2024届广西柳州高中、南宁三中高三一轮复习诊断性联考 数学试题及答案

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，，经计算，则分位数是（ ）
A．18B．20C．21D．22
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知为奇函数，则（ ）
A．3B．－3C．0D．－1
6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ）
A．B．9C．36D．
7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知是“和差等比数列”，，则满足使不等式的的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数满足，则下列命题正确的有（ ）
A．的虚部是－1B．
C．D．是方程的一个根
10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，频率为，初相为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上的值域为
D．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是
11．在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，异面直线与所成角的余弦值为
C．当，且时，则的轨迹长度为
D．当时，与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量．若，则实数的值为______．
13．已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为______．（用数字作答）．
14．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列的前项和为，若，则称为“好数对”，如，，则都是“好数对”，当时，第一次出现的“好数对”是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值．
16．（15分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
17．（15分）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．
18．（17分）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）当时，证明：．
19．（17分）已知曲线．
（1）若点是上的任意一点，直线，判断直线与的位置关系并证明．
（2）若是直线上的动点，直线与相切于点，直线与相切于点．
①试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线与轴分别交于点，证明：．喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828