江西省宜春市丰城市丰城中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题

这是一份江西省宜春市丰城市丰城中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：第3—6章
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1. 若那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立，依次判断即可．
【详解】解：A、当m=0时，a=b不一定成立，故此选项错误；
B、根据等式的性质1，两边同时减去6，得到，故此选项正确；
C、根据等式的性质2，两边同时乘以，得到，根据等式的性质1，两边同时加上8，就得到，故此选项正确；
D、根据等式的性质1，两边同时加上2，即可得到，故此选项正确；
故选A．
【点睛】此题主要考查了等式的性质，利用等式的性质对根据已知得到的等式进行正确变形是解决问题的关键．
2. 下列现象中，（ ）是平移
A. “天问”探测器绕火星运动B. 篮球在空中飞行
C. 电梯的上下移动D. 将一张纸对折
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【详解】解：A. “天问”探测器绕火星运动不是平移，故此选项不符合题意；
B. 篮球在空中飞行不是平移，故此选项不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高C. 电梯的上下移动是平移，故此选项符合题意；
D. 将一张纸对折不是平移，故此选项不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查平移的概念，与实际生活相联系，注意分清与旋转、翻转的区别．
3. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（ ）
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C. 连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意得：
∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题．
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，结合已知等式即可求解．
【详解】已知，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解．
5. OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 2∶5D. 1∶4
【答案】D
【解析】
【分析】依据OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，依据ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，可得∠AOP=∠AON=∠AOC=（∠AOB+∠BOC），进而得出∠POQ：∠BOC=1：4．
【详解】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
∴∠AOQ=∠AOM=∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP=∠AON=∠AOC=（∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
=（∠AOB+∠BOC）-∠AOB，
=∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4，
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算．
6. 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝，∠DCE＝．下列各式：①＋，②﹣，③﹣，④180°﹣﹣，⑤360°﹣﹣中，∠AEC的度数可能是（ ）
A. ①②③B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝，
∵∠AOC＝∠BAE1＋∠AE1C，
∴∠AE1C＝﹣．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，
可得∠1＝∠BAE2＝，∠2＝∠DCE2＝，
∴∠AE2C＝＋．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝，
∵∠BAE3＝∠BOE3＋∠AE3C，
∴∠AE3C＝﹣．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4＋∠AE4C＋∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣﹣．
综上所述，∠AEC的度数可能是﹣，＋，﹣，360°﹣﹣．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7. 的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．
【详解】解：∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．
8. 父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，那么今年儿子的年龄是______．
【答案】10
【解析】
【分析】设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，根据两年前父亲的年龄是儿子的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，
依题意，得：44-x-2=4（x-2），
解得：x=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9. 若，则的补角的度数是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．根据补角的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴的补角的度数是．
故答案为：．
10. 若与是同一个数的平方根，则为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．
【详解】解：∵与是同一个数平方根，
∴时，
解得：，
时，
解得：，
综上可知，为或，
故答案为：．
11. 如图，C岛在A岛的北偏东的方向上，C岛在B岛的北偏西的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是______．
【答案】##92度
【解析】
【分析】本题考查了方向角和平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来解答．
根据平行线的性质结合方位角的表示可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴．
故答案为：．
12. 今年3月，长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转的时间________秒时，．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程在几何中的应用，涉及了平行线的性质，解题关键在于画出满足题意的图形．
【详解】解：设旋转的时间为时，．
如图所示：
∵
∴
∵
∴
∴
则：
解得：；
如图所示：
仍有：
此时
∴
∴
解得：
综上所述：或
故答案为：或
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可；
（）根据立方根的定义即可求解；
本题主要考查了解一元一次方程和开立方运算，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤及立方根解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：
，
，
，
．
15. 已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据45可得c的值；
（2）把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【小问1详解】
解：∵的平方根是，的算术平方根是1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
16. 小芳同学在解关于x的一元一次方程时误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，先把代入方程中求出，再解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得是关于x的一元一次方程的解，
∴，
解得，
∴原方程为，
去分母得，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
17. 如图，D，E分别在的边上，F在线段CD上，且，．
（1）求证：；
（2）若DE平分，求度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】根据题意得到∠2=∠DFE，证明ABEF，根据平行线的性质得出∠3=∠ADE，由DEBC，得到∠ADE=∠B，等量代换即可得证；
（2）利用角平分线得出，∠ADE=∠EDC，由DEBC，得到∠ADE =∠B，进而由∠2=3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，得出5∠B=180°，由，∠1=∠3+∠EDC即可求解．
【小问1详解】
证明：∵∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴ABEF，
∴∠3=∠ADE，
∵DEBC，
∴∠ADE=∠B，
∴∠3=∠B．
【小问2详解】
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DEBC，
∴∠ADE =∠B，
∴∠EDC=∠B，
∵∠2=3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
又∵∠3=∠B，
∴∠1=∠3+∠EDC=36°+36°=72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点C为外一点，先按要求在下图中作图，再回答问题：
（1）作图：①先过点C作直线的平行线交直线于点D，再过点C作直线的平行线交直线于点E；
②过点A作直线的垂线段，垂足为F，再过点A作直线的垂线，交射线于点G；
（2）线段 的长度是点A到直线的距离；
（3）结合作图，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线距离，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据平行线的判定，垂线段的定义作出图形即可；
（2）根据点到直线的距离判断即可；
（3）利用平行线的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：①如图，直线即为所求作．②如图，线段，直线AG即为所求作．
【小问2详解】
解：∵，
∴线段的长度是点A到直线的距离．
【小问3详解】
（3），
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. （1）已知，且与互为相反数，求的值．
（2）已知的小数部分为a， 的小数部分为b，求．
【答案】（1）时，；当时，；当时，；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的性质，估算无理数的大小，利用立方根等被开方数得出被开方数等于零，正确得出的值是解题关键．
（1）根据立方根等被开方数，可得被开方数等于零，根据立方根互为相反数，可得被开方数互为相反数，可得答案；
（2）根据题意得出的值，进而得出答案．
【详解】解：（1），
，
∴或或，
∴或或，
与互为相反数，
∴与互为相反数
∴
∴
∴
∵或或，
∴对应的或或；
（2）


