试-九年级数学，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（本题3分）的倒数是（ ）
A．B．＋3C．0.3D．
【答案】D
【分析】由乘积为的两个数互为倒数，可得答案.
【详解】解：由倒数的定义可得：
的倒数是.
故选
【点睛】本题考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键.
2．（本题3分）二次根式中，字母x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
2-x≥0，
解得x≤2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（本题3分）已知实数a＜b，则下列事件中是随机事件的是（ ）
A．3a＞3bB．a﹣b＜0C．a＋3＞b＋3D．a2＞b2
【答案】D
【分析】依据不等式的性质，判断各选项是否成立，进而得出结论．
【详解】解：A．由a＜b，可得3a＜3b，故3a＞3b是不可能事件，不合题意；
B．由a＜b，可得a﹣b＜0，故a﹣b＜0是必然事件，不合题意；
C．由a＜b，可得a＋3＜b＋3，故a＋3＞b＋3是不可能事件，不合题意；
D．若a＜b，则a2＞b2不一定成立，故a2＞b2是随机事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件以及不等式的性质，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高为随机事件．
4．（本题3分）下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
5．（本题3分）一个全透明的正方体上面放有一根黑色的金属丝（如图），那么金属丝在左视图中的形状是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【详解】试题解析：从左边看到的现状是B中图形，
故选B．
考点：简单组合体的三视图．
6．（本题3分）“龟兔赛跑”：龟跑得慢，但坚持不懈；而兔跑得快，看不起龟，中途睡觉，醒来龟已到终点．下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t的关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即可得到图形的变化，得到答案．
【详解】解：A.根据乌龟先到终点，兔子一直未醒，所以图A错误；
B.符合题意；
C.兔子在比赛中间睡觉，时间增长，路程没有变化，也没有回跑，排除C；
D.因为中途睡觉，醒来龟已到终点，兔子输了，兔子用的时间应多于乌龟所用的时间，排除故选B．
【点睛】此题主要考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
7．（本题3分）现有6张完全相同的卡片，正面分别写着数字：1，2，3，4，5，6，现将所有卡片打乱顺序后正面朝下放置在桌面上，小明随机抽一张，恰好抽到3的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【详解】解：∵这6张完全相同的卡片中写着数字3和6的两张卡片为3的倍数，
∴小明随机抽一张，恰好抽到3的倍数的概率是．
故选B．
【点睛】本题考查简单的概率计算．熟练掌握概率公式是解题关键．
8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在反比例函数上，顶点C在反比例函数上，点A在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【详解】解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BC交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CB∥OA，OC=AB，
∴BE⊥y轴，
∴OE=BD，
∴Rt△COE≌Rt△ABD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE=6，S△COE=1，
∴四边形OABC的面积=6-1-1=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性．
9．（本题3分）如图，是边长为6的等边三角形，为边上的中线，点E、点F分别为线段、上的动点，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．10
【答案】A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得垂直平分，推出，进而可得，再根据垂线段最短可知，当时，取最小值，由此可解．
【详解】解：如图，连接，

是边长为6的等边三角形，为边上的中线，
，，
垂直平分，
，
，当点E，F，B在同一条直线上时，等号成立．
由垂线段最短可知，当时，取最小值，如下图所示：

此时，
，
的最小值为，
的最小值为．
故选A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，线段的最值问题等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质，利用轴对称的性质将所求线段进行转化．
10．（本题3分）下列各运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有 个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．
【详解】解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了无理数，关键是掌握无理数定义．
12．（本题3分）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，4，4，3，5，则这组数据的中位数是 ．
【答案】//
【分析】把数据从小到大排列后，取中间两个数的平均数即可．
【详解】解：6名选手投中篮圈的个数从小到大排列为：2，3，3，4，4，5，
∴中位数为，
故答案为：
【点睛】此题考查了中位数，一组数据按照从大到小或从小到大排列后，处在中间位置的数或两个数的平均数叫做中位数，熟记定义是解题关键．
13．（本题3分）计算结果是 ．
【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】原式＝
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（本题3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，且AC=CE，则∠E=
【答案】22.5°
【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，，
∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
故答案为：22.5°
【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（本题3分）若不等式(a－2)x＞a－2可以变形为x＜1，则a的取值范围为 .
