江西省赣州市经开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江西省赣州市经开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（ ）
A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．8∶27
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．某运动员射击一次击中靶心
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．明天一定是晴天
4．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r之间的关系B．电压一定时，电流I与电阻R之间的关系
C．速度一定时，路程S与时间t之间的关系D．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系
6．数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条：
①存在函数，其图象经过点；
②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；
③函数图象有可能经过两个象限；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
上述结论中正确的为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、填空题
7．若点与点关于原点对称，则 ．
8．二次函数的顶点坐标是 ．
9．如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为 ．
10．如图，四边形内接于，，则的度数是 ．

11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为24，点B在y轴上，点C在反比例函数的图象上，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，点，的半径为2．若圆心M从点O开始沿x轴移动，当 时，与直线相切．
三、解答题
13．（1）解方程：：
（2）如图，在中，是斜边上的高．求证：．
14．书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
15．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小亮从中随机抽到卡片的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
16．已知是⊙的直径，为等腰三角形，且为底边，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图①中，点在圆上，画出正方形；
（2）在图②中，画菱形．
17．如图，双曲线经过的顶点A，交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)确定k的值；
(2)若点C为中点，求的面积．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
19．如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．如图，正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出关于原点O成中心对称的；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的；
(3)求在（2）中的旋转过程中，边扫过的面积．
21．如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
22．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)设抛物线的解析式为，求a和k的值；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求点F的坐标；
(3)将抛物线向右平移m（）个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与y轴的正半轴相交于点D，且，求m的值．
23．课本再现

(1)如图1，两张等宽的纸条交叉放在一起，重合部分构成的四边形的形状是______；
(2)如图2，横着放置的纸条是斜着放置的纸的宽的两倍，猜想与的数量关系，并证明；
(3)如图3，连接，若，沿将纸条剪开，再将重新放置到的位置，使两个直角顶点重合，．A．三点在同一直线上，如图4．则与的数量关系是______．
(4)在（3）的条件下，将绕点逆时针方向旋转．旋转角为，如图5．

