北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第9讲 图形的旋转与中心对称（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第9讲 图形的旋转与中心对称（原卷版+解析)，共96页。试卷主要包含了掌握旋转对称图形等内容，欢迎下载使用。
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；
2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；
3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．
知识精讲
知识点01 生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
【知识拓展1】（2023秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为 ．
【即学即练1】（2023秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（ ）
A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动
C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转
【即学即练2】（2023春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪
知识点02 旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【知识拓展2】（2023秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【即学即练1】（2023秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【即学即练2】（2023秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．27°C．30°D．33°
知识点03 旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【知识拓展3】（2023秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练1】（2023秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36°B．72°C．90°D．108°
【即学即练2】（2023秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
知识点04中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【知识拓展4】（2023秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'
【即学即练1】（2023秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（ ）
A．点AB．点B
C．线段AB的中点D．无法确定
【即学即练2】（2023春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′
知识点05中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
【知识拓展5】 （2023秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶
C．禁止驶入D．环岛行驶
【即学即练1】（2023秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
知识点06关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
【知识拓展6】 （2023秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是 ．
【即学即练1】（2023秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M（a，b）在第 象限．
【即学即练2】（2023秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）
知识点07作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【知识拓展7】 （2023秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
【即学即练1】（2023秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则
∠CDE等于（ ）
A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α
【即学即练2】（2023秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求四边形AOA1B1的面积．
能力拓展
例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，点P为边上的一点，将线段绕点A顺时针方向旋转（点P对应点）．当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点N为边上一动点，点M为边上一个动点，连接，求的最小值．
【变式1】（2023·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角时，．求其它所有可能符合条件的角的度数，画出对应的图形并证明．
【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；
（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为
模块三、中心对称
例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．请回答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到，并写出的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的并写出点的坐标．
【变式1】（2023·山东济南市·八年级期末）如图网格中，△AOB的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
（1）点关于点中心对称点的坐标为（_______，_______）；
（2）△AOB绕点顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标（______，_______）；
（3）在轴上找一点，使得最小，请在图中标出点的位置，并求出这个最小值．
【变式2】（2023·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：
（1）图①中的三个图案面积都是 ，且都具有一个共同特征：都是 对称图形；
（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．85°
2．（2023秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
3．（2023秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FEDD．AB∥DE
4．（2023秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
6．（2023秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
7．（2023秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（ ）
A．1.5cmB．3cmC．5cmD．2.5cm
8．（2023秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
二．填空题（共1小题）
9．（2023秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按 时针方向旋转了90°．
三．解答题（共9小题）
10．（2023秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．
11．（2023秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；
（3）直接写出A'、A″点的坐标．
12．（2023秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
13．（2023秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．
14．（2023秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．
15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．
