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初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质完整版课件ppt
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这是一份初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质完整版课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识点等内容，欢迎下载使用。
5.2 二次函数的图像和性质
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2 的图像的画法二次函数y=ax2 的图像和性质
1.用描点法画函数y=ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤(1)列表：列表时，自变量x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则.
(2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点.
2. 抛物线二次函数y=ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y 轴.当a＞ 0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜ 0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
●用描点法可以画出任意一个二次函数的图像.用描点法画出的图像只是二次函数图像的一部分，并且是近似的.在画二次函数图像时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析.●抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须关于对称轴对称.
解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图.
描点、连线 ，即得三个函数的图像，如图5.2-1.
二次函数y ＝ ax2(a ≠ 0)的图像和性质
①判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x 的增大而减小.②在二次函数y=ax(2a≠0)中，a的正负性决定开口方向， |a|决定开口的大小．|a|越大，抛物线开口越小，反之，|a|越小，抛物线开口越大．③二次函数y=－ax(2a≠0)与y=ax2 (a≠0)的图像关于x 轴对称.
例2 [月考·镇江] 如图5.2-2， 四个二次函数的图像分别对应① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，则a、b、c、d 的大小关系为______________．
解题秘方：紧扣“a 的符号”及“|a| 的大小”采用数形结合思想进行解答.
解：由抛物线的开口方向，知a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，由抛物线的开口大小，知|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a＞b，c＜d. ∴ a＞ b＞d＞c.
巧题妙解：如图5.2-3,当x=1 时，四个函数值分别等于二次项系数，∴ 直线x=1 与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，∴ a>b>d>c.
例3 在同一坐标系中，抛物线y=3x2，y= x2，y=－ x2 的共同特点是( )A. 关于y 轴对称，开口向上B. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D. 关于y 轴对称，顶点是原点
解题秘方：按先由抛物线表达式中a 的值确定开口方向，再确定对称轴、顶点、增减性，由此即可得出结论.
解法提醒：在分析二次函数的增减性时，都是以对称轴为分界线进行讨论：●开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小；●开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x 的增大而增大.
二次函数y ＝ ax2（a≠0）的图像和性质
5.2.2 二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像和性质
二次函数y=ax2+k 的图像与性质二次函数y=a(x+h)2 的图像与性质二次函数y=a(x+h)2+k 的图像和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系
a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
3. 二次函数y=ax2+k 的图像的画法(1)描点法：类比作二次函数y=ax2图像的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y=ax2的图像，向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k| 个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k的图像.
平移规律口诀:上加下减，纵变横不变，“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位长度得到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
例2 抛物线y=－2x2－5 的开口______ ，对称轴是______ ，顶点坐标是_________ .
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
例 3 [模拟·南京] 抛物线y=－3(x－1)2 的开口______，对称轴是__________，顶点坐标是____________ .
例4 在平面直角坐标系中，函数y=－x－1 与y=－ (x－1)2 的图像大致是图5.2-8 中的( )
1. 二次函数y=a(x+h)2+k 的图像与二次函数y=ax2 的图像的关系它们的形状(开口大小、方向) 相同， 只是位置不同； 二次函数y=a(x+h)2+k 的图像可由二次函数y=ax2的图像平移得到，即先将二次函数y=ax2的图像左右平移|h| 个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2 的图像，再将二次函数y=a(x+h)2的图像上下平移|k| 个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2+k的图像.
2. 二次函数y=a(x＋h)2+k 的图像与性质
例5 [期末·盐城]对于抛物线y＝(x－2)2 － 3，下列结论错误的是( )A. 抛物线的开口向上B. 对称轴是直线x＝2C. 抛物线不经过第三象限D. 当x＞ 3 时，y 随x的增大而减小
解题秘方：紧扣y=a(x+h)2+k 的图像和性质逐一判断.
解题策略：解答抛物线y=a(x+h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等问题，首先必须弄清顶点式y=a(x+h)2+k中a、h、k与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a、h、k间的关系，再结合相关知识按题目要求解答.
解：因为抛物线表达式为y＝(x－2)2－3，所以a＝1，该抛物线的开口向上，所以选项A正确；对称轴是直线x＝2，所以选项B正确；因为抛物线的顶点坐标(2，－3)在第四象限，且当x ＜ 2 时，y 随x 的增大而减小，当x＝0时，y＝1，则该抛物线不经过第三象限，所以选项C正确；根据y＝(x－2)2－3 的图像和性质可知，当x＞2 时，y随x的增大而增大，所以选项D错误.
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系
(2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x＋h)2+k 与y=－ x2 的图像；
解：函数y=－ (x－1)2+2 与y=－ x2 的图像如图5.2-9.
