高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）课后作业题，共29页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10463" 【题型1 一次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10463 \h 1
\l "_Tc2166" 【题型2 二次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2166 \h 2
\l "_Tc2034" 【题型3 幂函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2034 \h 4
\l "_Tc27370" 【题型4 分段函数模型的应用】 PAGEREF _Tc27370 \h 5
\l "_Tc10540" 【题型5 “对勾”函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10540 \h 6
\l "_Tc22164" 【题型6 函数模型的综合应用】 PAGEREF _Tc22164 \h 8
【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果
要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
【题型1 一次函数模型的应用】
【例1】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第k次后，前k次共倒出纯酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出纯酒精fx升，则fx的解析式是（ ）
A．fx=45x+2B．fx=15x+2C．fx=45x+2D．fx=15x
【变式1-1】（2022秋·四川广安·高一校考阶段练习）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A．y=20−2xB．y=20−2x(0C．y=20−2x(5≤x≤10)D．y=20−2x(5【变式1-2】（2023春·福建·高三统考学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）
A．2100元B．2400元C．2700元D．3000元
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【题型2 二次函数模型的应用】
【例2】（2023春·广东广州·高一校考期中）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长AM=300米，宽AN=200米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生活动中心，要求顶点C在地块的对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米.

(1)要使矩形活动区域ABCD的面积不小于14400平方米，AB的长度应在什么范围？
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形活动区域ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
【变式2-1】（2023·高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为18°、36°、54°、72°、90°时，烧开一壶水所耗燃气情况：
请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？
【变式2-2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将x(10≤x≤32,x∈N∗)个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5x%，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为m−38x万元．
(1)当m=20时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x的取值范围
(2)当22【变式2-3】（2023秋·北京西城·高一统考期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（1≤t≤20,t∈N，单位：天）之间的函数关系式为r=14t+10，且日销售量p（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为p=120−2t．
(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？
(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠mm∈N∗元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
【知识点2 幂函数模型的应用】
1．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【题型3 幂函数模型的应用】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A．14B．12C．23D．34
【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万m2，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为x%，设2014年新建经济住房面积为ym2，则y关于x的函数是（ ）
A．y=800(1+3x%)(x>0)B．y=800(1+x%)3(x>0)
C．y=800(1+4x%)(x>0)D．y=800(1+x%)4(x>0)
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：31.82≈1.22,31.73≈1.2）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为（ ）
A．52.4B．53.6C．62.4D．63.6
【知识点3 分段函数模型的应用】
1．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
【题型4 分段函数模型的应用】
【例4】（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）某企业生产一种化学产品的总成本y（单位：万元）与生产量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为y=x3−40x2+500x,x∈0,3012x2+50x+800,x∈30,+∞，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（ ）
A．20吨B．40吨C．50吨D．60吨
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43B．2280C．680D．不能确定
【变式4-2】（2023春·广东河源·高二校考期中）在一般情况下，过江大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设当车流密度x=x0时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）fx=x⋅vx可以达到最大．则（ ）
A．x0=100B．x0=120C．fx0=3000D．fx0=6000
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y=13x3−80x2+5040x,x∈[120,144)12x2−200x+80000,x∈[144,500]，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【知识点4 “对勾”函数模型的应用】
1．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【题型5 “对勾”函数模型的应用】
【例5】（2022秋·河北邯郸·高一校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用x （0(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（注：利润=销售额−投入成本−促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？