①若，则旋转用的度数是______；
②当旋转角为时，探究与的数量关系．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选∶D
2．A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2∶3，
∴它们对应高线的比为2∶3，
故选：A．
3．C
【详解】必然事件是一定发生的事情，它和偶然事件相对．A、B、D都是偶然事件，C是必然事件．故选C
4．C
【分析】根据旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，得出，再由旋转性质和三角形的外角性质可知．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，
故选：．
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据题意分别写出各个选项中的函数关系式，根据反比例函数的定义（k为常数，）判断．
【详解】解：A、圆的面积与它的半径之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意；
B、电压一定时，电流I与电阻R之间的关系：，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数关系，符合题意；
C、速度一定时，路程S与时间t之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意；
D、在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．①将点代入函数，解出的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．
【详解】解：①将代入可得：，解得：，此选项正确．
②当时，，该函数的函数值始终随的增大而减小；此选项正确；
③当时，，经过3个象限，
当时，，
抛物线必与轴相交，
图象必经过三个象限，此选项错误；
④当时，函数无最大、最小值；
时，，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正；此选项正确．
正确的是①②④．
故选：B
7．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
9．/
【分析】根据位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵OA＝AC，
∴，
∵△AOB与△COD是位似图形，
∴△AOB∽△COD，
∴与的相似比为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
10．/140度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正方形的性质；连接交y轴于点D，由正方形的性质得，再由的几何意义得，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交y轴于点D，
四边形为正方形，
，
，
，
，
解得：，
，
．
故答案：．
12．或
【分析】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由，点，，得，当点在点的左侧，设与直线相切于点，连接，则，得，求得，则；当点在点的右侧，设与直线相切于点，连接，可证明，得，，于是得到问题的答案．
【详解】解：，点，
，，
，
，
当点在点的左侧，设与直线相切于点，连接，则，
，
，
，
，
，
；
当点在点的右侧，设与直线相切于点，连接，则，
，
，，
，
，
，
当或时，与直线相切，
故答案为：或．
13．（1）；（2）证明见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程及相似三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明．
【详解】（1）
解：
∴；
（2）证明：∵在中，是斜边上的高，
∴，
∵，
∴．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确地列出方程是解题的关键．先分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次，列方程求解．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
15．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．
【详解】（1）（小亮抽到卡片）．
（2）列表如下：
或画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片的结果有1种，
所以，（两人都抽到卡片）．
【点睛】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键．
16．（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）过点A作圆的直径与圆的交点即为点D；
（2）过AB、AC与圆的交点作圆的直径，与圆相交于两点，再以点B、C为端点、过所得两点作射线，交点即为点D．
【详解】（1）如图①，正方形即为所求
（2）如图②，菱形即为所求
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及菱形的判定与性质是解题的关键．
17．(1)24
(2)36
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）将点代入解析式，求得m的值，得，从而求得k的值；
（2）先求出，再由C为中点，可得，再求得，从而可以求得的面积．
【详解】（1）将点代入解析式，
得，
解得，
∴，
∴；
（2）由（1）得：
∴，
∵C为中点，
∴，
∴轴，
∴，
∴
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边行的性质可得，再证，即可求证；
（2）可证，可得，结合平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型：“”字形和“”字形的判定方法是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）由勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）由勾股定理可得：
．
由旋转的性质可知，旋转过程中边扫过区域面积．
21．(1)直线与相切，理由见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查圆的切线，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）先证明，即可得出，由可得，从而得出是的半径；
（2）①证明即可得证；
②图中阴影部分的面积，分别求出梯形的面积和扇形的面积即可解答．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形；
解：如图，连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A，点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）求出的解析式，与抛物线的解析式联立即可求解；
（3）先表示出平移后的抛物线的解析式，再将点D的坐标代入，即可求解．
【详解】（1）解：关于y轴对称，点A到x轴的距离是分米，
，即，
，
,
将，代入，
得，
解得，；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为，
由（1）中结论可知，抛物线的解析式为，
联立，得，
解得，，
，
点F的横坐标为，
当时，，
；
（3）解：抛物线向右平移m（）个单位，
新抛物线的解析式为，
，，
，
新抛物线与y轴的正半轴相交于点D，
，
将代入，
得，
解得，
，
．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，求二次函数与一次函数图象的交点等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
23．(1)菱形
(2)，详见解析
(3)
(4)①；②．
【分析】（1）设两张等宽的纸条的宽为h，先证明四边形是平行四边形，再用等面积法说明即可解答；
（2）过A点分别作与的垂线，垂足分别是、．先说明、，再用等面积法即可解答；
（3）如图3：先说明，可得图4：；由，即、，进而得到；再结合、A、三点在同一直线上，说明可得即可解答；
（4）①如图5，过A点作的垂线，垂足为，其反向延长线交于．由可得、，再结合等腰三角形的性质和平行线的判定与性质可得，再根据可得，即，然后根据勾股定理和等量代换可得，即，最后根据特殊角的三角函数值和直角三角形的性质即可解答；②过作于点，过点作交的延长线于点，先说明，．设，则，，，；由勾股定理可得、，最后代入相关数据运算即可解答．
【详解】（1）解：设两张等宽的纸条的宽为h
∵纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为菱形．
（2）解：猜想：，证明如下：
证明：过A点分别作与的垂线，垂足分别是、．

根据题意可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵横着放置的纸条是斜着放置的纸的宽的两倍，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图3：∵，，
∴．
∴如图4：，，
∴，
∵，
∴，，
∴
又∵、A、三点在同一直线上，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，
∴．
（4）解：①如图5，过A点作的垂线，垂足为，其反向延长线交于．

∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴、分别是、的中点．设，，则，
可得：，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴，可得：，
在中，，
∴，
∴，，
∴．即旋转角的度数为．
②过作于点，过点作交的延长线于点，

∵旋转角为，即，
∴，．
设，则，，，．
在中，根据勾股定理可得：，即
在中，根据勾股定理可得：，即
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、旋转综合题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
小刚
小亮