(3)观察y=a(x＋h)2+k 的图像， 当x________时，y 随x 的增大而增大；当x ________ 时，函数有最________值，最________值是________ ；(4)观察y=a(x＋h)2+k 的图像，你能说出对于一切x的值，y的取值范围吗？
由图像知，对于一切x 的值，总有y ≤ 2.
二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像和性质
5.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x＋h)2+k 之间的关系二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k 之间的关系
二次函数的一般式y=ax2+bx+c 与顶点式y=a(x＋h)2+k 的互化：－h=－ ， k= ，即y=ax2+bx+c=
3. 拓展：对于二次函数y=ax2+bx+c 的图像上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若P1(x1，y1) 和P2(x2，y2) 关于直线x=－ 对称， 则y1=y2，
解：∵ y=x2－4x+3=(x2－4x+4) －4+3=(x－2)2－1，∴顶点式为y=(x－2)2－1.
解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
解：列表：抛物线如图5.2-18.
解法提醒：“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
活学巧记：曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.如果要画抛物线，描点平移两条路.提取配方定顶点，平移描点皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图.若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变
[期末·南通] 关于抛物线y＝－x2－2x－3，下列说法中错误的是( )A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－1C. 当x＞－1 时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为(－1，－2)
解题秘方：紧扣函数表达式中的系数和二次函数的性质逐一判断各个选项中的说法是否正确
解：∵ a =－1 ＜ 0，∴该函数的图像开口向下，故选项A 正确；∵抛物线表达式为y ＝－x2－2x－3，∴ x= =－1，∴对称轴是直线x＝ －1，故选项B 正确；当x ＜－1 时，y 随x的增大而增大，当x＞ －1 时， y随x 的增大而减小，故选项C 错误；又∵ =－2，∴顶点坐标是(－1，－2)，故选项D 正确.
方法总结：若不画图像直接得出函数图像的特征，则必须根据函数图像的特征与二次函数表达式中系数之间的关系来确定.对于抛物线y=ax2+bx+c，其中a决定开口方向，c为抛物线与y轴交点的纵坐标.对称轴和顶点坐标可直接根据公式 来确定.
二次函数y＝－x2+2x 的最大值为________．
解题秘方：把函数表达式进行配方，然后根据二次函数的最值问题即可求解．
方法点拨：本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最大(小)值有三种方法：1. 图像法；2. 配方法；3．公式法．
解：∵二次函数y＝－x2+2x ＝－(x－1)2+1，a=－1 ＜ 0，∴抛物线开口向下，当x＝1 时，函数有最大值为1．
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像和性质
5.2 二次函数的图像和性质
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2 的图像的画法二次函数y=ax2 的图像和性质
1.用描点法画函数y=ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤(1)列表：列表时，自变量x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则.
(2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点.
2. 抛物线二次函数y=ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y 轴.当a＞ 0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜ 0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
●用描点法可以画出任意一个二次函数的图像.用描点法画出的图像只是二次函数图像的一部分，并且是近似的.在画二次函数图像时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析.●抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须关于对称轴对称.
解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图.
描点、连线 ，即得三个函数的图像，如图5.2-1.
二次函数y ＝ ax2(a ≠ 0)的图像和性质
①判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x 的增大而减小.②在二次函数y=ax(2a≠0)中，a的正负性决定开口方向， |a|决定开口的大小．|a|越大，抛物线开口越小，反之，|a|越小，抛物线开口越大．③二次函数y=－ax(2a≠0)与y=ax2 (a≠0)的图像关于x 轴对称.
例2 [月考·镇江] 如图5.2-2， 四个二次函数的图像分别对应① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，则a、b、c、d 的大小关系为______________．
解题秘方：紧扣“a 的符号”及“|a| 的大小”采用数形结合思想进行解答.
解：由抛物线的开口方向，知a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，由抛物线的开口大小，知|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a＞b，c＜d. ∴ a＞ b＞d＞c.
巧题妙解：如图5.2-3,当x=1 时，四个函数值分别等于二次项系数，∴ 直线x=1 与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，∴ a>b>d>c.
例3 在同一坐标系中，抛物线y=3x2，y= x2，y=－ x2 的共同特点是( )A. 关于y 轴对称，开口向上B. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C. 关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D. 关于y 轴对称，顶点是原点
解题秘方：按先由抛物线表达式中a 的值确定开口方向，再确定对称轴、顶点、增减性，由此即可得出结论.
解法提醒：在分析二次函数的增减性时，都是以对称轴为分界线进行讨论：●开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小；●开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x 的增大而增大.
二次函数y ＝ ax2（a≠0）的图像和性质
5.2.2 二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像和性质
二次函数y=ax2+k 的图像与性质二次函数y=a(x+h)2 的图像与性质二次函数y=a(x+h)2+k 的图像和性质二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系
a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图像开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
3. 二次函数y=ax2+k 的图像的画法(1)描点法：类比作二次函数y=ax2图像的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.(2)平移法：将二次函数y=ax2的图像，向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k| 个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k的图像.
