《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.7 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.7 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(A）（原卷版+解析），共17页。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川省芦山中学高二期中（理）），则（ ）
A．6B．5C．3D．2
2．（2022·吉林·高二期末）曲线在点的切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））设函数，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的导数为．则的值为（ ）
A．3B．4C．2D．
6．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
8．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）函数的极值点是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·浙江·高二期中）如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( )
A．B．C．D．
11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
12．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（理））若，则________
14．（2022·陕西渭南·高二期末（理））曲线在点处的切线方程为_______.
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））曲线在点处的切线也为曲线的切线，则实数______.
16．（2021·北京房山·高二期中）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二阶段练习）已知曲线：
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
19．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
20．（2022·全国·高二专题练习）设函数，已知在和处，取得极值，求a和b的值；
22．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）
（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；
（2）如何设计与的长度，使得最大？
专题5.7 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·四川省芦山中学高二期中（理）），则（ ）
A．6B．5C．3D．2
【答案】C
【分析】求导，即可得解.
【详解】解：，
则.
故选：C.
2．（2022·吉林·高二期末）曲线在点的切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可得，∴，即，
∴切线方程为．
故选： B
3．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：D.
4．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））设函数，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.
【详解】∵，
∴，
解得.
故选：B.
5．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的导数为．则的值为（ ）
A．3B．4C．2D．
【答案】A
【分析】根据列方程，求得，进而求得.
【详解】，
所以，解得，
所以.
故选：A
6．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.
【详解】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
7．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】函数存在减区间,则有解可求解.
【详解】由题可知,
因为函数存在减区间,则有解,
即有解,
令,,
令,解得 ; 令,解得 ,
所以在单调递减, 单调递增,
所以,
因为有解,所以,
解得.
故选:D.
8．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求导，再解不等式即可.
【详解】由得，，
令且，
解得
即的解集为
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）函数的极值点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】求导，令，求出方程的根，根据极值点的定义即可判断.
【详解】由得：，
令，则，当时，,当时，，故均是函数的极值点，
故选：ABC
10．（2022·浙江·高二期中）如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( )
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由图像即可求f(3)，可判断A；根据l过(3，1)可求，可判断B；根据f(3)可计算g(3)，可判断C；根据可求，可判断D.
【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增，且，，，
则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值.
故选：BC
12．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
【答案】AC
【分析】由导函数的图像判断导数的正负，再通过导函数的零点左右两侧的导函数的正负来确定函数的极值和极值点
【详解】解：由导函数的图像可得，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以在时取极小值，所以A正确，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以是极小值点，所以C正确，
而和，左右两边的导数值同号，所以和不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（理））若，则________
【答案】
【分析】由导数的运算法则与赋值法求解，
【详解】，令，得，
故答案为：
14．（2022·陕西渭南·高二期末（理））曲线在点处的切线方程为_______.
【答案】
【分析】由导数的概念和求导公式直接计算即可.
【详解】因为，所以在点的斜率，
又因为，所以切线方程为，
化简得.
故答案为：.
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））曲线在点处的切线也为曲线的切线，则实数______.
【答案】
【分析】利用导数求得曲线在点处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方程也是曲线的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数a的值.
【详解】由求导得 ， 则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为，
设直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得，解得.
故答案为：-1
16．（2021·北京房山·高二期中）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.
【详解】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二阶段练习）已知曲线：
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的原理求解..
【详解】（1）由题得，所以.
（2）因为，
所以，切线方程为，
即.
19．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，
此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，
所以.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
20．（2022·全国·高二专题练习）设函数，已知在和处，取得极值，求a和b的值；
【答案】
【分析】求导，根据极值点列出方程组，求出a和b的值，再进行检验.
【详解】，由题意得：和是的两根，分别代入得：，解得：，检验：当时， ，此时与均是极小值点，满足题意；综上：
21．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高二阶段练习（文））已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
【答案】(1)1
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.
【详解】（1）因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
（2）令，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
22．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）
（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；
（2）如何设计与的长度，使得最大？
【答案】（1），（2）当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【分析】（1）由矩形其外周长为毫米，设的长为毫米，可得AB的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）对（1）求得的函数关系式求导得，据此讨论函数单调性，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值．
【详解】解：（1）由得，
由得，
所以防蚊液体积，
（2）求导得，
令得；令得，
所以在上单调增，在上单调减，
所以当时，有最大值，此时，，
答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【点睛】本题是考查关于函数及其导数的一道应用题，难度不大．
x
0
2
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