湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷

这是一份湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷，共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知，分别为椭圆，若函数的图象关于直线对称，则等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
本试卷共4页，22道题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则
A.1B.2C.D.
3.已知数列与均为等差数列，且，，则
A.5B.6C.7D.8
4.定义在上的函数满足：当时，，且对任意实数，均有，则为
A.B.C.D.
5.自2020年确定针对中国的“融入”政策（和平演变）失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项.为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号每秒执行条指令，普通计算机每秒执行条指令.若天河一号用“插入排序”法排个数需要条指令，普通计算机用“并归排序”法排个数需要条指令.现排个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为
A.B.C.D.
6.据统计，我国结核病的感染率约为0.001.在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么同学检测结果为阳性的概率为
7.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆交于另外一点，若，则椭圆离心率位于下列哪个区间
A.B.C.D.
8.已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，侧棱长为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数的图象关于直线对称，则
A.B.的图象关于点对称
C.在区间上有2个极值点D.在区间上单调递增
10.已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是
A.异面直线与所成角为
B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为
C.与平面所成角的正弦值为
D.若点为正方体对角线上的动点，则的最大值为
11.已知双曲线：的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3.为坐标原点.直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点（，位于第一象限），则
A.双曲线方程为
B.点到两条渐近线的距离之和的最小值为
C.
D.若，则的面积为
12.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是
A.若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
B.若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C.若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子
D.若最初有个桃子，则被7除的余数为1
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.
14.已知曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围为______.
15.过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，若，则点的轨迹方程为______.
16.正方形的边长为1，、分别为边、上的点（不包括端点），且、分别为、的角平分线.则（1）的周长为______；（2）面积的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知正项数列的前项和为.，.
（1）求证：数列为常数列；
（2）求数列的通项公式，并证明.
18.（本题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，的平分线交于点且，求的值.
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱平面，.，分别是，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值.
20.（本题满分12分）
为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍.现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为，教师中借阅文学类书籍的占，学生中借阅文学类书籍的占，得到如下列联表：
（1）请将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；
（2）若从学校随机抽取人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理工类书籍的概率最大，求所有可能的取值.
附：，
其中.参考数据：
21.（本题满分12分）
已知抛物线的准线与轴相交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，其中点在第一象限.
（1）求直线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于、两点，交直线于点，过点作的平行直线分别交线段、于点、.证明：存在实数，使得.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，，判断的零点个数，并说明理由.
岳阳市2024届高三教学质量监测（一）
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9.ABC10.BD11.ACD12.ABD
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.（满足，均可）14.
15.16.2（2分）；（3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（1）由题意，∵
∴
∴
∴数列为常数列
（2）∵，∴
∴
又∵，∴，∴
∵
∴
18.（1）由题意，
∴
又，∴，∴
∴，
即
即
又∵，∴，∵为三角形内角
∴
（2）∵，∴
∵，∴.
∴
整理得，解得
19.（1）取的中点，连接，，则，
又∵，∴，∵平面
∴平面
∴，∵，，∴
∵，∴平面，
又∵平面，∴
∵为的中位线，∴，∴
（2）过作于，连接，由（1）知平面
∴，∵，∴平面，∴
∴二面角的平面角为，∴
又∵，∴
又∵，，两两垂直，以为坐标原点如图建系
，，，，
，
设平面的法向量为
，得，
令，，，∴，
设直线与平面夹角为，
∴直线与平面夹角的余弦值为
20.
（1）提出零假设：老师与学生的借阅情况不存在差异
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为判断老师与学生的借阅情况是存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.1
（2）设借阅理工类书籍的概率为，则
设随机抽取人中借阅理工类书籍的人数为随机变量
则，
∴，∴
得解得
又∵，∴可取14，15，16，17
21.（1）由题意，其准线为，点坐标为
不妨设直线的方程为，设直线的方程为，
联立
得，由题知，得
∴，同理，
故直线的方程为
（2）由题可知，若存在实数，则，∵
∴
又∵、、在同一条直线上∴，∴
故只需证明为、的中点即可
设直线为，设点，点
联立，得，，
令代入直线中得，点
，同理
：①
：②
：③
联立①②得
联立①③得.
要证明为，的中点，即证明，
即证明
即证明
即证明
等式右边，，∴
故得证
22.（1）由题意，的定义域为
，设
，
若，，在单调递减，
∴；
若，，在单调递增，
∴.
∴，
∴的单调减区间为和，无单调增区间
（2）
①时，，
∴，∴在无零点
②时，
，由（1）可知，∴
∴在上单调递减，
又∵，∵
∴在存在唯一零点
③时，求的零点即求的根的个数，
即求根的个数，
设，即求零点的个数
，，
设
，，
设
∴，
∴单调递增，又∵，
∴在上存在唯一零点
∴在，，单调递减，
在，，单调递增
∵，，∴在上存在唯一零点，且
∴在，，单调递减，在，，单调递增
∵，，∴在上存在唯一零点.
综上，在内教师
学生
合计
文学类
理工类
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
教师
学生
合计
文学类
10
30
40
理工类
10
10
20
合计
20
40
60