2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）（原卷版+解析）

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考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
考法2：数形结合法判段函数零点个数
考法3：转化法判断函数零点个数
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
二、命题规律与备考策略
一、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、题型方法
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．若与图象至多有2个公共点
B．若与图象至少有2个公共点
C．若与图象至多有2个公共点
D．若与图象至少有2个公共点
三、填空题
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．
①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.
8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像
(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．
(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．
考法2：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数﹐定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有．若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（ ）
A．nB．C．D．
二、多选题
5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
考法3：转化法判断函数零点个数
一、单选题
1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程解的情况是（ ）
A．有且只有一个根B．不仅有根还有其他根
C．有根和另一个负根D．有根和另一个正根
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（ ）．
①当时，函数没有零点；
②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数；
③当时，函数有两个不同零点；
④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1．
A．①②B．②③C．②④D．③④
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则函数的零点个数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
三、填空题
7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数，，则函数的零点个数为______．
四、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，当时，
（1）求，的值；
（2）求的解析式并画出函数的简图；
（3）讨论方程的根的情况.
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（ ）个
A．6B．7
C．12D．13
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.
三、解答题
4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数是自然对数的底数.
(1)讨论函数的极值点的个数；
(2)证明：函数在区间内有且只有一个零点.
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数有唯一的零点，则实数m为（ ）
A．2B．C．3D．
5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．
C． D．
三、填空题
7．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
9．（2023·全国·校联考二模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______.
10．（2023·天津河西·统考一模）已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数．
(1)求实数k的值．
(2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围．
(3)函数（且），函数有2个零点，求实数m的取值范围．
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求的单调性；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数a的取值范围．
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
一、单选题
1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若，有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数且有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______.
4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是________.
三、解答题
5．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的最值；
(2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．x
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）
【目录】
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
考法2：数形结合法判段函数零点个数
考法3：转化法判断函数零点个数
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
二、命题规律与备考策略
一、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法
已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、题型方法
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的化简可得，令2x-=kπ求得x=+，k∈Z，列举k的值即可求解.
【详解】
，
当2x-=kπ，k∈Z时，x=+，k∈Z，
所以当k=0时，x=，当k=1时，x=，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.
故选：B.
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
二、多选题
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．若与图象至多有2个公共点
B．若与图象至少有2个公共点
C．若与图象至多有2个公共点
D．若与图象至少有2个公共点
【答案】ACD
【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B, 假设，可以判断该选项错误；对于选项D，说明有两个解即可判断该选项真假.
【详解】对于选项A. ，所以与图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项B, 假设，则令，
所以或，所以.所以此时与图象只有1个公共点，所以该选项错误；
对于选项C，，令，所以，此时与图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项D, ,令，假设 或，所以和是的两个解，所以与图象至少有2个公共点，所以该选项正确.
故选：ACD
三、填空题
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．
①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件①②可令函数为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，再验证单调性作答.
【详解】因为是上偶函数，且在上恰有三个零点，于是的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0，
不妨令，显然是上偶函数，且有3个零点分别为，
求导得，当时，恒成立，因此函数在上单调递增，
所以函数符合题意.
故答案为：
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？
【答案】401
【分析】依题意可求得，再求得在区间上，方程至少两个根，结合周期函数性质求解即可．
【详解】由，则，
又，则，
所以，
则，
又，
所以在区间上，方程至少两个根，
又是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根，
所以方程在区间上至少有1+个根．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.
【分析】（1）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）由可得出，由结合判别式可判断出方程的根的个数，由此可证得结论成立.
（1）
解：函数的定义域为，.
当时，则，由可得，由可得，
此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由可得或.
①当时，，由可得或，由可得，
此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
②当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
（2）
解：由可得，因为，则，
即关于的方程有两个不等的实根，
所以，当时，在上有且仅有两个零点.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像
(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．
(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)；
(3)，在共有个不同的零点
【分析】（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式和图象.
（2）由（1）可得函数的解析式，伸缩和平移变换求出的解析式.
（3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数.
【详解】（1）根据表中的数据可得 ，解得，
故，所以，
又，故.
所以完善表如下：
.
函数图像如图：
（2）由（1）知：，将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
故.
（3），的周期为，
当时，令，考虑方程的根情况，
因为，故在必有两个不同的实数根，
因为在有奇数个零点，故或.
若，则方程、在共有4个不同的实数根，
在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
同理也不成立，所以或，
若，则，此时的根为，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，
所以在有个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
所以故在有个根，符合题意.
综上，，在共有个不同的零点.
考法2：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
【答案】C
【分析】因为 ,得出,进而依此类推，可得，易知单调性，数形结合函数的图像与这一系列直线 确定交点个数即可.
【详解】因为 ,所以当时, ,
得或,
得或,
由得或，
由得，进而可得,
故由可得，或或.
依此类推，可得，其中 k =0,,2023.
易知,,可得在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递减，画出函数的图像，如图所示．
结合图像易知，函数的图像与这一系列直线 ,,共有2027个交点.
故选 :C
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)