2023-2024学年甘肃省酒泉市金塔县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省酒泉市金塔县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知反比例函数y=k−2x的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是( )
A. k>2B. k≥2C. k≤2D. k<2
3.下列命题是真命题的是( )
A. 平行四边形的对角线平分每一组对角B. 两条对角线垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的菱形是正方形D. 三个角相等的四边形是矩形
4.关于y=(x+1)2+3的图象，下列叙述正确的是( )
A. 顶点坐标为(1,3)B. 对称轴为直线x=1
C. 当x≥−1时，y随x的增大而增大D. 开口向下
5.若关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k=0有实数根，则k的取值范围为( )
A. k≥0B. k≥0且k≠2C. k≥32D. k≥32且k≠2
6.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y17.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG=( )
A. 1∶3B. 3∶1C. 1∶9D. 9∶1
8.将抛物线y=(x+5)2−3沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=(x+3)2−4B. y=(x+7)2−4C. y=(x+3)2−2D. y=(x+7)2−2
9.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. ABAD=ACAE
B. ∠B=∠D
C. ∠C=∠AED
D. ABAD=BCDE
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的有个( )
①abc>0；②4a+2b+c<0；③函数的最大值为a+b+c；④当−3≤x≤1时，y≥0；⑤x<−1时，y随x增大而减少．
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知ab=23，则b−ab的值是 ．
12.如果m、n是关于x的一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，则1m+1n= ______．
13.如果二次函数y=x2+2x−m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是______．
14.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为______．
15.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=4 3，则OE=______．
16.如图，一次函数y1=−2x+3和反比例函数y2=kx的图象交于点A(−1,m)，B(n,−2)，若y1三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+6x+3=0．
(2)(x+2)2−3(x+2)=0．
18.(本小题4分)
计算：2sin60°+ 12+|−5|−(π− 2)0．
19.(本小题6分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点A和点C的坐标；
(2)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，并写出C′点的坐标．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE=∠ACB．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)若AD=2DB，AE=4，AC=9，求BD的长．
21.(本小题7分)
“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度.(结果精确到0.1米；参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
22.(本小题7分)
有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5.它们除了数字外没有任何区别．
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形．
(2)若DC=2，BD= 10，求四边形AEBD的面积．
24.(本小题8分)
某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件，如果商店销售这批服装要获得利润12000元，那么这种服装的售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？
25.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(−2,n)，B(4,−3)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于18，请直接写出点P的坐标．
26.(本小题10分)
已知二次函数y=a(x−m)2+n当x=1时，y有最小值—4，且当x=−1时y=0.其图象与x轴相交于A，B(A在B左侧)与y轴交于C．
(1)求二次函数表达式；
(2)动点M在该函数的对称轴上，当△MAC周长最小时，求点M的坐标；
(3)动点N在线段BC上，过点N作x轴的垂线交抛物线于Q，当线段NQ最长时，求N点坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2.【答案】A
【解析】解：∵y=k−2x的图象位于第一、第三象限，
∴k−2>0，
k>2．
故选：A．
本题考查反比例函数的图象和性质，由k−2>0即可解得答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3.【答案】C
【解析】解：菱形的对角线平分每一组对角，故A是假命题，不符合题意；
两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故B是假命题，不符合题意；
两条对角线相等的菱形是正方形，故C是真命题，符合题意；
四个角相等的四边形是矩形，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据矩形，菱形，正方形的判定定理，性质定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握菱形，矩形，正方形的判定与性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=(x+1)2+3
∴抛物线的顶点坐标为(−1,3)，对称轴直线为x=−1，故选项A、B错误，不符合题意；