【答案】a＜2
【详解】根据一元一次不等式的解法和基本性质，可由(a－2)x＞a－2的解集为x＜1，可知a-2＜0，解得a＜2.
故答案为a＜2.
16．（本题3分）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于点G，连接AH，以下四个结论：① AF=FH；②；③ FC=；④ BD=2GF，其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】①作辅助线，延长HF交AD于L，连接CF，通过证明，可得：AF=CF，故需证明，可证：AF=FH；②由可得③ 由点F是动点，C点是定点，可判断错误④ 作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据，可证OA=GF，故可证BD=2FG
【详解】①连接FC，延长HF交AD于点L
∵ BD是正方形ABCD的对角线
②
③∵点F是动点，C点是定点
∴ FC的长度是变量
故③错
④连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA
故答案为：①②④
【点睛】本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等，掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据乘方运算，负指数幂的运算，非零数的零次幂运算法则即可求解；
（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方，负指数幂的运算，非零数的零次幂的运算是解题的关键．
18．（本题8分）如图，AB∥CD，E是直线FD上的一点，∠ABC=140°，∠CDF=40°．
(1)求证：BCEF；
(2)连接BD，若BDAE，∠BAE=110°，则BD是否平分∠ABC ？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)平分，证明见解析
【分析】（1）根据，，求出，再根据，得到；
（2）根据，，得到的度数，再根据，得到，从而得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：BD平分，理由如下：
，
，
，
，
，
BD平分．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定以及角平分线的判定，解题的关键是掌握角平分线的判定．
19．（本题8分）为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A、B、C、D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数；
(2)扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数为 ，并把条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生3000人，试估计每周课外阅读时间为C等级的人数．
【答案】(1)200人
(2)54°，图见解析
(3)900人
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出D等级和B等级的人数，然后即可计算出扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以C等级的人数所占的百分比，可以计算出每周课外阅读时间为C等级的人数．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为20÷10%=200人；
（2）解：等级D的人数为200×45%=90人，
∴等级B的人数为200-20-60-90=30人，
∴等级B所在扇形的圆心角度数为360°×=54°，
故答案为：54°；
补充条形统计图，如下图：
（3）解：每周课外阅读时间为C等级的人数为人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（本题8分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
（2）连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；
（3）连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到，，求解即可．
【详解】解：（1）如图；
（2）连接OC、OB，
∵OC=OB=R＝6，∠BOC=120°，
扇形BOC的面积为，
故答案为：；
（3）连接CB，交AO于点D，
∵BC=8，
∴BD=4，
∵AB=5，
∴AD==3，
∵OB=OA=R，
∴OD=R-3，
在△BOD中，，
∴，
解得，
∴该轮的半径为．
【点睛】此题考查圆的知识—垂径定理，扇形的面积公式，作圆心，以及勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂径定理及勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．（本题8分）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；
(2)如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；
(3)如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
【答案】(1)y＝，（，3）
(2)
(3)
【分析】（1）由点B的坐标及BD的长，可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出反比例函数的关系式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点E的坐标；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E，由点D的坐标可得出点D′的坐标，结合点E的坐标可求出D′E的长，由BE，BD的长，利用勾股定理可求出DE的长，进而可求出△PDE周长的最小值；
（3）过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长，设AP=m，则OP=4-m，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得出DF，PF的长，进而可求出OF的长，再由OF2+PF2=OP2可求出m的值，将其正值代入OP=4-m中即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4．
∵BD=1，
∴AD=2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过点D，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的关系式为y=．
当y=3时，3=，解得：x=，
∴点E的坐标为（，3）；
（2）解：在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．
∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，-2）．
又∵点E的坐标为（，3），
∴D′E=．
∴PD+PE的最小值为；
（3）在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．
∵OA=4，AD=2，
∴OD=．
设AP=m，则OP=4-m，
∴PD=．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF=PF=，
∴OF=OD-DF=．
∵OF2+PF2=OP2，即，
整理得：3m2+16m-12=0，
解得：m1=，m2=-6（不合题意，舍去），
∴OP=4-m=．
【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰直角三角形以及轴对称-最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用勾股定理，找出关于AP长的一元二次方程．
22．（本题10分）如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点作x轴的垂线，交直线于点，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点重合除外）．
(1)求点P运动的速度是多少？
(2)当t为何值时，矩形为正方形？
(3)当t为何值时，矩形的面积为5．
【答案】(1)点运动的速度是每秒2个单位长度
(2)或4
(3)或或
【分析】（1）根据直线与坐标轴分别交于点，得出点的坐标，再利用，得出，据此可以求得点P的运动速度.