16．（2023春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？
17．（2023春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
2．（2023秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（ ）
A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．
3．（2023秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
4．（2023秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（2023秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（ ）
A．79°B．80°C．78°D．81°
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
7．（2023秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．
8．（2023秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y＝ ．
9．（2023秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ．
三．解答题（共8小题）
11．（2023秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．
（1）画出△A'B'C'；
（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．
12．（2023秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
13．（2023秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 ；
（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
14．（2023秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．
15．（2023•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．
16．（2023春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
17．（2023秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 ；点A关于y轴对称的点C的坐标是 ；
（3）四边形ABCD的面积是 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为 ．
18．（2023秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共5小题）
1．（2023秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：
①DF的最小值为；
②AF的最小值是1+；
③当CD＝1时，DE∥AB；
④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是 ．
2．（2023秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为 ．
3．（2023•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ ．在点D运动过程中，CE的最小值 ．
4．（2023春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 cm．
二．解答题（共7小题）
6．（2023秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于 cm2；
（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有 个；
（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．
7．（2023秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．
8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
下面是小强的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ；
②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为 ；
（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质： ．
10．（2023秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．
（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝ ；
（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．
11．（2023秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣2
0
…
第9讲 图形的旋转与中心对称
目标导航
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；
2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；
3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．
知识精讲
知识点01 生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
【知识拓展1】（2023秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为 60° ．
【分析】根据时钟一大格是30°即可解答．
【解答】解：由题意得：时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了生活中旋转现象，熟练掌握时钟一大格的角度是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（ ）
A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动
C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转
【分析】根据从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体可得答案．
【解答】解：A．流星划过夜空，属于点动成线，不符合题意；
B．笔尖在纸上快速滑动，属于点动成线，不符合题意；
C．汽车雨刷的转动，属于线动成面，符合题意；
D．旋转门的旋转，属于面动成体，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查点，线，面，体，关键是掌握四者之间的关系．
【即学即练2】（2023春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪
【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可．
【解答】解：A、在空中上升的氢气球是平移，故此选项错误；
B、飞驰的火车是平移，故此选项错误；
C、时钟上钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；
D、运动员掷出的标枪是平移，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．
知识点02 旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【知识拓展2】（2023秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【解答】解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，
∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴α＝90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴AC∥DE，
∴α＝180°﹣45°＝135°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【即学即练1】（2023秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，由等腰三角形的性质可求∠CDA＝∠CAD＝50°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝110°，
