新疆乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

这是一份新疆乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0）的一个焦点为（5，0）（ ）
A．4x±3y＝12B．C．16x±9y＝0D．4x±3y＝0
2．（3分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a5＝2a3，2a4+4a7＝5，则S5等于（ ）
A．29B．31C．33D．36
3．（3分）直线l：2x﹣my﹣4+m＝0与圆O：x2+y2﹣4x+2y＝0的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相交或相切D．不确定
4．（3分）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．14πB．18πC．24πD．30π
5．（3分）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于EF（ ）
（注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC，为椭圆的几何意义）
A．B．C．D．
6．（3分）数列{an}的通项公式，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）已知直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得零分。
（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱A1D1，AB的中点，则（ ）
A．异面直线MD与AC所成角的余弦值为
B．MC1⊥D1N
C．四面体CAB1D1的外接球体积为4π
D．平面MNC截正方体所得的截面是四边形
（多选）10．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线与坐标轴交于点C，过点C且斜率为k的直线l与抛物线E交于A（点B在点A和点C之间），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．|AF|+|BF|＞4
C．若B为AC的中点，则|AF|＝2|BF|
D．若B为AC的中点，则
（多选）11．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，思维方法等之中，揭示了规律性，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ）
A．曲线C围成的图形的周长是
B．曲线C围成的图形的面积是2π
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，|3m+4n﹣12|的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每题3分，共9分。
12．（3分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，则双曲线的离心率为 ．
13．（3分）已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），若对于C1上的任意一点P，使得过点P都可作一条射线与圆C2依次交于点A，B，满足|PA|＝|AB|，则r的取值范围是 ．
14．（3分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，若，则|PD|＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。
15．（8分）设{an}是等差数列，若a1＝18，a2+a5＝26．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和及其最值．
16．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB＝AC＝PA＝2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．
17．（12分）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内（2019年为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990．
18．（8分）如果直线与椭圆C：＝1（a＞1），求实数a的取值范围．
19．（12分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q＝0时，求b2016；
②当q＝1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每题3分，共24分。
1．（3分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0）的一个焦点为（5，0）（ ）
A．4x±3y＝12B．C．16x±9y＝0D．4x±3y＝0
【分析】根据题意，由双曲线的焦点坐标可得c的值，由双曲线的几何性质可得a的值，结合双曲线焦点的位置，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线，4），
则有a2+16＝25，
解可得a＝3，
即双曲线的方程为﹣＝7，
则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0；
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意先分析双曲线焦点的位置．
2．（3分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a5＝2a3，2a4+4a7＝5，则S5等于（ ）
A．29B．31C．33D．36
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，a2a5＝8a3，2a2+4a7＝5，
，解得q＝，a1＝16，
则S5＝＝31．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3．（3分）直线l：2x﹣my﹣4+m＝0与圆O：x2+y2﹣4x+2y＝0的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相交或相切D．不确定
【分析】易得直线l过定点（2，1），判断出点（2，1）与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：由直线l：2x﹣my﹣4+m＝4，得2x﹣4﹣m（y﹣8）＝0，
令，则，所以直线l过定点（4，
因为22+32﹣4×5+2×1＝﹣4＜0，
所以点（2，5）在圆O：x2+y2﹣8x+2y＝0内，
所以直线l：4x﹣my﹣4+m＝0与圆O：x3+y2﹣4x+2y＝0相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（3分）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．14πB．18πC．24πD．30π
【分析】每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，每段圆弧的圆心角为，