【变式5-1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距45km的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速50km/h.油价为每升8元，当汽车以xkm/h的速度行驶时，油耗率为3+x2360L/h.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
【变式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．受地域影响，AD的长度最多能达到4m，其余边长没有限制．
(1)设总价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．
【变式5-3】（2022·江苏·高一专题练习）某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用mm≥0（单位：万元）满足x=3−km+1（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
(1)将2021年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？
【题型6 函数模型的综合应用】
【例6】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+45000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
【变式6-1】（2023·江苏·高一假期作业）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数Rx=400x−12x2,0≤x≤40080000,x>400，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数fx；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【变式6-3】（2023春·上海杨浦·高一校考开学考试）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本px万元，当产量不足60万箱时，px=12x2+50x；当产量不小于60万箱时，px=101x+6400x−1860，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
专题3.4 函数的应用（一）【六大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10463" 【题型1 一次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10463 \h 1
\l "_Tc2166" 【题型2 二次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2166 \h 3
\l "_Tc2034" 【题型3 幂函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2034 \h 7
\l "_Tc27370" 【题型4 分段函数模型的应用】 PAGEREF _Tc27370 \h 9
\l "_Tc10540" 【题型5 “对勾”函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10540 \h 12
\l "_Tc22164" 【题型6 函数模型的综合应用】 PAGEREF _Tc22164 \h 15
【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果
要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
【题型1 一次函数模型的应用】
【例1】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第k次后，前k次共倒出纯酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出纯酒精fx升，则fx的解析式是（ ）
A．fx=45x+2B．fx=15x+2C．fx=45x+2D．fx=15x
【解题思路】求出第k次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第k+1次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒k+1次共倒出的纯酒精．
【解答过程】∵第k次时共倒出了纯酒精x升，
∴第k次倒出后容器中含纯酒精为(10−x)升
第k+1次倒出的纯酒精是10−x10⋅2升
所以倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f(x)=x+10−x10⋅2=45x+2
故选：C.
【变式1-1】（2022秋·四川广安·高一校考阶段练习）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A．y=20−2xB．y=20−2x(0C．y=20−2x(5≤x≤10)D．y=20−2x(5【解题思路】由等腰三角形的周长为20，得到y=20−2x，结合三角形的性质，求得5【解答过程】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，
可得y+2x=20，所以y=20−2x，
又由2x>y，即2x>20−2x，即x>5，
因为y>0，即20−2x>0，可得x<10，所以5所以解析式为y=20−2x(5故选：D.
【变式1-2】（2023春·福建·高三统考学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）
A．2100元B．2400元C．2700元D．3000元
【解题思路】利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入．
【解答过程】设一次函数为：y=kx+bk≠0，将0,1800和2,2400代入得：1800=b2400=2k+b，
解得k=300,b=1800，
故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为y=300x+1800，
令x=3，可得y=300×3+1800=2700元，
故选：C.
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项.
【解答过程】设目前车票价格为k1，支出费用为b1，则y=k1x−b1，
对于建议（I），设建议后的支出费用为b2（b2＜b1），则y=k1x−b2，
显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）；
对于建议（II），设建议后的车票价格为k2（k2＞k1），则y=k2x−b1，
显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）．
故选：C．
【题型2 二次函数模型的应用】
【例2】（2023春·广东广州·高一校考期中）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长AM=300米，宽AN=200米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生活动中心，要求顶点C在地块的对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米.

(1)要使矩形活动区域ABCD的面积不小于14400平方米，AB的长度应在什么范围？
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形活动区域ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
【解题思路】（1）由已知可得△NDC∽△NAM，可求得ND=23x，可得出AD=200−23x，利用矩形的面积公式可得出关于x的不等式，即可解得x的取值范围；
（2）利用二次函数的基本性质可求得矩形ABCD面积的最大值，及其对应的x的值，即可得出结论.
【解答过程】（1）解：因为CD//AB，由图可知，△NDC∽△NAM，即CDAM=NDNA，即x300=ND200，
所以，ND=23x，所以，AD=AN−ND=200−23x，其中0矩形ABCD的面积为fx=AB⋅AD=x⋅200−23x=−23x2+200x，其中0由fx=−23x2+200x≥14400，整理可得x2−300x+21600≤0，解得120≤x≤180，
因此，当120≤x≤180时，形活动区域ABCD的面积不小于14400平方米.