．
20. 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）购进甲商品150件，购进乙商品100件
（2）可获利1900元
（3）第二次乙商品是按原价打9折销售
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键．
（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用6000元购进甲、乙两种商品”列出方程求解即可；
（2）根据“总利润=甲的利润+乙的利润”列出算式求解即可；
（3）先得出第二次购进甲商品件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件，
，
解得：，
∴，
答：购进甲商品150件，购进乙商品100件；
【小问2详解】
解：根据题意可得：
（元），
答：可获利1900元；
【小问3详解】
解：第二次购进甲商品件，
第二次购进乙商品（件），
设第二次乙商品是按原价打y折销售，
，
解得：，
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
【答案】（1）2；（2）1cm；（3）秒或秒
【解析】
【分析】（1）将x＝﹣3代入原方程即可求解；
（2）根据题意作出示意图，点C为线段AB上靠近A点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；
（3）求出D和B表示的数，然后设经过x秒后有PD＝2QD，用x表示P和Q表示的数，然后分两种情况①当点D在PQ之间时，②当点Q在PD之间时讨论即可求解．
【详解】（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
故k＝2；
（2）当C在线段AB上时，如图，
当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD＝2QD，
∴，解得x＝
②当点Q在PD之间时，
∵PD＝2QD，
∴，解得x＝．
答：当时间为或秒时，有PD＝2QD．
【点睛】本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．
22. 阅读下列解题过程，
；；；…
（1）______，______；
（2）观察上面的解题过程，则：
①______（n为自然数）；
②利用这一规律计算：．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据所给前几个等式的变化规律即可求解；
（2）①根据所给等式的变化规律即可得出结论；②根据所得结论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：①由题意，，
故答案为：；
②
．
【点睛】本题考查数字类规律探究、算术平方根、有理数的乘法运算，找到等式中数字的变化与序号之间的关系是解答的关键．
六、（本大题共12分）
23. 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，，，），并能绕C点自由旋转．
（1）写出与的数量关系，并说明理由；
（2）当且点E在直线的上方时，固定直角三角尺，将直角三角尺绕C点自由旋转．
①当时，＝ ；
②要使，则的度数为 ，请说明理由；
③直接写出分别使得，，的的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）①或135；②或150，理由见解析；③当时，的度数为或；当时，的度数为或；当时，的度数为或，图见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）依题意得，，进而得，，由此得与的数量关系；
（2）①当时，有两种情况：（ⅰ）当在上方时，（ⅱ）当在下方时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数；
②要使，有两种情况：（ⅰ）当在的上方时，（ⅱ）当在的下方时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数；
③当时，有两种情况：（ⅰ）当在上方时，（ⅱ）当在下方时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数；当时，有两种情况：（ⅰ）当在的左侧时，（ⅱ）当在的右侧时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数；当时，有两种情况：（ⅰ）当在的左侧时，设与交于点T，根据平行线的性质得，则，由此可得的度数；（ⅱ）当在的右侧时，延长交于点H，根据平行线的性质得，则，，由此可得的度数．
【小问1详解】
解：与的数量关系是：，理由如下：
，，，
，，
，，
．
【小问2详解】
解：①当时，有两种情况：
（ⅰ）当在上方时，如图所示：

，，
；
（ⅱ）当在下方时，如图所示：

，，
，
，
综上所述：或．
故答案为：或135．
②要使，则的度数为或，理由如下：
有以下两种情况：
（ⅰ）当在的上方时，如图所示：
，，
，
，
；
（ⅱ）当在的下方时，如图所示：

，，
，
，
综上所述：或．
故答案为：或150．
③当时，有以下两种情况：
（ⅰ）当在上方时，如图所示：

，，
，
；
（ⅱ）当在下方时，如图所示：

，，
，
综上所述：当时，的度数为或．
当时，有以下两种情况：
（ⅰ）当在的左侧时，如图所示：

，，
，
；
（ⅱ）当在的右侧时，如图所示：

，，
，
，
综上所述：当时，的度数为或．
当时，有以下两种情况：
（ⅰ）当在的左侧时，如图所示：设与交于点T，

，，
，
，
；
（ⅱ）当在的右侧时，如图所示，延长交于点H，

，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当时，的度数为或．
当时，的度数为或；当时，的度数为或；当时，的度数为或．甲
乙
进价（元/件）
20
30
售价（元/件）
26
40