第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：3，2，3，…，n，
故当得到的“蚊香”恰有7段圆弧时，
“蚊香”的长度为．
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长的求解，属于基础题．
5．（3分）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于EF（ ）
（注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，AE＝AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC，为椭圆的几何意义）
A．B．C．D．
【分析】设两球的球心分别为O1，O2，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接O1G，O2H，O1F，O2E，连接O2S交EF于点K，则根据题意易得GH＝，O1O2＝6，再由Rt△O1FK∽Rt△O2EK，可得，从而可得O1K＝O1O2＝，从而可得FK＝＝，EK＝4FK＝，再根据椭圆离心率的定义，即可求解．
【解答】解：如图，设两球的球心分别为O1，O2，
设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，
连接O2G，O2H，O1F，O7E，连接O2S交EF于点K，
∵顶角为，∴∠HSO6＝，又两球的半径分别为1，8，
∴SG＝，SH＝1＝2，SO2＝8，
∴GH＝，O1O2＝2，
∴AE+AF＝AB+AC＝BC＝GH＝，
又Rt△O6FK∽Rt△O2EK，
∴，又O1O5＝6，
∴O1K＝O1O5＝，∴FK＝＝＝，
∴EK＝5FK＝，
∴EF＝EK+FK＝，
∴该椭圆的离心率为＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆的定义，属中档题．
6．（3分）数列{an}的通项公式，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意，由数列的通项公式可得40＜2n+2n＜70，结合n的范围分析可得n的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，{an}的通项公式，
若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则有40＜5n+2n＜70，
又由n∈Z且n≥1，则n＝8，
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
7．（3分）已知直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0平分，可得直线l过圆心（2，1），再根据直线l不经过x的负半轴，求出斜率的取值范围．
【解答】解：∵圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0，∴圆心坐标为（2，
∵直线l将圆平分，∴直线l过圆心（2，
当k≤0，直线l均不经过x轴的负半轴，
当k＞6时，由直线l不经过x轴的负半轴，
综上所述，k的取值范围为．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及分类讨论的思想，属于中档题．
8．（3分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，
∵直线，
∴，
∵θ∈[0，π），∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得零分。
（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱A1D1，AB的中点，则（ ）
A．异面直线MD与AC所成角的余弦值为
B．MC1⊥D1N
C．四面体CAB1D1的外接球体积为4π
D．平面MNC截正方体所得的截面是四边形
【分析】利用坐标法可判断AB，利用正方体的性质可判断CD．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
则M（1，0，2），0，0），5，0），C1（8，2，2），D3（0，0，4），1，0），
∴，，
∴，A错误；
∴，，，∴MC3⊥D1N，B正确；
由题可知四面体CAB1D6的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，∴，C正确；
延长CN交DA延长线与P，连接MP交AA1于Q，延长PM交DD1延长线于K，连接CK交D3C1于J，
则五边形QMJCN为平面MNC截正方体所得的截面，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查空间向量及其应用，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
（多选）10．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线与坐标轴交于点C，过点C且斜率为k的直线l与抛物线E交于A（点B在点A和点C之间），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．|AF|+|BF|＞4
C．若B为AC的中点，则|AF|＝2|BF|
D．若B为AC的中点，则
【分析】由题意设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根的判别式Δ＞0，得到k2＜1，且k≠0，设A，B的坐标，根据韦达定理得到x1+x2，x1x2的表达式，结合抛物线的焦半径对选项进行迹一分析，进而判断所给命题的真假．
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F（1，0）C（﹣3，
设直线l的方程为y＝k（x+1），k≠07，y1），B（x2，y4），
联立，整理可得：k2x2+（7k2﹣4）x+k7＝0，
Δ＝（2k4﹣4）2﹣6k4＞0，可得k4＜1，且k≠0，即k∈（﹣6，1）；
且x1+x4＝＝﹣2＞4﹣4＝2，x1x5＝1，
|AF|+|BF|＝x1+8+x2+1＝x6+x2+2＞5+2＝4，所以B正确；
C中，若B是AC的中点3﹣1＝2x2，可得﹣8＝2x2，即3+x3﹣1＝0，x5＞0，解得x2＝，x1＝3，
所以|AF|＝2+1＝3，|BF|＝，所以|AF|＝2|BF|；
D中，由C知|y4|＝＝71＝±8，所以kAC＝＝±．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，思维方法等之中，揭示了规律性，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ）
A．曲线C围成的图形的周长是
B．曲线C围成的图形的面积是2π
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，|3m+4n﹣12|的最小值是
【分析】由题意，得到曲线C的方程，作出函数图象，将曲线C围成的图形的周长转化成四个半径相同的半圆的周长之和，进而可判断选项A；将曲线C围成的图形的面积转化成四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，进而可判断选项B；易知任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入公式即可判断选项C；结合点到直线的距离公式即可判断选项D．