∴∠CDA＝∠CAD＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠CDA﹣∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24°B．27°C．30°D．33°
【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：设∠O＝x，
∵OC＝CD，
∴∠O＝∠CDO＝x，
∴∠DCE＝2x，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，
∴x＝27°，
∴∠AOB＝27°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
知识点03 旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【知识拓展3】（2023秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．
【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；
B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；
C、正误边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；
D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度．
【即学即练1】（2023秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36°B．72°C．90°D．108°
【分析】根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．
【解答】解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是360°÷5＝72°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分．
【即学即练2】（2023秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论．
【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，
所以360°÷5＝72°，
所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，
那么这个角度至少为72°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转对称图形，解决本题的关键是掌握旋转对称图形定义．
知识点04中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【知识拓展4】（2023秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'
【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OC＝OC′，BC∥B′C′，点B的对称点B′，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
【即学即练1】（2023秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（ ）
A．点AB．点B
C．线段AB的中点D．无法确定
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【解答】解：如图对称中心是AB的中点，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称，理解中心对称的定义是解题的关键．
【即学即练2】（2023春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′
【分析】根据中心对称的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查中心对称，平行线的判定等知识，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．
知识点05中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
【知识拓展5】 （2023秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶
C．禁止驶入D．环岛行驶
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【即学即练1】（2023秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
知识点06关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
【知识拓展6】 （2023秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P和点Q关于原点对称，点P的坐标是（2，3），
∴点Q的坐标是：（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M（a，b）在第 四 象限．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，
∴a＝4，b＝﹣2，
则点M（4，﹣2）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（﹣7，9），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
知识点07作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【知识拓展7】 （2023秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．
（1）直接写出点D的坐标 （6，6） ；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为 （4，2）或（1，5） ．
【分析】（1）根据点D的位置写出坐标即可；
（2）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）D（6，6）；
（2）旋转中心Q（4，2）或Q′（1，5）．
故答案为：（4，2）或（1，5）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
【即学即练1】（2023秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则
∠CDE等于（ ）
A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α
【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知：AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝α，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，
∴∠ABD+∠ADE＝180°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB+∠ADE＝2∠ADB+∠BED＝180°，
∵∠BAD＝α，
∴2∠ABD＝180°﹣α，
∴∠BED＝180°﹣（180°﹣α）＝α．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练2】（2023秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求四边形AOA1B1的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）利用网格和勾股定理即可求四边形AOA1B1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求作的三角形；
（2）根据勾股定理得：，
∴．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照旋转的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形．
能力拓展
模块一：图形的旋转
例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，点P为边上的一点，将线段绕点A顺时针方向旋转（点P对应点）．当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点N为边上一动点，点M为边上一个动点，连接，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）4.8
【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，利用“角角边”证明和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求得PC的长，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，再由等积法即可求出DN，即为MC+MN的最小值．
