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第1章 有理数（知识清单+典型例题与变式练习）-七年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）
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第1章 有理数（知识清单+典型例题与变式练习）【知识导图】 【知识清单】考点1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：【例1】（2022秋•定远县校级月考）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据有理数的定义解答即可．【解答】解：﹣2，3.14，，0.1414，是有理数，共4个．故选：B．【点评】本题考查的是有理数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．【变式】（2022秋•霍邱县校级月考）在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是（ ）A．﹣ B． C．﹣π D．﹣4【分析】根据负整数的意义，即可解答．【解答】解：在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是﹣4，故选：D．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．考点2数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．【例2】（2022秋•定远县校级月考）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（ ）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故选：A．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．【变式】（2022秋•淮南期末）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．（1）求线段AB的长．（2）若点B是线段AC的中点，求x的值．【解答】解：（1）∵数轴上点A，B所表示的数分别是4，﹣6，∴线段AB的长为|4﹣（﹣6）|＝10；（2）∵点B是线段AC的中点，∴AB＝BC，∴4﹣（﹣6）＝﹣6﹣x，解得x＝﹣16，答：x的值是﹣16．考点3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．【例3】（2022秋•宣城期末）若a、b互为相反数，则a﹣（5﹣b）的值为 ．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a﹣（5﹣b）＝a+b﹣5＝0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．考点4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【例4】（2022秋•崇川区期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（ ）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可．【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0，当a＞0、b＞0时，且＝2+3＝5．当a＞0、b＜0时，且＝2﹣3＝﹣1．当a＜0、b＞0时，且＝﹣2+3＝1．当a＜0、b＜0时，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提．【变式1】如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y﹣4|=0，∴x+3=0，y﹣y=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．【变式2】已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 ＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a2-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.【变式3】（2022秋•邗江区月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】先由绝对值性质得出a、b的值，再结合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，从而确定出a和b的值可能取值，再分别代入计算可得．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，又|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，则a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，当a＝4，b＝6时，a+b＝4+6＝10；当a＝﹣4，b＝6时，a+b＝﹣4+6＝2；综上，a+b的值为10或2．【变式4】（2022秋•崇川区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7﹣21|＝ ；②＝ ；③＝ ；④＝ ；（2）用合理的方法计算：；（3）用简便的方法计算：．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|﹣+0.8|＝0.8﹣；③||＝；④|3.2﹣2.8﹣|＝2.8+﹣3.2；故答案为：①21﹣7；②0.8﹣；③；④2.8+﹣3.2；（2）原式＝+﹣＝（﹣）+（）﹣＝﹣；（3）原式＝+++••••••+＝＝＝．考点5：倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．【例5】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ .【答案】3；考点6：乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．【例6】（2022秋•定远县校级月考）计算：（1）﹣（）2×（﹣42）÷（﹣）2；（2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25．【解答】解：（1）原式＝×（﹣16）÷＝1×64＝64；（2）原式＝﹣27×（）÷（﹣16）×（﹣1）＝﹣27×（）×（）×（﹣1）＝．【变式】（2022秋•定远县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【解答】解：（1）M （5）+M （6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M （2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（ n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M （ n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，∴2M（ n ）与 M （ n+1）互为相反数．考点7：近似数（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【例7】（2022秋•安庆期末）1.9985精确到百分位，应等于（ ）A．1.99 B．2.10 C．2.00 D．2【解答】解：1.9985按四舍五入法精确到百分位应写作2.00；故选：C．【变式】（2022秋•安徽期末）用四舍五入法对1.6854取近似值精确到百分位为 ．【解答】解：近似数1.6854精确到百分位为1.69．故答案为：1.69．考点8：科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【例8】（2023•苏州）在比例尺为1：8000000的地图上，量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为 ．【解答】解：28000000＝2.8×107，故答案为：2.8×107．【变式】（2023•镇江一模）2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为 ．【解答】解：15.95亿＝15.95×108＝1.595×109．故答案为：1.595×109．考点9、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．【例9】在下列两数之间填上适当的不等号： ________．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒数比较法：因为所以【变式1】在下列两数之间填上适当的不等号： ________．【答案】 ＞【解析】法一：作差法：（）=，∴． 法二：作商法：由于，所以． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：．【变式2】在下列两数之间填上适当的不等号． _________． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）考点10、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac【例10】（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5） 【变式1】(1) (2) (4)(5)【答案与解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【变式2】（1）（2）【答案】解：（1） （2） 【变式3】先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．【答案与解析】解：原式 【变式4】（2022秋•镇江期中）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．考点11：数学思想在有理数中的应用【例11】（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系． A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a． 所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=【变式1】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0； 当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0； 当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0． 所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．【变式2】（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【变式3】如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．（1）点B在数轴上表示的数是 ，点C在数轴上表示的数是 ，线段BC的长＝ ；（2）若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？【解答】解：（1）因为点A表示的数是﹣12，点B在点A右侧，且AB＝2，所以﹣12+2＝﹣10，所以点B表示的数是﹣10；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且CD＝1，所以15﹣1＝14，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是14﹣（﹣10）＝24（单位长度），所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：﹣10，14，24．（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是﹣10+t，根据题意得t+2t＝24，解得t＝8，所以﹣10+t＝﹣10+8＝﹣2，答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2．（3）若点P在点Q的左侧，则t+24＝1+2t解得t＝23；若点P在点Q的右侧，则1+t+24＝2t，解得t＝25，答：当t＝23或t＝25时，点B与点C之间的距离为1个单位长度．考点12：规律探索 【例12】．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________．【答案】【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【变式1】下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )． A．495 B．497 C．501 D．503【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．【变式2】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A． B． C． D．【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是． 作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