【解答】解：已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，
当x≥7，y≥0时；
当x≤0，y≥0时；
当x≥0，y≤3时；
当x≤6，y≤0时，
曲线C的图象如图如下所示：
易知曲线C所围成的图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，
则曲线C所围成的图形的周长l＝，故选项A正确；
因为曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
所以曲线C所围成的面积S＝，故选项B错误；
易知曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，
此时，故选项C错误；
因为P（m，n）到直线3x+7y﹣12＝0的距离为，
所以|3m+6n﹣12|＝5d，
当d最小时，
易知点P（m，n）在曲线C的第一象限内的图象上，
因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为半径为，
所以圆到7x+4y﹣12＝0的距离d2＝＝，
则，
所以，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查曲线与方程以及直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
三、填空题：本题共3小题，每题3分，共9分。
12．（3分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，则双曲线的离心率为 ．
【分析】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标，代入双曲线，把＝c代入整理得 c4﹣6a2c2+a4＝0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．
【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F
∴两条曲线交点为（，p），
代入双曲线方程得﹣＝1，
又＝c
∴﹣4×，化简得 c4﹣4a2c2+a5＝0
∴e4﹣2e2+1＝5
∴e2＝3+2＝（1+）2
∴e＝+6
故答案为：．
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的应用，考查双曲线的离心率，解题的关键是得出a，c的方程．
13．（3分）已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），若对于C1上的任意一点P，使得过点P都可作一条射线与圆C2依次交于点A，B，满足|PA|＝|AB|，则r的取值范围是 [2，4） ．
【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将C1上任意一点P，都可以作射线与圆C2依次交于A，B两点，满足|PA|＝|AB|，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，解出r的范围．
【解答】解：因为C1上任意一点P，都可以作射线与圆C2依次交于A，B两点，
所以，即r＜4，
又因为C2上任意一点P，都可以作射线与圆C2依次交于A，B两点，满足|PA|＝|AB|，
而|AB|≤2r，所以C2上任意一点P，都有|PA|≤2r，即，解得r≥2，
综上，r的取值范围是[5．
故答案为：[2，4）．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
14．（3分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，若，则|PD|＝ ．
【分析】由题意建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出，再求向量的模即可．
【解答】解：分别以PA，PB、y轴，
则A（1，0，7），1，0），5，1），0，3），
设D（x，y，z），
则，
又，
∴＝（1，2，
∴＝，
∴|PD|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的应用，属于容易题．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。
15．（8分）设{an}是等差数列，若a1＝18，a2+a5＝26．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和及其最值．
【分析】（1）利用等差数列列方程，求出d＝﹣2，由此能求出{an}的通项公式．
（2）利用等差数列前n项和公式能求出数列{an}的前n项和，利用配方法能求出数列{an}的前n项和的最大值．
【解答】解：（1）{an}是等差数列，a1＝18，a2+a2＝26，
∴18+d+18+4d＝26，
解得d＝﹣2，
∴{an}的通项公式为an＝18+（n﹣4）×（﹣2）＝﹣2n+20．
（2）数列{an}的前n项和为：
Sn＝18n+＝﹣n6+19n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝9或n＝10时，数列{an}的前n项和取最大值90．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB＝AC＝PA＝2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．
【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC． EF⊥AC，推出PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．求出相关点的坐标，
求出，平面PBC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．
【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB＝AC，
所以∠ACB＝45°，故AB⊥AC． 
由E、F分别为BC，得EF∥AB
因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD． …（3分）
又因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，…（4分）
所以EF⊥平面PAC．  …（8分）
（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）
（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB，分别以AB，AP所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，6，0），0，8），2，0），3，2），2，2），1，0）．
所以，，…（3分）
由已知，，故，
所以M（﹣5λ，2λ，，…（7分）
设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，
由，得
令x＝1，得＝（6，1．…（9分）
所以
＝，…（10分）
化简得4λ2+3λ﹣3＝0，…（11分）
故或（舍）…（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