（2）解：由（1）知，fx=−23x2+200x=−23x−1502+15000，其中0故当x=150时，函数fx取最大值，即fxmax=f150=15000，
因此，当AB=150米，AD=100米时，矩形活动区域ABCD的面积最大，且最大值为15000平方米.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为18°、36°、54°、72°、90°时，烧开一壶水所耗燃气情况：
请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？
【解题思路】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：m3）为y，在平面直角坐标系中描点，可选择二次函数进行模拟拟合，设y=ax2+bx+ca≠0，取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入，求出a,b,c，根据二次函数的性质求出最小值.
【解答过程】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：m3）为y，在平面直角坐标系中描出表中的五个点(x,y)如图，

可以选择二次函数进行模拟拟合，设y=ax2+bx+ca≠0，
不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入，
得0.130=a⋅182+18b+c0.122=a⋅362+36b+c0.172=a⋅902+90b+c，解得a=1.9033×10−5b=−1.4722×10−3c=1.5033×10−1，
故y=1.9033×10−5x2−1.4722×10−3x+1.5033×10−1,
当x=−b2a=−−1.4722×10−32×1.9033×10−5≈39时，
y的最小值为4ac−b24a=4×1.9033×10−5×1.5033×10−1−−1.4722×10−324×1.9033×10−5≈0.1218（m3）.
所以当x≈39（度）时，烧开一壶水所耗燃气最少，约0.1218 m3．
【变式2-2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将x(10≤x≤32,x∈N∗)个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5x%，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为m−38x万元．
(1)当m=20时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x的取值范围
(2)当22【解题思路】（1）当m=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为y1,y2，表示出y1,y2，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，即y1+y2≥100×10×140%，解不等式结合10≤x≤32,x∈N∗，即可得出答案.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z万元，可得Z=xm−38x+100−x10+0.25x，由二次函数的性质结合22【解答过程】（1）当m=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为y1,y2，
则y1=x20−38x，(10≤x≤32,x∈N∗)，
y2=100−x10+10×0.025x=100−x10+0.25x
=−0.25x2+15x+1000，
要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，
则y1+y2≥100×10×140%，
所以x20−38x−0.25x2+15x+1000≥1400，
化简得：x2−56x+640≤0，即x−40x−16≤0，
解得：16≤x≤40，又因为10≤x≤32,x∈N∗，
所以16≤x≤32，x∈N∗.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为Z万元，
所以Z=xm−38x+100−x10+0.25x
=−58x2+m+15x+100010≤x≤32,x∈N*，
=−58x−45m+152+25m+152+1000，
当22所以当x∈10,45m+15时，函数在单调递增，当x∈45m+15，32时，函数在单调递减，
所以，当x=29时，Z1=29m+909.375，
当x=30时，Z2=30m+887.5，
当x=31时，Z3=31m+864.375，
所以当22Z1，
Z3−Z2=m−23.125，所以Z2>Z3，
所以Z2最大，所以当x=30时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：30m+887.5万元.
【变式2-3】（2023秋·北京西城·高一统考期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（1≤t≤20,t∈N，单位：天）之间的函数关系式为r=14t+10，且日销售量p（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为p=120−2t．
(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？
(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠mm∈N∗元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
【解题思路】（1）通过计算得f(t)=rp=−12(t−10)2+1250，根据二次函数最值即可得到答案；
（2）计算g(t)=−12t2+(10+2m)t+1200−120m，根据题意得到不等式10+2m>19.5， 且m≤14t+10对于1≤t≤20 , t∈N∗均成立以及m∈N∗，最后取交集即可.
【解答过程】（1）设第t日的销售利润为f(t)，则
f(t)=rp=(14t+10)(120−2t) =−12t2+10t+1200 =−12(t−10)2+1250.
∵1≤t≤20,t∈N，
当t=10时，f(t)max=1250.
所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.
（2）设捐赠之后第t日的销售利润为g(t)，则
g(t)=(14t+10−m)(120−2t) =−12t2+(10+2m)t+1200−120m.
依题意，m应满足以下条件：
①m∈N∗；
②10+2m>19+202=19.5，即m>4.75；
③m≤14t+10对于1≤t≤20 , t∈N均成立，即m≤10.25.