∵a=1>0，
∴抛物线的开口向上，有最小值为3，且当x≥−1时，y随x增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，
故选：C．
利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意得k−2≠0且△=(−2k)2−4(k−2)k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k−2≠0且△=(−2k)2−4(k−2)k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
6.【答案】C
【解析】【分析】
分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y=−6x求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．
【解答】
解：∵点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−3=2，y2=−6−1=6，y3=−62=−3，
∵−3<2<6，
∴y3故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．
先根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD/​/AB，推出△EFG∽△BAG，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD/​/AB，
∵E，F为CD边的两个三等分点，
∴DE=EF=FC=13CD，
∴EF：AB=1：3，
∵CD//AB，
∴△EFG∽△BAG，
∴S△EFGS△BAG=(EFAB)2=19．
8.【答案】D
【解析】解：抛物线y=(x+5)2−3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的抛物线解析式为：y=(x+5+2)2−3+1=(x+7)2−2，
故选：D．
根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
若ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C=∠AED，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵ABAD=BCDE，∠BAC=∠DAE，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，故①正确，
当x=2时，y=4a+2b+c<0，故②正确，
∵抛物线的对称轴为x=−1，且抛物线开口向下，
∴函数的最大值为a−b+c，故③错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴为x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−3,0)，
∴当−3≤x≤1时，y≥0，故④正确，
∵抛物线开口向下，
∴当x<−1时，y随x增大而增大．故⑤错误．
故选：A．
根据抛物线的特征可判断①，根据x=2时，y=4a+2b+c可判断②，根据对称轴可判断③，根据抛物线与x轴的交点可判断④，根据抛物线的开口方向及对称轴可判断⑤．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线的最值问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：∵ab=23，
∴设a=2t，b=3t，
∴b−ab=3t−2t3t=13，
故答案为：13．
根据ab=23，设a=2t，b=3t，代入即可得出答案．
本题考查了比例的性质，设未知数是本题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，
∴m+n=3，mn=2，
∴1m+1n=m+nmn=32．
故答案为：32．
先利用根与系数的关系求出m+n和mn的值，然后把1m+1n通分后代入计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
13.【答案】1
【解析】解：∵抛物线y=x2+2x−m+2的顶点在x轴上，
∴△=22−4×(−m+2)=0，即−4+4m=0，
解得m=1．
故答案是：1．
因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据△=0，即可求出m的值．
此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：△>0时，图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有一个交点；△<0，图象与x轴无交点．
14.【答案】0.4m
【解析】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则AOCO=ABCD，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴41=1.6CD，
解得：CD=0.4，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．
故答案为：0.4．
由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得AOCO=ABCD，将已知数据代入即可得．
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BO=DO，∠ABO=30°，AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=2 3，
∴AO= 33BO=2，
∴AB=2AO=4，
∵E为AD的中点，∠AOD=90°，
∴OE=12AD=2，
故答案为：2．
根据菱形的性质可得，∠ABO=30°，AC⊥BD，则BO=2 3，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】x>2.5或−1【解析】解：把A(−1,m)、B(n,−2)两点的坐标分别代入y1=−2x+3，
得m=−2×1+3=5，
−2n+3=−2，解得n=2.5，
根据函数图象可知：当x<−1或0故答案为：x>2.5或−1根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2+6x+3=0，
配方得：x2+6x+9=−3+9，即(x+3)2=5，
∴x1=−3+ 5，x2=−3− 5；
(2)(x+2)2−3(x+2)=0，
(x+2)(x+2−3)=0，
x+2=0或x+2−3=0，
解得：x1=−2，x2=1．
【解析】(1)利用配方法将原方程变形进而得出答案；
(2)利用因式分解法求解即可．
此题考查了解一元二次方程，选择适当的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：2sin60°+ 12+|−5|−(π− 2)0
=2× 32+2 3+5−1
= 3+2 3+5−1