【详解】解：（1）证明：是旋转得到，
，
，
，，
，，
又
；
（2）如图，过点作于，
又，，
，
，
，
又，
，
在和△中，
，
△，
，
，
，，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
，
∴△PBC的面积==9；
（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，
∴点D为C点关于BP的对称点，连接CD，
过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，
∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，
由等面积法得：
，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键．
【变式1】（2023·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角时，．求其它所有可能符合条件的角的度数，画出对应的图形并证明．
【答案】90°或105°或150°，见解析
【分析】根据题意画图，再根据平行的性质定理计算
【详解】
解：
当时，；
当时，；
当时，∵，
∴；
【点睛】本题考查平行的性质定理和判定定理，图形旋转的性质，分类讨论是关键
【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；
（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为
【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）AC＝BD，α
【分析】（1）①根据△AOB和△COD都是等边三角形，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD；
②由△AOC≌△BOD，可得∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可；
（2）根据∠AOB=∠COD=α，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可．
【详解】证明：（1）①∵△AOB和△COD都是等边三角形，
∴OA=OB ，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
②设AC与BO交于E，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
（2）AC=BD，∠APB=α，
理由如下：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
设AC与BO交于E，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为AC=BD，α．
【点睛】本题考查三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．
模块二、中心对称
例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．请回答下列问题：
（1）作出向左平移4个单位长度后得到，并写出的坐标；
（2）作出关于原点O对称的并写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，，．
【分析】（1）直接利用平移的性质即可知点A、B、C的对应点、、的坐标，再在坐标系中标出各点，顺次连接即得到；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长至,,，再顺次连接点即得到，即可求出和的坐标．
【详解】（1）如图，即为所求，．
（2）如图，即为所求，，．
【点睛】本题考查作图-平移和作图-关于原点对称．掌握平移和关于原点对称图形的性质是解答本题的关键．
【变式1】（2023·山东济南市·八年级期末）如图网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
（1）点关于点中心对称点的坐标为（_______，_______）；
（2）绕点顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标（______，_______）；
（3）在轴上找一点，使得最小，请在图中标出点的位置，并求出这个最小值．
【答案】（1）-3，-2；（2）作图见解析；3，-1；（3）点P的位置见解析；．
【分析】（1）由与点关于点中心对称点的特征是横纵坐标符号改变点，,，可得点关于点中心对称点的坐标为(-3,-2)；
（2）把点A、B顺时针旋转90°对应点分别为A1、B1，连结OA1、OB1、A1B1，则为所求如图，由点B1到y轴距离=点B到x轴的距离，点B1到x轴距离=点B到y轴的距离，由，点B1在第四象限，可得点B1坐标为（3，-1）；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由 ．可求， 由PB=PB′可知=PA+PB′≤AB′，当点A、P、B′在同一直线时最短由勾股定理．
【详解】
解：（1）∵与点关于点中心对称点的特征是横纵坐标符号改变，
∵点，
∴点关于点中心对称点的坐标为(-3,-2)，
故答案为:-3，-2；
（2）把点A、B顺时针旋转90°对应点分别为A1、B1，连结OA1、OB1、A1B1，则为所求如图，
点B1到y轴距离=点B到x轴的距离，点B1到x轴距离=点B到y轴的距离，
∵，点B1在第四象限，
∴点B1坐标为（3，-1）；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
的坐标是．则，
PB=PB′，
=PA+PB′≤AB′，
当点A、P、B′在同一直线时最短，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查中心对称，三角形旋转，轴对称以及两点之间线段最短，掌握中心对称，三角形旋转，轴对称以及两点之间线段最短，关键是利用轴对称作点B关于y轴对称，两B′P。点P、A、B′三点共线，时距离最短，用勾股定理求两点间的距离．
【变式2】（2023·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：
（1）图①中的三个图案面积都是 ，且都具有一个共同特征：都是 对称图形；
（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．
【答案】（1）4，中心；（2）见解析
【分析】（1）观察图形可得面积都是4，根据中心对称图形的定义即可求解；
（2）利用中心对称图形的定义设计图案即可．
【详解】解：（1））图①中的三个图案面积都是4，且都具有一个共同特征：都是中心对称图形；
故答案为：4；中心；
（2）如图所示，答案不唯一．（或面积是的平行四边形、正方形等）
．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．85°
【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝25°可以得到∠AOB′的度数．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝60°．
∵∠AOB＝25°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝60°﹣25°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前、后的夹角是旋转角．
2．（2023秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵图形总共可以平均分成6份，∴360°÷6＝60°，
∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
3．（2023秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是
（ ）
A．点A与点D是对应点B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FEDD．AB∥DE
【分析】旋转180°后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中∠ACB与∠FDE不是对应角，不能判断相等．
【解答】解：根据旋转的性质可知，
点A与点D是对应点，
BO＝EO，
AB∥DE，
∠ACB＝∠DFE≠∠FDE．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
4．（2023秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（2023秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，
∴m＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
6．（2023秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝80°，∠B＝∠ADE，由外角的性质可得解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴∠BAD＝80°，∠B＝∠ADE，