综上5≤m≤10，且m∈N∗.
【知识点2 幂函数模型的应用】
1．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【题型3 幂函数模型的应用】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A．14B．12C．23D．34
【解题思路】初始状态设为(x1,y1)，变化后为(x2,y2)，根据x1,x2，y1,y2的关系代入后可求解．
【解答过程】设初始状态为(x1,y1)，则x2=16x1，y2=8y1，
又y1=kx1α，y2=kx2α，即8y1=k(16x1)α =k⋅16αx1α，
8y1y1=k⋅16αx1αkx1α，16α=8，24α=23，4α=3，α=34．
故选：D．
【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万m2，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为x%，设2014年新建经济住房面积为ym2，则y关于x的函数是（ ）
A．y=800(1+3x%)(x>0)B．y=800(1+x%)3(x>0)
C．y=800(1+4x%)(x>0)D．y=800(1+x%)4(x>0)
【解题思路】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案．
【解答过程】由题意知
2012年为800(1+x%)(x>0)
2013年为800(1+x%)2(x>0)
2014年为y=800(1+x%)3(x>0)
故选B.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：31.82≈1.22,31.73≈1.2）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【解题思路】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.
【解答过程】由题意，设年平均增长率为x，则150(1+x)3+10=270，
所以x=32615−1≈1.2−1=0.2，故年平均增长率为20%.
故选：B.
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为（ ）
A．52.4B．53.6C．62.4D．63.6
【解题思路】求出2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，根据题意可得出关于t的不等式，解出t的范围即可得解.
【解答过程】因为该公司2020年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加 20亿元，所以2025年的总收入为300亿元，
因为要求从2020年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，
所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，所以300−50t5≤300×0.6，解得t≥52.4.故t的值至少为52.4，
故选：A.
【知识点3 分段函数模型的应用】
1．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
【题型4 分段函数模型的应用】
【例4】（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）某企业生产一种化学产品的总成本y（单位：万元）与生产量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为y=x3−40x2+500x,x∈0,3012x2+50x+800,x∈30,+∞，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（ ）
A．20吨B．40吨C．50吨D．60吨
【解题思路】由总成本与生产量之间的关系求出平均生产成本的函数解析式，求函数取最小值时的x的值即为所求.
【解答过程】因为总成本y与生产量x之间的关系为y=x3−40x2+500x,x∈0,3012x2+50x+800,x∈30,+∞，
设平均生产成本为f(x)，则f(x)=yx=x2−40x+500,x∈0,30x2+800x+50,x∈30,+∞，
当x∈0,30时，f(x)=x2−40x+500=x−202+100，
则x=20时，f(x)最小为100，
当x∈30,+∞时，f(x)=x2+800x+50≥2x2⋅800x+50=90，
当且仅当x2=800x，即x=40时，f(x)最小为90，
综上，x=40，即生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43B．2280C．680D．不能确定
【解题思路】根据已知写出税法修改前纳税额与工资的分段函数形式，根据个人所得税求出某人工资，再按新税法求税额即可.
【解答过程】设工资为x元，
当0≤x≤800，纳税为0元；
当800当1300当2800所以，纳税为y=0,0≤x≤800x20−40,800而25<123<175，令x10−105=123，可得x=2280元，
由x−1600=680>500，则按新税法只要交税500×5%+(680−500)×10%=43元.
故选：A.
