2024台州高二上学期期末考试数学含答案

这是一份2024台州高二上学期期末考试数学含答案，共9页。试卷主要包含了01， 反复进行上述运算，必会得到1等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线y=2x−1的斜率等于
A．−1B．1C．2D．−2
2．若双曲线x2m2−y212=1m>0的离心率为2，则实数m=
A．2B．23C．4D．16
3．若空间向量a=1,0,1,b=2,1,2，则a与b的夹角的余弦值为
A．23B．23C．223D．−13
4．已知等差数列{an}n∈N∗的前n项和为Sn. 若S5=35,a4=3a1，则其公差d为
A．−2B．−1C．1D．2
5．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，记AB=a,AD=b,AD1=c，则D1C=
A．a+b−cB．−a+b+cC．−a+b+cD．−a−b+c
6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述运算，必会得到1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{an}n∈N∗,a1=m（m为正整数），an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数.若a5=1，则m所有可能的取值的和为
A．16B．18C．20D．41
7．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,A,B两点在抛物线C上，并满足AF=3FB,过点A作x轴的垂线，垂足为M，若FM=1，则p=
A．12B．1C．2D．4
8．在空间四边形ABCD中，AB⋅BC=BC⋅CD=CD⋅DA=DA⋅AB，则下列结论中不一定 正确的是
A．AB+BC=−CD+DAB．AB2+BC2=CD2+DA2
C．△ABD≅△DCAD．AC⊥BD
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列{an}和{bn}n∈N∗是等比数列，则下列结论中正确的是
A．{an2}是等比数列B．{an+bn}一定不是等差数列
C．{an⋅bn}是等比数列D．{an+bn}一定不是等比数列
10．已知a>−4且a≠0，曲线C:x24+a+y2a=1，则下列结论中正确的是
A．当a>0时，曲线C是椭圆
B．当−4b>0,
由椭圆的定义得：2a=4，即a=2；2c=2，即c=1.
则椭圆的标准方程为x24+y23=1.
当CP⊥CA时，P点的坐标为−1,4和−1,−4.
当P点的坐标为−1,4时，已知A点的坐标为1,0，
线段PA的中点坐标为0,2，直线AP的斜率为4−0−1−1=−2，
直线l的方程y=12x+2，联立方程y=12x+2,x24+y23=1,得3x2+412x+22−12=0，
整理得x2+2x+1=0，可得Δ=0.
所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切.
当P点的坐标为−1,−4时，同理可证.
注：选择P点的其中1个位置证明即可 …………12分
21．（Ⅰ）
解：如图所示，设公路所在直线为l，过B点作l的垂线，垂直为D,BD=70m. 因为圆的半径为35m，圆心O到地面的距离为40m，所以AB=75m. 从甲看乙的最大俯角与∠ADB相等，由题意得。AB⊥BD，则tan∠ADB=ABBD=7570=1514. …………6分
（Ⅱ）
如图所示，设甲位于圆O上的R点处，直线OF垂直于OA且交圆O于F点，射线OR可以看成是射线OF绕着O点按逆时针方向旋转α角度得到. 过R点正下方的地面T点向l作垂线，垂足为S. 当tan∠RST取得最大值时，∠RST即为从乙看甲的最大仰角. 山题意得：
tan∠RST=35sinα+4070−35csα⋅27=72⋅sinα+877−csα=−72⋅−87−sinα7−csα
其中，−87−sinα7−csα表示点csα,sinα和点7,87构成的直线a的斜率，当直线a的斜率取得最小值时，tan∠RST取最大值. 因为点csα,sinα在单位圆x2+y2=1上，所以当直线a与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点7,87的直线方程为：y+87=kx−7，即49k+871+k2=1，解得k=−14±15184，则直线a的斜率最小值为−14−15184，代入可得tan∠RST取最大值是14+15124. …………12分
22．（Ⅰ）
解：由已知得2a=22,a=2. 将x=2代入方程x22−y2b2=1，得y=±b,
由AB=2得，2b=2,b=1. 因此双曲线的标准方程为x22−y2=1.
（Ⅱ）
设Px1,y1,Qx2,y2,则k1=y1−3x1−2，k2=y2−3x2−2，则k1+k2=y1−3x1−2+y2−3x2−2
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx−t,
则y1=kx1−t,y2=kx2−t.
k1+k2=kx1−t−3x1−2+kx2−t−3x2−2=kx1−tx2−2−3x2−2+kx2−tx1−2−3x1−2x1−2x2−2
=2kx1x2−kt+2+3x1+x2+4kt+12x1x2−2x1+x2+4. 联立方程y=kx−t,x22−y2=1,可得1−2k2x2+4k2tx−2k2t2+2=0，
则x1+x2=−4k2t1−2k2，x1x2=−2k2t2+21−2k2.
k1+k2=12k2t+4kt−24k2−4k+12−2k2t2+8k2t−8k2+2=12k2t−2+4kt−1+122k2−t2+4t−4+2
令12k2t−2+4kt−1+122k2−t2+4t−4+2=λ，整理得[12t−2+2λt−22]k2+4t−1k+12−2λ=0.
要使得对任意的k上式恒成立，则
12t−2+2λt−22=0,4t−1=0,12−2λ=0,解得：t=1,λ=6.
所以，当t=1时，k1+k2=−12k2+12−2k2+2=6. …………11分
②当直线l的斜率不存在时，由①得，k1+k2为定值的必要条件是t=1，即直线l过定点1,0，
此时直线l的方程为x=1，易知直线l与双曲线没有交点，不符合题意的要求.