∵∠ADP＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠PDE，
∴∠PDE＝∠BAD＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（2023秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（ ）
A．1.5cmB．3cmC．5cmD．2.5cm
【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD＝AB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，那么B1D＝OB1﹣OD＝1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，
∴AB＝＝＝5（cm），
∵点D为AB的中点，
∴OD＝AB＝2.5（cm）．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1＝OB＝4cm，
∴B1D＝OB1﹣OD＝1.5cm．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．
8．（2023秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【分析】根据AB′＝CB′，∠C＝20°，得∠B'AC＝∠C＝20°，即得∠AB'B＝∠B'AC+∠C＝40°，由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，知AB＝AB'，故∠B＝∠AB'B＝40°，从而旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B＝100°．
【解答】解：∵AB′＝CB′，∠C＝20°，
∴∠B'AC＝∠C＝20°，
∴∠AB'B＝∠B'AC+∠C＝40°，
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝40°，
∴旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的旋转，涉及三角形内角和定理及推论（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用三角形内角和定理．
二．填空题（共1小题）
9．（2023秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按 顺 时针方向旋转了90°．
【分析】根据旋转的角度和旋转方向判断即可．
【解答】解：时针从数字“9”到“12”按顺时针方向旋转了90°，
故答案为：顺．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，弄清旋转方向和旋转角度是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
10．（2023秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．
【分析】根据旋转的性质即可画出图形．
【解答】解：如图，Rt△A1B1O即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．（2023秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；
（3）直接写出A'、A″点的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质可画出图形；
（3）由点A'，A''的位置可得坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，△A″B″C即为所求；
（3）由图形可知，A'（﹣3，﹣3），A''（1，3）．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，旋转变换，准确画出图形是解题的关键．
12．（2023秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可．
【解答】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（﹣1，2）．
【点评】本题考查了画图﹣性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
13．（2023秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．
【分析】先利用三角形内角和计算出∠BAC＝133°，再根据旋转的定义得出旋转中心．
【解答】解：∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣21°﹣26°＝133°，即∠BAD＝133°，
∴旋转的度数为133°，
由图可知旋转中心为点A．
【点评】本题考查三角形的旋转，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
14．（2023秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣3，2） ；
（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．
【分析】（1）根据y轴对称的点的坐标特征，可直接得出答案；
（2）根据中心对称的性质，即可画出△A1OB1．
【解答】解：（1）由图形知B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）；
（2）如图所示，△A1OB1即为所求．
【点评】本题主要考查了网格作图，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征，中心对称的性质等知识，准确画出图形是解题的关键．
15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出方程组进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，
∴，
解得：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及二元一次方程组的解法，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
16．（2023春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？
【分析】根据旋转的性质，可得△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质，可得∠B＝∠DEC，根据平行线的性质，可得∠F＝∠DEC，根据等量代换，可得答案．
【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：
∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴∠B＝∠DEC，
∵AF∥BE，
∴∠F＝∠DEC，
∴∠B＝∠F．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型．
17．（2023春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8；
（3）∵在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
∵△ACE中，AB﹣AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4．
【点评】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 4 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 （﹣4，﹣3） ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC顺时针旋转30°得到△DEC，
∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝30°，
∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（ ）
A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．
【分析】证明∠AEC+∠ABC＝180°，可得结论．
【解答】解：如图，
∵△DEC是由△ABC旋转得到，
∴∠CED＝∠ABC，
∵∠CED+∠AEC＝180°，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ECB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣α，
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握四边形内角和定理解决问题．
3．（2023秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，
∴MG＝CG＝，
∴HN＝，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
