安徽省亳州市蒙城县庄子2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省亳州市蒙城县庄子2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．反比例函数(k≠0)的图象经过点(-2，3)，则下列点也在此函数图象上的是（ ）
A．(1，6)B．(3，-2)C．(3，2)D．(-3，-2)
4．在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3B．6C．8D．10
7．某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）
A．元B．元C．元D．元
8．如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
10．如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 ．
13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为 ．
14．如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．

（1） ．
（2）连接，则的最小值为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，和中，已知，，，，求的长．
17．如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)已知P为反比例函数的图象上一点，，求点P的坐标．
19．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
21．如图，在一次实践活动中，小兵从A地出发，沿北偏东方向行进了千米到达B地，然后再沿北偏西方向行进了5千米到达目的地点C.
(1)求A、C两地之间的距离；
(2)试确定目的地C在点A的什么方向？
22．某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
23．如图1，在四边形中，是对角线，且，是边上的一动点，连接，交于点，其中，．
(1)求证：；
(2)若，．
①如图2，若，求的值；
②如图3，若，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．D
【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标是；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故四个选项中，只有在此函数上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是明确同一反比例函数图象上点的坐标符合．
4．B
【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解并掌握正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，据此即可获得答案．
【详解】解：如下图，
由题意可知，，，，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】首先，根据圆周角定理，由得到，再根据是的直径，得到，由直角三角形中两个锐角互余即可得到．
【详解】解：，
，
是的直径，
，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理及其推论、直角三角形性质等知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角为直角是解决问题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握相关知识是解题关键．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理可得，进而解得，然后由求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，解得，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案；
【详解】解：设利润为w，由题意可得，
，
∵，，
∴当时w最大，
故选B；
【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解．
8．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，证明，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10．B
【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题．
【详解】解：连接交于点，连接，，
四边形是菱形，
对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形，
，
，
是的中点，
，
的周长，
要求的周长的最小值可先求出的最小值即可，
而的最小值就是的长，
过点作，交的延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
在中，
，，
在中，
，，
，
的周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
11．
【分析】先用含x的代数式表示y，然后代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵
∴y=2x，
∴==．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简，解题的关键是用含x的代数式表示y．内项之积等于外项之积．
12．32
【分析】本题考查了成比例线段，根据，列式计算即可．
【详解】∵，，，是比例线段，其中，，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：32．
13．
【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
设小正方形的边长为1，
则AE=3，BE=4，
所以tan∠ABC=，
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．
14． 2
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可得出结果；
（2）取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，在中，根据两点之间线段最短即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）取的中点O，连接，

由（1）中，得
，
即，
在中，，
在中，，
在中，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，相似三角形的判定与性质等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
15．4
【分析】本题主要考查零次幂和特殊三角函数值．先进行幂的运算、去绝对值、及零次幂的运算，同时将特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可．
【详解】解：
．
16．．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，利用相似三角形的性质求得，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
17．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）在网格中作出，连接即可得到；
（2）根据点的位置写出、的坐标即可．
【详解】（1）即为所作；
（2）点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
18．(1)
(2)或
【分析】（1）先把点代入反比例函数，求出的值，再用待定系数法求出的值即可；
（2）利用，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
把代入，得：，
∴；
（2）由（1）知，，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵点为双曲线上一点，
∴当时，；当时，，
∴或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
19．
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
20．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
21．(1)10千米 ；
(2)C在点A的北偏东15°
【分析】（1）根据题意画出图形，进一步可得出，然后利用勾股定理即可求出的长；
（2）利用（1）中所求得出，即可得出目的地C与A的方向．
【详解】（1）解：根据题意,可知，
∵，，
∴千米.
（2）在中，==，
∴.
∴C在点A的北偏东．
22．(1)
(2)该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式，求出y的值，由竖直方向上的高度差至少为0.5米可得答案．
【详解】（1）设抛物线的表达式为，
由图可知，抛物线经过点，将其代入，得
，
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）当时，
，
米．
答：该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求得抛物线解析式是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①；②．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再根据得出，证，根据线段比例关系即可得出结论；
（2）①证，得，再根据，最后利用平行线分线段成比例得出得出结论即可；
②过点，分别作，，垂足分别为，，过点作于点，根据三角函数得出，证，根据线段比例关系分别求出和的值即可求出的面积．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
即；
（2）解：①∵，
，
，
又，
，
，
，
，
∵，
；
②如图，过点，分别作，，垂足分别为，，过点作于点，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
又，则，
．
又，
，
，
则，
，
则，
，
，
，
由，
得，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例，解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例等知识是解题的关键．