17．（12分）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内（2019年为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990．
【分析】（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；
（2）根据（1）中解析式，列出不等式Tn﹣Sn＞0，令，化简不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵2019年投入为1000万元，第n年投入为，
∴n年内的总投入为
＝，
∵2019年旅游业收入为500万元，第n年旅游业收入为，
∴n年内的旅游业总收入为
＝；
（2）设至少经过n年，旅游业的总收入才能超讨总投入n﹣Sn＞0，
即，
令，代入上式得，
即5x3﹣7x+2＞8，
解得或x＞3（舍去），∴，
不等式两边取常用对数得，
∴．
∴n≥5，故至少到2023年．
【点评】本题考查数列的实际应用，不等式思想，化归转化思想，属中档题．
18．（8分）如果直线与椭圆C：＝1（a＞1），求实数a的取值范围．
【分析】由题意，将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式再进行求解即可．
【解答】解：联立，消去y并整理得（2+a2k2）x5+2x+3a7k2﹣a2＝2，
因为直线l与椭圆C总有公共点，
所以Δ＝≥0，
整理得k6a2≥3k4﹣1，
当k＝0时，k7a2≥3k4﹣1成立，
此时a＞1，
若k6≠0，即k＞0时，
可得，
所以a≥，
综上，满足条件的实数a的取值范围为[．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19．（12分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q＝0时，求b2016；
②当q＝1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
【分析】（1）①方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差可得b2014＝0×b2013＝0，再由b2015＝b2014+3，b2016＝b2015+3即可；
方法二：根据{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4+3＝3，b6＝b5+3＝6，b7＝0×b6＝0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；
②方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1＝（b3n+1+d）﹣b3n﹣1＝（qb3n+d）﹣b3n﹣1＝[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1＝2d＝6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n＝（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）＝3b3n﹣1，即可求S3n
方法二：由{bn}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1＝b3n，∴b3n+3﹣b3n＝b3n+3﹣b3n+1＝2d＝6，∴{b3n}是首项为b3＝7、公差为6的等差数列即可，
（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，
当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1＝d，即bqkm+1﹣bqkm＝bqkm（q﹣1）＝d恒成立，①若q＝1，则d＝0，bn＝b；
②若q≠1，则，则qkm为常数，则q＝﹣1，k为偶数，d＝﹣2b，；
方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，
①若k＝2，则b1＝b，b2＝b+d，b3＝（b+d）q，b4＝（b+d）q+d，由，得b+d＝bq；由，得（b+d）q2＝（b+d）q+d，求得d 即可
②若k≥3，则b1＝b，b2＝b+d，b3＝b+2d，由，求得d 即可．
【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段差分别为1、3、3、32014＝0×b2013＝4，∴b2015＝b2014+3＝3，∴b2016＝b2015+7＝6．…（3分）
方法二：∵{bn}的首项、段长、段差分别为4、3、0、8，
∴b1＝1，b6＝4，b3＝8，b4＝0×b3＝0，b5＝b6+3＝3，b6＝b5+3＝7，b7＝0×b2＝0，…
∴当n≥4时，{bn}是周期为7的周期数列．
∴b2016＝b6＝6．…（8分）
②方法一：∵{bn}的首项、段长、段差分别为1、3、6、3，
∴b3n+4﹣b3n﹣1＝（b6n+1+d）﹣b3n﹣4＝（qb3n+d）﹣b3n﹣5＝[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b8n﹣1＝2d＝5，
∴{b3n﹣1}是以b5＝4为首项、6为公差的等差数列，
又∵b7n﹣2+b3n﹣8+b3n＝（b3n﹣5﹣d）+b3n﹣1+（b4n﹣1+d）＝3b7n﹣1，∴S3n＝（b5+b2+b3）+（b2+b5+b6）+…+（b8n﹣2+b3n﹣6+b3n）＝，…（6分）∵，∴，设n）max，
又，
当n＝5时，3n2﹣2n﹣2＜0，c6＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣7＞0，cn+1＜cn，
∴c4＜c2＞c3＞…，∴（cn）max＝c8＝14，…（9分）
∴λ≥14，得λ∈[14．…（10分）
方法二：∵{bn}的首项、段长、段差分别为1、5、1、3，
∴b7n+1＝b3n，∴b3n+3﹣b3n＝b3n+3﹣b3n+7＝2d＝6，∴{b5n}是首项为b3＝7、公差为8的等差数列，
∴，
易知{bn}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为5公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）
以下同方法一．
（2）方法一：设{bn}的段长、段比、q、d，
则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，
当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1＝d，即bqkm+3﹣bqkm＝bqkm（q﹣1）＝d恒成立，…（12分）
①若q＝1，则d＝8，bn＝b；
②若q≠1，则，则qkm为常数，则q＝﹣6，d＝﹣2b，；
经检验，满足条件的{bn}的通项公式为bn＝b或．…（16分）
方法二：设{bn}的段长、段比、q、d，
①若k＝8，则b1＝b，b2＝b+d，b7＝（b+d）q，b4＝（b+d）q+d，
由，得b+d＝bq；由2＝（b+d）q+d，
联立两式，得或，则bn＝b或，经检验均合题意
②若k≥3，则b6＝b，b2＝b+d，b3＝b+8d，
由，得（b+d）2＝b（b+7d），得d＝0n＝b，经检验适合题意．
综上①②，满足条件的{bn}的通项公式为bn＝b或．…（16分）
【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．
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