4．（2023秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】利用旋转的性质得出∠BAB′＝40°，AB＝AB′，进而利用等腰三角形的性质得出∠B′BA的度数．
【解答】解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′＝40°，AB＝AB′，
∴∠B′BA＝∠AB′B＝（180°﹣40°）＝70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠B′BA＝∠AB′B是解题关键．
5．（2023秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（ ）
A．79°B．80°C．78°D．81°
【分析】利用旋转变换的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠A1BC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1＝（180°﹣∠A1BC）＝79°．
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2023秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 cm2 ．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为：cm2．
【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
8．（2023秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y＝ 2 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得2x+1＝5，3y﹣3＝﹣3，计算出x、y的值，进而可得答案．
【解答】解：∵A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，
∴2x+1＝5，3y﹣3＝﹣3，
解得：x＝2，y＝0，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．（2023秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
∴点M（﹣3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
三．解答题（共8小题）
11．（2023秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．
（1）画出△A'B'C'；
（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△A'B'C'；
（2）根据点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），即可在网格中建立平面直角坐标系，进而写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图即为所求的平面直角坐标系，A'（0，2），B'（﹣3，4），C'（﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照旋转的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形．
12．（2023秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）根据扇形面积公式即可求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积＝＝π．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，扇形面积的计算，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照旋转的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形．
13．（2023秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 （a﹣3，b﹣7） ；
（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
（2）根据平移性质即可将△ABC平移后得到△A2B2C2，根据点A对应点A2坐标为（1，﹣2），即可画出平移后的△A2B2C2，根据平移性质即可得点P的对应点P2的坐标；
（3）根据旋转的性质即可得点M，即可画出点M的位置，进而写出点M的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；P2（a﹣3，b﹣7）；
故答案为：（a﹣3，b﹣7）；
（3）如图，点M即为所求；
∵A1坐标为（﹣4，﹣3），A2坐标为（1，﹣2），
∴M（﹣，﹣）．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
14．（2023秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．
【分析】连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE＝OF于是得到结论．
【解答】证明：如图，连接AD、BC，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵点E、F关于点O中心对称，
∴OF＝OE，
∴AO﹣EO＝CO﹣FO，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形，然后证明得到OE＝OF是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．
15．（2023•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．
【分析】（1）结论：四边形ABDF是菱形．根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．
（2）设OA＝x，OB＝y，构建方程组求出2xy即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．
∵CD＝DB，CE＝EA，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
由旋转的性质可知，DE＝EF，
∴AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BD＝DC，
∴BA＝BD，
∴平行四边形ABDF是菱形．
（2）连接BF，AD交于点O．
∵四边形ABDF是菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，
则有，
∴x+y＝7，
∴x2+2xy+y2＝49，
∴2xy＝24，
∴S菱形ABDF＝×BF×AD＝2xy＝24．
【点评】本题考查中心对称，三角形的面积，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2023春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
【分析】（1）利用中心对称的两个三角形全等解决问题即可．
（2）求出AA′的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD，
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3，
在ΔAA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
【点评】本题考查中心对称，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，利用全等三角形的性质解决问题．
17．（2023秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．
（1）图中点B的坐标是 （﹣3，4） ；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 （3，﹣4） ；点A关于y轴对称的点C的坐标是 （1，0） ；
（3）四边形ABCD的面积是 8 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为 （0，4）或（0，﹣4） ．
【分析】（1）根据坐标的意义即可得出点B的坐标；
（2）根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点C的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点A关于y对称点D的坐标；
（3）平行四边形ABCD的面积等于三角形ABD面积的2倍，根据坐标可求出三角形ABD的面积；
（4）三角形ABC的面积等于平行四边形ABCD面积的一半，也等于三角形ABD的面积，根据面积公式求出OF的长即可．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣1，0）关于y轴对称点D（1，0），