【变式4-2】（2023春·广东河源·高二校考期中）在一般情况下，过江大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设当车流密度x=x0时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）fx=x⋅vx可以达到最大．则（ ）
A．x0=100B．x0=120C．fx0=3000D．fx0=6000
【解题思路】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出k，m的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．
【解答过程】vx=0,x≥200kx+m,20≤x≤20090,0则当x=200时，v200=0，
当x=20时，v20=90，即200k+m=020k+m=90，解得k=−12，m=100，
故fx=x⋅vx=0,x≥200−12x+100x,20≤x≤20090x,0当0当20≤x≤200时，fx=−12x+100x=−12x2+100x，
根据二次函数的对称轴方程为x=100，得fx的最大值为x0=100时，f100=5000．
故选：A．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y=13x3−80x2+5040x,x∈[120,144)12x2−200x+80000,x∈[144,500]，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x∈[120,144)和x∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可
【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S=13x2−80x+5040,x[120,144)12x−200+80000x,x∈[144,500]，
当x∈[120,144)时，S=13x2−80x+5040=13(x−120)2+240，
当x=120时，S取得最小值240，
当x∈[144,500] 时，S=12x+80000x−200≥212x⋅80000x−200=200，
当且仅当12x=80000x，即x=400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D.
【知识点4 “对勾”函数模型的应用】
1．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【题型5 “对勾”函数模型的应用】
【例5】（2022秋·河北邯郸·高一校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用x （0(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（注：利润=销售额−投入成本−促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？
【解题思路】（1）根据题意可得销售额1+20x+1x+1=x+21，则利润y=1+20x+1x+1−x+1x+1−x，0（2）由（1）得y=−x+1x+20，x∈0,a，利用基本不等式可得x+1x≥2x⋅1x=2，结合对勾函数的性质，分类讨论0【解答过程】（1）由题意得y=1+20x+1x+1−x+1x+1−x=−x−1x+20，x∈0,a；
（2）由（1）得y=−x+1x+20，x∈0,a，
∵x>0，
∴x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
由对勾函数的性质可知：
当0∴当x=a时，ymax=−a+1a+20；
当a≥1时，y=−x+1x+20≤−2+20=18，当且仅当x=1时等号成立，
综上所述，当0当a≥1时，当促销费用投入1万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为18万元.
【变式5-1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距45km的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速50km/h.油价为每升8元，当汽车以xkm/h的速度行驶时，油耗率为3+x2360L/h.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
【解题思路】根据题设可得y=3600x+x，0≤x≤50，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.
【解答过程】设汽车以xkm/h行驶时，开车时间为45x小时，则代驾费用为45x×56，
油耗为45x×3+x2360，
则总费用y=45x×3+x2360×8+45x×56=45×8×3x+x360+7x，
=36010x+x360=3600x+x，
由对勾函数的性质知，函数在0,60单调递减，在60,+∞上单调递增，
因为0≤x≤50，所以当x=50时，y取到最小值，
最小值为y=360050+50=72+50=122.
最经济的车速为50km/h时，使得本次行程的总费用最少为122元.
【变式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．受地域影响，AD的长度最多能达到4m，其余边长没有限制．
(1)设总价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），试建立S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．
【解题思路】（1）先设DQ=y，又AD=x，建立等式找出x,y得关系计算S即可；
（2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件.
【解答过程】（1）设DQ=y，又AD=x，0则x2+4xy=200，∴y=200−x24x，
∴S=4200x2+210×4xy+80×2y2=38000+4000x2+400000x2 0（2）由（1）得S=38000+4000x2+400000x2，
利用均值不等式得S=38000+4000x2+400000x2≥38000+24000x2×400000x2=118000，
当4000x2=400000x2时，即x=10时等号成立，
所以当x=10m时，S最小，最小值为118000元.
【变式5-3】（2022·江苏·高一专题练习）某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用mm≥0（单位：万元）满足x=3−km+1（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
(1)将2021年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？
【解题思路】（1）由m=0时，x=1可构造方程求得k，得到x=3−2m+1，代入利润y关于x的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得16m+1+m+1≥8，由取等条件可得结果；
（3）利用对勾函数的单调性即得.
