河南省南阳市宛城区2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市宛城区2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知点，，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用斜率公式和m的取值范围求出斜率k的取值范围，再根据斜率与倾斜角之间的关系求出倾斜角的取值范围.
【详解】由题可得：，因为，所以.又因为在和内，k随着倾斜角的增大而增大.又，，所以倾斜角或.
故选：B.
2. 已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】讨论、，结合离心率求出对应焦距.
【详解】若，则，解得，则，所以焦距是；

若，则，解得，则，所以焦距是.

故选：A
3. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出所需条件，再结合充分必要条件的定义判断即可．
【详解】直线的一个法向量是，直线的一个法向量是，，则有， 得，解得或.
当时，成立；当时，不能得到，
所以则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
5. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A. 1B. 2C. -1D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求.
【详解】因为双曲线的方程为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，所以，
故选：C.
6. 已知双曲线的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝ |PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A 48B. 24C. 12D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，再利用已知条件得到|PF2|，|PF1|，|F1F2|，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，即可得出结论.
【详解】由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，
故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知：
三角形PF1F2为直角三角形，
因此|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
7. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．

8. 若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把圆的方程整理为标准方程，然后根据圆的性质得到关于t的方程，解方程即可.
【详解】将圆化为标准方程得，
故圆的圆心坐标为，半径.
由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，
知圆心到直线的距离，
解得.
故选：A.
9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A. 的最大值为
B. 为定值
C. 的焦距是短轴长的2倍
D. 存在点，使得
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆方程，结合椭圆对称性、定义及余弦定理判断各项的正误即可.
【详解】由题意，，，，所以，，，
而，，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，，所以B正确；
当在轴上时，，则为锐角，
所以存在点，使得，所以D正确.

故选：C
10. 经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆配方可得，
圆心坐标为，半径为2，
弦心距，弦长为，
过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．
最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，
所求面积最小的圆方程为：，
故选：C．
11. 若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】四边形面积等于，所以当最小时，四边形面积最小，的最小值为圆心到直线的距离，从而歌曲求得答案
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径为2，
因为与圆相切，
所以四边形面积等于，
的最小值为圆心到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为，
故选：C

12. 已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.
【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，
则，，.
又因A，B在椭圆C上，所以，，
两式相减可得，即.
又点M在l上，故，解得，.
因为点M在椭圆C内部，所以，解得.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若圆与圆（）相内切，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.
【详解】解：圆的圆心为，半径为2；
圆的圆心为，半径为1．
所以两圆圆心间的距离为，
由两圆相内切得，解得：．
由于，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了两圆位置关系，属于基础题.
14. 已知点、，在直线上，则的最小值等于________.
【答案】12
【解析】
【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设关于的对称点为
则，解得，，
，则，
所以的最小值是12.
故答案为：.
15. 已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是________.
【答案】24
【解析】
【分析】设圆的圆心为，利用、计算可得答案.
【详解】设圆的圆心为，则，椭圆的右焦点坐标也为，
且是圆的一条直径，因此
，
因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，
所以，所以，
即，所以的最大值为24.
故答案为：24.

16. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.

【答案】
【解析】
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先设出与直线垂直的直线的方程，把点代入所设方程求解即可求得直线的方程；
（2）分直线过原点与不过原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线的方程，再把点代入所设方程求解即可求得直线的方程
【小问1详解】
因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，
即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
18. 已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分析可知圆心在直线上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆的方程；
（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：过点且与直线垂直的直线的方程为，
由题意可知，圆心即为直线与直线的交点，
联立，解得，故圆的半径为，
因此，圆的方程为.
【小问2详解】
解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
19. 已知直线，，，动点满足，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）证明：直线与曲线总有两个交点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设点的坐标，代入，化简即可求解；
（2）根据直线恒过定点在圆内判定直线与圆有两个交点.
【小问1详解】
设，因为，所以.
两边平方得，
整理得，即曲线的方程为.
【小问2详解】
直线的方程可化为，
令，解得，即直线经过定点.
由（1）可知，曲线是圆心坐标为，半径为的圆.
因为，所以点在圆内部，故直线与曲线总有两个交点.
20. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
【答案】（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共渐近线，设设双曲线C的方程为，代入点坐标即可得到标准方程.
（2）联立双曲线与直线方程，结合韦达定理得到中点坐标，然后代入圆方程，即可得到结果.
小问1详解】
因为双曲线C与有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为，代入，得，得，故双曲线C的方程为，
所以，，，故离心率，
渐近线方程为．
【小问2详解】
联立直线AB与双曲线C的方程，得，
整理得，
．
设，，则AB的中点坐标为，由根与系数的关系得，，，
所以AB的中点坐标为，
又点在圆上，所以，
所以．
21. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定点为.
【解析】
【分析】（1）采用待定系数法，结合离心率、椭圆所过点和关系构造方程组即可求得结果；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；根据，利用平面向量数量积的坐标运算和韦达定理可化简整理得到或，代入直线方程可得所过定点.
【详解】（1）设椭圆方程为：，焦距为，
由得：，椭圆的标准方程为：；
（2）由得：，
则，整理可得：；
设，，则，
；
以为直径的圆过椭圆的右顶点，设其右顶点为，则，，
即，
或，解得：或，满足；
当时，，恒过定点，与不是左右顶点矛盾，不合题意；
当时，，恒过定点，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
22. 已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
（1）若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】(1) 联立直线方程和椭圆方程得，由韦达定理可得的关系，再由计算即可得证；
(2)由题意可得直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程得，由韦达定理之间的关系，假设存在满足题意的点，设，由题意可得.代入计算，如果有解，则存在，否则不存在.
【小问1详解】
证明：因为，所以直线l：，
联立直线方程和椭圆方程： ，得，
设，
则有，
所以，
又因为，
所以，，
所以==
所以直线和的斜率之积为定值；
【小问2详解】
解：假设存在满足题意的点，设，
因为椭圆的右焦点，所以,即有，
所以直线的方程为.
由，可得，
设，
则有；
因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，
所以平分,
所以.
即==，
又因为，
所以，
代入，
即有，
解得.
故轴上存在定点，使得点到直线 的距离与点到直线的距离相等.