第1章 有理数（知识清单+典型例题与变式练习）【知识导图】 【知识清单】考点1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：【例1】（2022秋•定远县校级月考）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据有理数的定义解答即可．【解答】解：﹣2，3.14，，0.1414，是有理数，共4个．故选：B．【点评】本题考查的是有理数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．【变式】（2022秋•霍邱县校级月考）在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是（ ）A．﹣ B． C．﹣π D．﹣4【分析】根据负整数的意义，即可解答．【解答】解：在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是﹣4，故选：D．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．考点2数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．【例2】（2022秋•定远县校级月考）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（ ）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故选：A．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．【变式】（2022秋•淮南期末）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．（1）求线段AB的长．（2）若点B是线段AC的中点，求x的值．【解答】解：（1）∵数轴上点A，B所表示的数分别是4，﹣6，∴线段AB的长为|4﹣（﹣6）|＝10；（2）∵点B是线段AC的中点，∴AB＝BC，∴4﹣（﹣6）＝﹣6﹣x，解得x＝﹣16，答：x的值是﹣16．考点3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．【例3】（2022秋•宣城期末）若a、b互为相反数，则a﹣（5﹣b）的值为 ．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a﹣（5﹣b）＝a+b﹣5＝0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．考点4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．【例4】（2022秋•崇川区期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（ ）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可．【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0，当a＞0、b＞0时，且＝2+3＝5．当a＞0、b＜0时，且＝2﹣3＝﹣1．当a＜0、b＞0时，且＝﹣2+3＝1．当a＜0、b＜0时，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提．【变式1】如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y﹣4|=0，∴x+3=0，y﹣y=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．【变式2】已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 ＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a2-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.【变式3】（2022秋•邗江区月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】先由绝对值性质得出a、b的值，再结合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，从而确定出a和b的值可能取值，再分别代入计算可得．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，又|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，则a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，当a＝4，b＝6时，a+b＝4+6＝10；当a＝﹣4，b＝6时，a+b＝﹣4+6＝2；综上，a+b的值为10或2．【变式4】（2022秋•崇川区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7﹣21|＝ ；②＝ ；③＝ ；④＝ ；（2）用合理的方法计算：；（3）用简便的方法计算：．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|﹣+0.8|＝0.8﹣；③||＝；④|3.2﹣2.8﹣|＝2.8+﹣3.2；故答案为：①21﹣7；②0.8﹣；③；④2.8+﹣3.2；（2）原式＝+﹣＝（﹣）+（）﹣＝﹣；（3）原式＝+++••••••+＝＝＝．考点5：倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．【例5】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ .【答案】3；考点6：乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．【例6】（2022秋•定远县校级月考）计算：（1）﹣（）2×（﹣42）÷（﹣）2；（2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25．【解答】解：（1）原式＝×（﹣16）÷＝1×64＝64；（2）原式＝﹣27×（）÷（﹣16）×（﹣1）＝﹣27×（）×（）×（﹣1）＝．【变式】（2022秋•定远县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【解答】解：（1）M （5）+M （6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M （2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（ n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M （ n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，∴2M（ n ）与 M （ n+1）互为相反数．考点7：近似数（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【例7】（2022秋•安庆期末）1.9985精确到百分位，应等于（ ）A．1.99 B．2.10 C．2.00 D．2【解答】解：1.9985按四舍五入法精确到百分位应写作2.00；故选：C．【变式】（2022秋•安徽期末）用四舍五入法对1.6854取近似值精确到百分位为 ．【解答】解：近似数1.6854精确到百分位为1.69．故答案为：1.69．考点8：科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【例8】（2023•苏州）在比例尺为1：8000000的地图上，量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为 ．【解答】解：28000000＝2.8×107，故答案为：2.8×107．【变式】（2023•镇江一模）2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为 ．【解答】解：15.95亿＝15.95×108＝1.595×109．故答案为：1.595×109．考点9、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．【例9】在下列两数之间填上适当的不等号： ________．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒数比较法：因为所以【变式1】在下列两数之间填上适当的不等号： ________．【答案】 ＞【解析】法一：作差法：（）=，∴． 法二：作商法：由于，所以． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：．【变式2】在下列两数之间填上适当的不等号． _________． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）考点10、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac【例10】（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5） 【变式1】(1) (2) (4)(5)【答案与解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【变式2】（1）（2）【答案】解：（1） （2） 【变式3】先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．【答案与解析】解：原式 【变式4】（2022秋•镇江期中）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．考点11：数学思想在有理数中的应用【例11】（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系． A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a． 所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=【变式1】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0； 当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0； 当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0． 所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．【变式2】（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【变式3】如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．（1）点B在数轴上表示的数是 ，点C在数轴上表示的数是 ，线段BC的长＝ ；（2）若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？【解答】解：（1）因为点A表示的数是﹣12，点B在点A右侧，且AB＝2，所以﹣12+2＝﹣10，所以点B表示的数是﹣10；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且CD＝1，所以15﹣1＝14，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是14﹣（﹣10）＝24（单位长度），所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：﹣10，14，24．（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是﹣10+t，根据题意得t+2t＝24，解得t＝8，所以﹣10+t＝﹣10+8＝﹣2，答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2．（3）若点P在点Q的左侧，则t+24＝1+2t解得t＝23；若点P在点Q的右侧，则1+t+24＝2t，解得t＝25，答：当t＝23或t＝25时，点B与点C之间的距离为1个单位长度．考点12：规律探索 【例12】．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________．【答案】【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【变式1】下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )． A．495 B．497 C．501 D．503【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．【变式2】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A． B． C． D．【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是． 作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
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