=3 3+4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，A(1,3)，C(5,1)；
(2)如图，△A′B′C′即为所求，C′(10,2)．

【解析】(1)根据点的位置写出坐标即可；
(2)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
(2)解：由(1)可知：△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
设BD=x，则AD=2x，AB=3x，
∵AE=4，AC=9，
∴2x9=43x，
解得：x= 6(负值舍去)，
∴BD的长是 6．
【解析】(1)根据：∠ADE=∠ACB，∠A=∠A即可解答．
(2)设BD=x，则AD=2x，AB=3x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
21.【答案】解：由题意知，∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD⊥BC．
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90°．
∴∠BAD=∠ABD=45°．
∴BD=AD=10 (米)．
在Rt△ACD中，
CD=AD⋅tan∠CAD
=AD⋅tan60°
=10 3(米)．
∴BC=BD+CD=10+10 3≈27.3(米)．
答：该建筑物BC的高度约为27.3米．
【解析】先说明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出BD，再在Rt△ACD中用直角三角形的边角间关系求出CD，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题知，A组三个数中抽到数字为2，
故概率为13；
(2)不公平，理由如下，
画树状图如下：

积 6 10 12 20 18 30
从树状图中可知共有6个可能的结果，而所选出的两数之积为3的倍数的机会有4个，
∴P(甲获胜)=46=23，
∴P(乙获胜)=1−23=13，
∵P(甲获胜)>P(乙获胜)，
∴这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
【解析】(1)三个数中抽到数字为2，故概率是13；
(2)画树状图分析甲乙获胜的概率即可做出判断．
本题考查了概率的知识，掌握概率的知识分析游戏的公平性是关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE(ASA)，
∴AD=EB，
∵AD/​/EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AE=BD= 10，AB⊥DE，AF=FB=1，EF=DF，
∴EF= AE2−AF2=3，
∴DE=6，
∴S菱形AEBD=12⋅AB⋅DE=12×2×6=6．
【解析】(1)由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
(2)利用勾股定理求出EF的长即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：设提价5x元，则销售量就将减少100x件，根据题意得：
(60−50+5x)(800−100x)=12000，即x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
故当x1=2时，这种服装的售价应定为70元，该商店应进这种服装600件
当x2=4时，这种服装的售价应定为80元，该商店应进这种服装400件．
【解析】本题为应用题，根据题中所给的内容找出其中的等量关系是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点B(4,−3)在反比例函数y=mx图象上，
∴m=−12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x，
将A(−1,n)代入y=−12x，得：n=−12−1，
∴n=12，即A(−1,12)，
将A，B代入一次函数解析式中，得
12=−k+b−3=4k+b，解得：k=−3b=9，
∴一次函数解析式为y=−3x+9；
(2)∵点P在x轴上，
设点P的坐标为(a,0)，
∵一次函数解析式为y=−3x+9，令y=0，则x=3，
∴直线AB与x轴交于点(3,0)，
由△ABP的面积为18，可得：
12×(yA−yB)×|a−3|=18，即12×9×|a−3|=18，
解得：a=7或a=−1，
∴点P的坐标为(7,0)或(−1,0)．
【解析】(1)根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
(2)设点P的坐标为(a,0)，求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为18得到关于a的方程，解之即可．
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
26.【答案】解：(1)∵二次函数y=a(x−m)2+n当x=1时，y有最小值−4，
∴m=1，n=−4，且a>0，
又∵当x=−1时y=0，
则0=a(−1−1)2−4，
解得a=1，
∴二次函数表达式为y=(x−1)2−4；
(2)由函数y=(x−1)2−4可知，对称轴为x=1，
由题意可知，A，B关于对称轴对称，
∴MA=MB，
∵AC为定值，
∴要使△MAC周长最小，只需MC+MA最小，
连接BC，则MC+MB≥BC，
∴当M在BC上时，MC+MB=BC，
∴连接BC与对称轴x=1的交点即为点M，

∵y=(x−1)2−4=x2−2x−3，
∴B(3,0)，C(0,−3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=−3，
解得k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
∴当x=1时，y=−2，
∴点M的坐标为(1,−2)；
(3)∵N在线段BC上，

∴设N(x,x−3)，
∵NQ⊥x轴，
∴xQ=xN，
则Q(x,x2−2x−3)，
∴NQ=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x=−(x−32)2+94，
∵−1<0，
∴当x=32时，线段NQ最长，
∴N点坐标为(32,−32).
【解析】(1)根据当x=1时，y有最小值−4得出抛物线的顶点，对称轴，再把x=−1时y=0代入解析式求出a即可；
(2)根据对称性得出MA=MB，AC为定值，再根据MC+MB≥BC找到M点位置；然后用待定系数法求出直线BC的解析式，再把x=1代入直线BC的解析式，求出点M的坐标；
(3)根据题意设N(x,x−3)，则Q(x,x2−2x−3)，NQ=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x=−(x−32)2+94，然后根据函数的性质求出线段NQ最大时x的值，从而求出点N坐标．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键．