【解答过程】（1）由题意可知：当m=0时，x=1（万件），
∴1=3−k，解得：k=2，
∴x=3−2m+1，又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx，
∴2021年利润y=x1.5×8+16xx−8+16x+m=4+8x−m=4+83−2m+1−m
=28−16m+1−mm≥0；
（2）因为y=28−16m+1−m=−16m+1+m+1+29m≥0，
当m≥0时，16m+1+m+1≥8（当且仅当16m+1=m+1，即m=3时取等号），
此时年利润ymax=21（万元）；
∴该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
（3）因为y=28−16m+1−m=−16m+1+m+1+29m≥0，
当0≤m≤2时函数为增函数，故当m=2时，ymax=623（万元），
故当促销费用为2万元时，该厂家的利润最大.
【题型6 函数模型的综合应用】
【例6】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+45000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
【解题思路】（1）依题意写出每吨的平均处理成本与月处理量x之间的函数关系，再用基本不等式即可求解；
（2）设该单位每月获利s元根，据题意写出s的函数关系式，用一元二次函数求最值的方法求解.
【解答过程】（1）由题意，每吨的平均处理成本为12x+45000x−200≥212x⋅45000x−200=100，当且仅当12x=45000x，即x=300时等号成立，
故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
（2）设该单位每月获利为s元，则s=200x−y=−12x2+400x−45000=−12(x−400)2+35000.因为x∈300,600，所以s∈15000,35000.
故该单位每月获利，最大利润为35000元.
【变式6-1】（2023·江苏·高一假期作业）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【解题思路】（1）由题设f(x)=k1x，g(x)=k2x，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式y=f(x)+g(10−x)=12x+210−x(0≤x≤10)换元法求得函数最值得解.
【解答过程】（1）设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元
由题设f(x)=k1x，g(x)=k2x，
由图知f2=1，故k1=12，又g(4)=4，所以k2=2．
从而f(x)=12x(x≥0)，g(x)=2x(x≥0)．
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10−x万元，设企业利润为y万元
则y=f(x)+g(10−x)=12x+210−x(0≤x≤10)，
令t=10−x，则y=−12(t−2)2+7(0≤t≤10)，
当t=2时，ymax=7，此时x=6.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数Rx=400x−12x2,0≤x≤40080000,x>400，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数fx；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【解题思路】（1）利用利润=总收益−固定成本−投入成本，即可求解利润fx关于月产量x的函数；
（2）分段求解利润关于月产量的最大值并比较即可.
【解答过程】（1）∵Rx=400x−12x2,0≤x≤40080000,x>400
当0≤x≤400时，f(x)=400x−12x2−100x−20000=−12x2+300x−20000，
当x>400时，f(x)=80000−100x−20000=60000−100x，
∴f(x)=−12x2+300x−20000,0≤x≤40060000−100x,x>400；
（2）当0≤x≤400时，f(x)=−12x2+300x−20000=−12(x−300)2+25000
∴当x=300时，f(x)max=25000；
当x>400时，f(x)=60000−100x在定义域内单调递减，
∴f(x)∵20000<25000,
∴当x=300时，f(x)max=25000；
∴当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.
【变式6-3】（2023春·上海杨浦·高一校考开学考试）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本px万元，当产量不足60万箱时，px=12x2+50x；当产量不小于60万箱时，px=101x+6400x−1860，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【解题思路】(1) 根据产量x的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.
(2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.
【解答过程】（1）当0当x≥60时，y=100x−101x+6400x−1860−400=1460−x+6400x.
所以，y=−12x2+50x−400,0（2）当0当x=50时，y取得最大值，最大值为850万元；
当x≥60时，y=1460−x+6400x≤1460−2x⋅6400x=1300，
当且仅当x=6400x时，即x=80时，y取得最大值，最大值为1300万元.
综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.旋钮的转角
（单位：度）
18
36
54
72
90
所耗燃气量
（单位：m3）
0.130
0.122
0.139
0.149
0.172
级数
全月应纳税所得额
税率%
1
不超过500元
5
2
500~2000元
10
3
2000~5000元
15
旋钮的转角
（单位：度）
18
36
54
72
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所耗燃气量
（单位：m3）
0.130
0.122
0.139
0.149
0.172
级数
全月应纳税所得额
税率%
1
不超过500元
5
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500~2000元
10
3
2000~5000元
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