平移规律口诀:上加下减，纵变横不变，“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位长度得到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
例2 抛物线y=－2x2－5 的开口______ ，对称轴是______ ，顶点坐标是_________ .
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
例 3 [模拟·南京] 抛物线y=－3(x－1)2 的开口______，对称轴是__________，顶点坐标是____________ .
例4 在平面直角坐标系中，函数y=－x－1 与y=－ (x－1)2 的图像大致是图5.2-8 中的( )
1. 二次函数y=a(x+h)2+k 的图像与二次函数y=ax2 的图像的关系它们的形状(开口大小、方向) 相同， 只是位置不同； 二次函数y=a(x+h)2+k 的图像可由二次函数y=ax2的图像平移得到，即先将二次函数y=ax2的图像左右平移|h| 个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2 的图像，再将二次函数y=a(x+h)2的图像上下平移|k| 个单位长度得到二次函数y=a(x+h)2+k的图像.
2. 二次函数y=a(x＋h)2+k 的图像与性质
例5 [期末·盐城]对于抛物线y＝(x－2)2 － 3，下列结论错误的是( )A. 抛物线的开口向上B. 对称轴是直线x＝2C. 抛物线不经过第三象限D. 当x＞ 3 时，y 随x的增大而减小
解题秘方：紧扣y=a(x+h)2+k 的图像和性质逐一判断.
解题策略：解答抛物线y=a(x+h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等问题，首先必须弄清顶点式y=a(x+h)2+k中a、h、k与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a、h、k间的关系，再结合相关知识按题目要求解答.
解：因为抛物线表达式为y＝(x－2)2－3，所以a＝1，该抛物线的开口向上，所以选项A正确；对称轴是直线x＝2，所以选项B正确；因为抛物线的顶点坐标(2，－3)在第四象限，且当x ＜ 2 时，y 随x 的增大而减小，当x＝0时，y＝1，则该抛物线不经过第三象限，所以选项C正确；根据y＝(x－2)2－3 的图像和性质可知，当x＞2 时，y随x的增大而增大，所以选项D错误.
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之间的关系
(2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x＋h)2+k 与y=－ x2 的图像；
解：函数y=－ (x－1)2+2 与y=－ x2 的图像如图5.2-9.
(3)观察y=a(x＋h)2+k 的图像， 当x________时，y 随x 的增大而增大；当x ________ 时，函数有最________值，最________值是________ ；(4)观察y=a(x＋h)2+k 的图像，你能说出对于一切x的值，y的取值范围吗？
由图像知，对于一切x 的值，总有y ≤ 2.
二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像和性质
5.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x＋h)2+k 之间的关系二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k 之间的关系
二次函数的一般式y=ax2+bx+c 与顶点式y=a(x＋h)2+k 的互化：－h=－ ， k= ，即y=ax2+bx+c=
3. 拓展：对于二次函数y=ax2+bx+c 的图像上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若P1(x1，y1) 和P2(x2，y2) 关于直线x=－ 对称， 则y1=y2，
解：∵ y=x2－4x+3=(x2－4x+4) －4+3=(x－2)2－1，∴顶点式为y=(x－2)2－1.
解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
解：列表：抛物线如图5.2-18.
解法提醒：“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
活学巧记：曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.如果要画抛物线，描点平移两条路.提取配方定顶点，平移描点皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图.若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变
[期末·南通] 关于抛物线y＝－x2－2x－3，下列说法中错误的是( )A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－1C. 当x＞－1 时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为(－1，－2)
解题秘方：紧扣函数表达式中的系数和二次函数的性质逐一判断各个选项中的说法是否正确
解：∵ a =－1 ＜ 0，∴该函数的图像开口向下，故选项A 正确；∵抛物线表达式为y ＝－x2－2x－3，∴ x= =－1，∴对称轴是直线x＝ －1，故选项B 正确；当x ＜－1 时，y 随x的增大而增大，当x＞ －1 时， y随x 的增大而减小，故选项C 错误；又∵ =－2，∴顶点坐标是(－1，－2)，故选项D 正确.
方法总结：若不画图像直接得出函数图像的特征，则必须根据函数图像的特征与二次函数表达式中系数之间的关系来确定.对于抛物线y=ax2+bx+c，其中a决定开口方向，c为抛物线与y轴交点的纵坐标.对称轴和顶点坐标可直接根据公式 来确定.
二次函数y＝－x2+2x 的最大值为________．
解题秘方：把函数表达式进行配方，然后根据二次函数的最值问题即可求解．
方法点拨：本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最大(小)值有三种方法：1. 图像法；2. 配方法；3．公式法．
解：∵二次函数y＝－x2+2x ＝－(x－1)2+1，a=－1 ＜ 0，∴抛物线开口向下，当x＝1 时，函数有最大值为1．
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像和性质
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