故答案为：（3，﹣4），（1，0）；
（3）S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2××2×4＝8，
故答案为：8；
（4）因为S△ABC＝S平行四边形ABCD＝4＝S△ADF，
所以AD•OF＝4，
∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查点的坐标，关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
18．（2023秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；
（2）由（1）中的全等得到∠C＝∠CBG．∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系．
【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题主要考查了条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形，难度适中．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共5小题）
1．（2023秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：
①DF的最小值为；
②AF的最小值是1+；
③当CD＝1时，DE∥AB；
④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是 ①，②，④ ．
【分析】①DE⊥BC时，EF最小；
②寻找到F点在固定直线上运动
③点D在BC延长线上，DE不平行AB；
④△CDE是等边三角形，进而确定结果．
【解答】解：∵∠DEF＝90°，DE＝FE，
∴DF＝，
∵ED⊥BC时，DE最小，DF最小，
当ED⊥BC时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴DE＝CE•sin60°＝，
∴DF＝，
故①正确，
如图，
作EM⊥BC于M，作NE⊥EM，且使EN＝EM，作NG⊥BC于G，连接NF，
∴∠EMG＝∠MGN＝∠MEN＝90°，
∴四边形EMGN是矩形，
∴矩形EMGN是正方形，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠NEF，
∵DE＝EF，
∴△DEM≌△FEN（SAS），
∴∠ENF＝∠EMD＝90°，
∴F点在NG上，
作AF′⊥NG，
∴AF最小值是AF′，
延长ME交AF′于H，
∵∠AF′G＝∠DGN＝∠EMG＝90°，
∴四边形MHF′G是矩形，
∴HF′＝MG＝EM＝，
∴AH＝，
∴AF′＝1+，
故②正确，
当CD＝1时，
D可以在BC的延长上，
故③不正确，
当DE∥AB时，
∠CDE＝∠ABC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝1，
故④正确，
综上所述：①②④正确，
故答案是①②④．
【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，矩形判定，正方形判定知识，解决问题的关键是找出点F的运动轨迹．
2．（2023秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为 1 ．
【分析】过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，先证明∠ACP＝∠A'C'D＝∠P，得AP＝AC＝A'C'，再证明△APD≌△A'C'D得AD＝A'D，DE是△AA'C的中位线，DE＝A'C，要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，即可得DE最小值为A'C＝1．
【解答】解：过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
∵∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，
∴D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝A'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
3．（2023•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝ 4 ．在点D运动过程中，CE的最小值 2 ．
【分析】以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，在Rt△ACB中，BC＝＝4，由△FAD≌△CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时FD＝CH＝AC＝2，故CE的最小值是2．
【解答】解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∵正△AFC，等边三角形ADE，
∴AD＝AE，AF＝AC，
在△FAD和△CAE中，
，
∴△FAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝FD，
∴CE最小即是FD最小，
∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，
∴四边形FDCH是矩形，
∴FD＝CH＝AC＝2，
∴CE的最小值是2．
故答案为：4，2．
【点评】本题属动态距离最值问题，将问题转化为一动一静，考虑动点运动轨迹是常用方法，综合性较强，难度较大．
4．（2023春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 1+4 ．
【分析】如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝2，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝2，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝4，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+4，
故答案为1+4．
【点评】本题考查旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 10 cm．
【分析】首先证明PB+QJ＝10，在立体图形中，证明四边形BGQP为矩形，根据矩形的性质解答即可．
【解答】解：平面图形中，∵IJ∥PE，
∴△QIJ∽△QPE，
∴＝，即＝，
∴10EQ+10PE＝PE•EQ，
∵图L被直线PQ分成面积相等的上、下两部分，
∴×PE•EQ＝×5×100＝250，
∴PE•QE＝500，即PE+QE＝50（cm），
∴PB+JQ＝50﹣40＝10（cm），
立体图形中，连接MN，
∵PB+JQ＝10，JQ+QG＝10，
∴PB＝QG，
∴四边形BGQP为矩形，
∴PQ＝BG＝10（cm），
故答案为10．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、几何体的展开图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二．解答题（共7小题）
6．（2023秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于 72 cm2；
（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有 3 个；
（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积的方法求出小正方形的边长，进而可以解决问题；
（2）根据等底等高，面积相等的方法即可作出满足条件的点M；
（3）利用勾股定理和中心对称图形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设这个方格纸小正方形的边长为acm，
∴S△ABC＝3a×3a﹣a×2a﹣×a×3a﹣×2a×3a＝a2，
∴a2＝7，
解得a＝（负值舍去），
∴这个方格纸的面积等于6×6＝72cm2．
故答案为：72；
（2）如图，过点C作AB的平行线，交格点于M，M′，M″，
∴满足条件的点M有3个．
故答案为：3；
（3）如图，△DEF和△D'E'F'即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，勾股定理，割补法求三角形的面积，运用等底等高，面积相等作图，中心对称图形，解决本题的关键是准确画图图形．
7．（2023秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得x、y的值，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：根据题意，得
（x2+2x）+（x+2）＝0，y＝﹣3．∴x1＝﹣1，x2＝﹣2（不符合题意，舍）．
∴x＝﹣1，y＝﹣3
∴x+2y＝﹣7．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出x、y的值是解题关键．
8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC，
∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5．
【点评】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．
9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
下面是小强的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围 x≠﹣1 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 （﹣1，﹣1） ；
②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为 （﹣2，﹣2） ；
（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质： 当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．当﹣2＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小 ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分母不等于0，由此即可解决问题．
（2）利用描点法，画出函数图象即可得出结论．
（3）①利用那地方画出点即可．
②根据函数图象可得结论．
【解答】解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围x≠﹣1．
故答案为x≠﹣1．
（2）①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣1），（﹣2，﹣2）．
（3）①两个点如图所示，函数图象如图所示：
②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．当﹣2＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．当﹣2＜x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查中心对称，一次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．
（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝ 40° ；
（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据平行线的性质求得∠EPB＝∠CDE＝70°，根据∠ABE是△BEP的外角求得∠E＝∠ABE﹣∠EPB＝110°﹣70°＝40°；
（2）根据GF∥BE得到∠GFB＝∠FBE，∠HDF＝∠PFD，根据FH平分∠BFM得到∠GFH＝∠HFP，可得∠GFB＝2∠HFB＝2∠HFD+2∠DFP，根据DF平分∠CDE得出∠FDH＝∠FDE＝∠PFD，可得∠EPB＝∠PDH＝2∠PDF＝2∠PFD，根据∠EBF为△EBP的外角可证∠E＝2∠DFH，根据2∠E＝3∠DFH+20°列出方程，然后解方程得到∠DFH＝20°，根据HG⊥FH得到∠G+∠GFH＝90°，从而得到∠G+∠PFD＝90°﹣∠HFD＝90°﹣20°＝70°；
（3）当∠FDC＝25°时，∠HFP＝∠HFD+∠DFP＝45°，可得∠GFH＝∠HFP＝45°，∠G＝45°，当△FH'G'其中一条边与∠F'DE'的边DF'互相垂直，分三种情况，①当G'H'⊥DF'时，FH'交CD于点S，FH'∥F'D，∠CDF'＝25°+（5t）°，∠FSC＝45°+（3t）°，列出方程25°+（5t）°＝45°+（3t）°求得t的值，②当GF⊥F'D时，GF交CD于R，交DF'于点Q，得到∠HDF'＝25°+（5t）°，∠CRG＝∠GFA＝（3t）°﹣90°，然后由∠QRD+∠QDR＝90°列出方程（3t）°﹣90°+180°﹣[25°+（5t）°]＝90°求得t的值，③当H'F⊥DF'时，H'F交CD于点U，交DF'于点V，则∠HDF'＝25°+（5t）°，∠CUF＝∠AFH'＝（3t）°﹣90°﹣45°，再由∠VUD+∠UDV＝90°，列出方程180°﹣[25°+（5t）°]+3t°﹣90°﹣45°＝90°求得t的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE＝70°，
∴∠EPB＝∠CDE＝70°，
∵∠ABE是△BEP的外角，∠ABE＝110°，
∴∠E＝∠ABE﹣∠EPB＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
（2）∵GF∥BE，
∴∠GFB＝∠FBE，∠HDF＝∠PFD，
∵FH平分∠BFM，
∴∠GFH＝∠HFP，
∴∠GFB＝2∠HFB＝2∠HFD+2∠DFP，
∵DF平分∠CDE，
∴∠FDH＝∠FDE＝∠PFD，
∴∠EPB＝∠PDH＝2∠PDF＝2∠PFD，
∵∠EBF为△EBP的外角，
∴∠EBF＝∠E+∠EPB＝∠E+2∠PFD，
∴2∠HFD+2∠DFP＝∠E+2∠PFD，
∴∠E＝2∠DFH，
∵2∠E＝3∠DFH+20°，
∴4∠DFH＝3∠DFH+20°，
∴∠DFH＝20°，
∵HG⊥FH，
∴∠FHG＝90°，
∴∠G+∠GFH＝90°，
∴∠G+∠PFH＝∠G+∠HFD+∠PFD＝90°，
∴∠G+∠PFD＝90°﹣∠HFD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠EDF+∠G＝70°．
（3）当∠FDC＝25°时，∠HFP＝∠HFD+∠DFP＝45°，
∴∠GFH＝∠HFP＝45°，
∴∠G＝45°，
当△FH'G'其中一条边与∠F'DE'的边DF'互相垂直，分三种情况，
①当G'H'⊥DF'时，FH'交CD于点S，FH'∥F'D，
∴∠FSC＝∠CDF'，
∵∠CDF'＝25°+（5t）°，∠FSC＝45°+（3t）°，
∴25°+（5t）°＝45°+（3t）°，
解得：t＝10；
②当GF⊥F'D时，GF交CD于R，交DF'于点Q，则∠QRD+∠QDR＝90°，
∵∠HDF'＝25°+（5t）°，∠CRG＝∠GFA＝（3t）°﹣90°，
∴∠RDQ＝180°﹣∠HDF'＝180°﹣[25°﹣（5t）°]，∠DRQ＝∠CRG＝（3t）°﹣90°，
∴（3t）°﹣90°+180°﹣[25°+（5t）°]＝90°，
解得：t＝﹣12.5＜0（舍）；
③当H'F⊥DF'时，H'F交CD于点U，交DF'于点V，
∵∠HDF'＝25°+（5t）°，∠CUF＝∠AFH'＝（3t）°﹣90°﹣45°，
∴∠UDV＝180°﹣∠HDF'＝180°﹣[25°+（5t）°]，∠VUD＝∠CUF＝（3t）°﹣90°﹣45°，
∵∠VUD+∠UDV＝90°，
∴180°﹣[5°+（5t）°]+（3t）°﹣90°﹣45°＝90°，
解得：t＝﹣35＜0（舍），
综上所述，t的值为10．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义、图形旋转的性质，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键．
11．（2023秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．
【分析】（1）先判断出AM＝AN，即可得出结论；
（2）①当G在BC上运动至垂足点D，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小；
②当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB延长线上时，PG1最大，即可求得线段PG1长度的最大值与最小值．
【解答】（1）证明：作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，如图1，
根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，
∵AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠DFC，
（2）解：线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
解题过程如下：
①过点A作AF⊥BC于F，如图a，
∵△ABC为钝角三角形，
∴点F在线段BC上，
在Rt△ACF中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AF＝AC＝4，
∵AB＝10，点P为线段AB中点，
∴AP＝AB＝5，
当G在BC上运动，AG与BC垂直，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上，此时PG1最小，
最小值为：PG1＝AG1﹣AP＝AF﹣AP＝4﹣5；
②当G在BC上运动至点C，如图b，
△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，
最大值为：PG1＝AP+AG1＝AP+AC＝5+8．
综上所述，线段PG1长度的最小值4﹣5，PG1长度的最大值为5+8；
【点评】此题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB ＝ S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
【分析】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣2
0
…