（2）当时，以及当时，矩形为正方形，分别求出即可.
（3）根据题意求出S与t的函数关系式，从而利用二次函数性质求出即可.
【详解】（1）直线与坐标轴分别交于点，
时，，时，，
，
当秒时，，则，
，
，
，
动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动，
点运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当时，矩形为正方形，
则，，
，
，
解得：；
如图2，当时，矩形为正方形，
，，
，
，
，解得：；
当或4时，矩形为正方形．
（3）如图1，当在点的左边时，
，，
，
，
依题意有
解得，；
如图2，当在点的右边时，
，，
，
，
，
，
当点、其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
，
依题意有，
解得（不合题意舍去），；
综上所述，当或或时，矩形的面积为5
【点睛】本题考查一次函数的综合，二次函数最值.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键.
23．（本题10分）在⊙O中，AB为直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，点D为弧AC上的点，且2∠DAB﹣∠P＝90°，连接AD．
（1）如图1，求证：弧AD＝弧BC；
（2）如图2，PC＝6，PB＝，求∠ADC度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，F为AB下方⊙O上一点．∠ACF＝60°，L为OF中点，LK⊥AL于L，交CF于点K．连接AK，求AK的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADC＝120°；（3）AK＝2．
【分析】（1）如图1中，连接OD，OC．想办法证明∠AOD＝∠COB即可．
（2）利用相似三角形的性质求出PA，再证明∠COB＝60°即可解决问题．
（3）如图3中，作LH⊥AB于H，设KL交AP于N．CF交AB于M．首先证明△ACF是等边三角形，解直角三角形求出OH，HL，HN，利用相似三角形的性质求出KM，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，连接OD，OC．
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠P+∠POC＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵2∠DAB﹣∠P＝90°，
∴180°﹣∠AOD﹣（90°﹣∠POC）＝90°，
∴∠AOD＝∠POC，
∴弧AD＝弧BC．
（2）解：如图2中，连接OC，BC．
∵AB是直径，PC是切线，
∴∠ACB＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴ ，
∴PC2＝PB•PA，
∴PA＝，
∴AB＝PA﹣PB＝4，
∴OC＝OB＝OA＝2，
∴tan∠COB＝ ＝，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝120°．
（3）解：如图3中，作LH⊥AB于H，设KL交AP于N．CF交AB于M．
∵∠AFC＝180°﹣∠ADC＝60°，∠ACF＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
由（1）可知，AC＝AF＝CF＝6，∠CAP＝30°，
∵∠CAF＝60°，
∴∠CAN＝∠FAN＝30°，
∴AN⊥CF，
∴CN＝NF＝ AC＝3，
∵OL＝LF＝，
在Rt△OHL中，∠OHL＝90°，∠HOL＝60°，
∴OH＝OL＝ ，HL＝ ，
∵LH∥FN，OL＝LF，
∴OH＝HM＝，
∵AM＝AC•cs30°＝6×＝3，HL＝FM＝，
∴
∵AL⊥LK，
∴∠AHL＝∠ALN＝90°，
∵∠LAH＝∠LAN，
∴△AHL∽△ALN，
∴，
∴，
∴HN＝AN﹣AH＝，NM＝HM﹣HN＝，
∵HL∥KM，
∴，
∴，
∴MK＝1，
∴AK＝
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题．
24．（本题12分）已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点坐标；
（2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）连接，可得四边形是平行四边形，，从而得到，作点关于轴的对称点，取得最小值时，即为点，，三点共线时，有最小值，再求出的解析式，将代入即可得点的坐标．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过，，
，
解得，
．
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点C坐标为．
如图，设经过，两点的直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为．
，
因为，
当时，有最大值．
此时，点的坐标为；
（3）解：连接，
和，
中点，
由平移得与平行且相等，
与平行且相等，
四边形是平行四边形，
．
．
作点关于轴的对称点，则，
取得最小值时，即为点，，三点共线时，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
将代入得，，
此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，解题关键是准确理解题意，正确画出图形，掌握待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质．