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陕西省西安市爱知初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）
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第一部分（选择题共24分）
一、选择题：（共8个小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 在下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. 3C. D.
2. 如图，该几何体的左视图为（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线、上，垂足为点C，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算：（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在中，是的角平分线，于点，，则长是（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形内接于是直径，，若，则的度数为（ ）．
A B. C. D.
8. 二次函数（为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 顶点在第一象限
C. 抛物线与轴正半轴交于点，则
D. 一元二次方程无实数根
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
10. 如图，以正方形边向外作正六边形，连接，则________度．
11. 如图，在菱形中，对角线交于点，若，则的值为_____________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 _____．
13. 如图，在四边形中，，点在上．且，若，则四边形周长最小值为_____________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解不等式组：
16. 解分式方程：．
17. 如图，在中，请利用圆规和无刻度直尺作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
18. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE.
19. 某商品进价为200元，若按标价的七五折销售，则利润率为，求这件商品的标价．
20. 某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—做德塔”的高度，为了测得敬德塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点处测得塔顶的仰角为，从点向正前方行进4米到点处，再用测角仪在点处测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.6米，且三点在同一条直线上．求“敬德塔”的高度．（参考数据：）
21. 为了传承优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校3500名学生参加“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
（1）请补全频数分布直方图，并填空：_____________，_____________；
（2）样本中，成绩中位数所在的分数段是_____________；
（3）若成绩在80分及以上的为“优”等，则该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等的约有多少人？
22. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式．小徐为了推销陕西的“猕猴桃”和“石榴”，在网上直播带货，小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共200箱，且当天全部售出，进货成本、销售单价如下表所示：
设该团队每天进货“猕猴桃”箱，每天获得的总利润为元．
（1）求出与之间函数关系式；
（2）若该团队每天投入总成本不超过8000元，应怎样安排“猕猴桃”和“石榴”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量．
23. 中国共产党的助手和后备军一中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年，需征集宜讲员，九年级一班现有2名男生3名女生，共5名学生报名．
（1）从这5人中随机挑选1人，则抽到男生的概率是______；
（2）从这5人中随机抽取两名担任党史宣讲员．请利用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
24. 如图，是的直径，点在上，连接交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距㐫之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
图1 图2
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
26. （1）如图1，，连接，则_____________．
（2）如图2，在中，，求的最大面积．
（3）如图3，西安市规划局计划打造一片公共休闲区域（即四边形），准备在中种植绿植，同时以为边在它的左侧打造一个等边三角形的花卉园（即），要求，且使四边形的面积最大，请问是否存在满足要求的四边形，如果存在，求出四边形面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
…
0
1
3
…
…
3
5
3
…
成绩分
频数
频率
10
30
40
50
进货成本（元/箱）
销售单价（元/箱）
猕猴桃
41
50
石榴
37
44
第一部分（选择题共24分）
一、选择题：（共8个小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 在下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. 3C. D.
2. 如图，该几何体的左视图为（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线、上，垂足为点C，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算：（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在中，是的角平分线，于点，，则长是（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形内接于是直径，，若，则的度数为（ ）．
A B. C. D.
8. 二次函数（为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 顶点在第一象限
C. 抛物线与轴正半轴交于点，则
D. 一元二次方程无实数根
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
10. 如图，以正方形边向外作正六边形，连接，则________度．
11. 如图，在菱形中，对角线交于点，若，则的值为_____________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 _____．
13. 如图，在四边形中，，点在上．且，若，则四边形周长最小值为_____________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解不等式组：
16. 解分式方程：．
17. 如图，在中，请利用圆规和无刻度直尺作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
18. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE.
19. 某商品进价为200元，若按标价的七五折销售，则利润率为，求这件商品的标价．
20. 某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—做德塔”的高度，为了测得敬德塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点处测得塔顶的仰角为，从点向正前方行进4米到点处，再用测角仪在点处测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.6米，且三点在同一条直线上．求“敬德塔”的高度．（参考数据：）
21. 为了传承优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校3500名学生参加“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
（1）请补全频数分布直方图，并填空：_____________，_____________；
（2）样本中，成绩中位数所在的分数段是_____________；
（3）若成绩在80分及以上的为“优”等，则该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等的约有多少人？
22. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式．小徐为了推销陕西的“猕猴桃”和“石榴”，在网上直播带货，小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共200箱，且当天全部售出，进货成本、销售单价如下表所示：
设该团队每天进货“猕猴桃”箱，每天获得的总利润为元．
（1）求出与之间函数关系式；
（2）若该团队每天投入总成本不超过8000元，应怎样安排“猕猴桃”和“石榴”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量．
23. 中国共产党的助手和后备军一中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年，需征集宜讲员，九年级一班现有2名男生3名女生，共5名学生报名．
（1）从这5人中随机挑选1人，则抽到男生的概率是______；
（2）从这5人中随机抽取两名担任党史宣讲员．请利用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
24. 如图，是的直径，点在上，连接交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距㐫之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
图1 图2
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
26. （1）如图1，，连接，则_____________．
（2）如图2，在中，，求的最大面积．
（3）如图3，西安市规划局计划打造一片公共休闲区域（即四边形），准备在中种植绿植，同时以为边在它的左侧打造一个等边三角形的花卉园（即），要求，且使四边形的面积最大，请问是否存在满足要求的四边形，如果存在，求出四边形面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
…
0
1
3
…
…
3
5
3
…
成绩分
频数
频率
10
30
40
50
进货成本（元/箱）
销售单价（元/箱）
猕猴桃
41
50
石榴
37
44
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