福建省宁德市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

这是一份福建省宁德市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在6mm，4y，y4，6x+1，yπ，x+y2中分式的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 在实数0、3.14、203、 80、3-27中无理数的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 下列运算正确的是( )
A. a2·a3=a6B. (a3)4=a12C. a8÷a4=a2D. a0=1
5. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 全等三角形的面积相等
C. 如果a>0，b>0，那么ab>0D. 两直线平行，内错角相等
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，直线EF交BC于点D.连接AD，已知AC=4，△ABD的周长是10，则BC的长是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 若 x⋅ x-6= x(x-6)，则( )
A. x≥6B. x≥0C. 0≤x≤6D. x为一切实数
8. 如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，△DBC是顶角为120°的等腰三角形，动点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=60°，则△AEF的周长是( )
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(10,8)，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为( )
A. (10,4)B. (10,3)C. (10,2.5)D. (10,2)
10. 意大利著名画家达⋅芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是( )
A. S1=a2+b2+2abB. S1=a2+b2+ab
C. S2=c2D. S2=c2+12ab
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
11. 定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[4.1]=4，则满足[ n]=5，则n的最大整数为______．
12. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，D为△ABC内一点，且∠BCD=∠CAD，若CD=4，则△BCD的面积为______．
13. 如图，AB、CD相交于点E，AD=DE，BC=BE，F、G、H分别为AE、CE、BD的中点，∠A=α.则∠FHG= ______ .(用含α的代数式表示)
14. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= m- n(m>n) m+ n(m15. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．
16. 若最简二次根式3 2m+5与5 4m-3可以合并，则m=______．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：( 2-1)0+|-3|-327+(-1)2021．
18. (本小题5.0分)
解不等式组4x-3(x-2)≥4①x-15>x+12-1②并把解集在数轴上表示出来．
19. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(a2a-b-2ab-b2a-b)÷a-bab，其中a= 3+1，b= 3-1．
20. (本小题6.0分)
已知：2a+b的算术平方根是4，4a-b的立方根是2，求a-b的值．
21. (本小题6.0分)
如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
(2)求阴影部分的面积．
22. (本小题9.0分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
(1)如图1，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F．
求证：EF=BF-CE．
(2)如图2，点D是BC上一点，BA=BD，CE⊥AD于E，求证：AD=2CE．
(3)如图3，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM=AE，连接BM.若CE=2，求AG的长度．
23. (本小题10.0分)
若含根号的式子a+b x可以写成式子m+n x的平方(其中a，b，m，n都是整数，x是正整数)，即a+b x=(m+n x)2，则称a+b x为完美根式，m+n x为a+b x的完美平方根．例如：因为19+6 2=(1+3 2)2，所以1+3 2是19+6 2的完美平方根．
(1)已知3+2 3是a+12 3的完美平方根，求a的值；
(2)若m+n 5是a+b 5的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b；
(3)已知17-12 2是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
24. (本小题12.0分)
细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
OA22=( 1)2+1=2，S1= 12(S1是Rt△A1A2O的面积)；OA32=( 2)2+1=3，S2= 22(S2是Rt△A2A3O的面积)；OA42=( 3)2+1=4，S3= 32(S3是Rt△A3A4O的面积)；
…
(1)请你直接写出OA102= ______ ，S10= ______ ；
(2)请用含有n(n为正整数)的式子填空：OAn2= ______ ，Sn= ______ ；
(3)在线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有______ 条；
(4)我们已经知道( 13+3)( 13-3)=4，因此将8 13-3分子、分母同时乘以( 13+3)，分母就变成了4，请仿照这种方法求1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+…+1S99+S100的值．
答案和解析
1.【答案】C
解析：解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
结合轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
解析：解：6mm，4y，6x+1的分母中含有字母，是分式，共有3个．
故选：C．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式．
3.【答案】A
解析：解：3-27=-3，
故在实数0、3.14、203、 80、3-27中，无理数有 80，共1个．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1)等有这样规律的数．
4.【答案】B
解析：解：A.a2·a3=a5，故本选项不合题意；
B.(a3)4=a12，故本选项符合题意；
C.a8÷a4=a4，故本选项不合题意；
D.a0=1(a≠0)，故本选项不合题意．
故选：B．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据零指数幂的定义判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
解析：解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为如果ab>0，那么a>0，b>0，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
写出原命题的逆命题后判断正误即可得到正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．
6.【答案】B
解析：解：∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD=10，
由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴AD=DC，
∵AB=AC=4，
∴CD+BD=10-4=6，
∴BC=6，
故选：B．
证明AD=DC，再根据△ABD的周长为10，求出AD+BD即可．
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】A
解析：解：若 x⋅ x-6= x(x-6)成立，则x≥0x-6≥0，解之得x≥6；
故选：A．
本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出x的取值范围．
本题需要注意二次根式的双重非负性： a≥0，a≥0．
8.【答案】C
解析：解：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
在△NBD和△FCD中，
BD=DC∠NBD=∠FCD=90°BN=CF，
∴△NBD≌△FCD(SAS)，
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，
∴△EDN≌△EDF(SAS)，
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=AC=4，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=8．
故选：C．
延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得到BE+CF=EF，易得△AEF的周长等于AB+AC．
本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】B
解析：解：如图，

设DB=m．
由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，
∵△CED与△CAD关于直线CD对称，
∴CE=CA=10，DE=DA=8-m，
在Rt△COE中，OE= CE2-OC2= 102-82=6，
∴EB=10-6=4．
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，
∴DE2=DB2+EB2．
即(8-m)2=m2+42．
解得m=3，
∴点D的坐标是(10,3)．
故选：B．
由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4.在Rt△DBE中利用勾股定理得到(8-m)2=m2+42.然后解方程求出m即可得到点D的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
10.【答案】B
解析：解：观察图象可知：S2=c2+12ab×2=c2+ab，
所以C、D错误，
又因为S1=S2，
由勾股定理可得，S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab
故选：B．
根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，直角三角形以及正方形的面积公式计算，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
11.【答案】25
解析：解：由题意得：
∵4< n≤5，
∴16∴n的最大整数为25．
故答案为：25．
由题意得：4< n≤5，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
12.【答案】8
解析：解：如图，过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，

∵等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=∠CAD，
∴∠ACB=∠BCD+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠H=90°，
在△ACD和△CBH中，
∠BCD=∠CAD∠ADC=∠HAC=CB，
∴△ACD≌△CBH(AAS)，
∴BH=CD=4，
∴S△BCD=12CD⋅BH=12×4×4=8，
故答案为：8．
过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得BH=CD，由三角形面积公式可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13.【答案】180°-2α
解析：解：如图，连接DF，BG．
∵DA=DE，BE=BC，AF=EF，EG=CG，
∴DF⊥AE，BG⊥EC，
∴∠DFB=∠DGB=90°，
∵DH=BH，
∴FH=DH=BH=GH，
∴∠HFB=∠HBF，∠HDG=∠HGD，
∵DA=DE，
∴∠A=∠DEA=α，
∵∠AED=∠EDB+∠EBD，
∴∠EDB+∠EBD=α，
∴∠FHG=180°-∠FHD-∠GHB=180°-2∠HBF-2∠HDG=180°-2α，
故答案为180°-2α．
如图，连接DF，BG.利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及直角三角形斜边中线的性质解决问题即可
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】2
解析：解：(3※2)×(8※12)
=( 3- 2)×( 8+ 12)
=( 3- 2)×2( 3+ 2)
=2，
故答案为：2．
根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15.【答案】4
解析：
【分析】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想．
设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=(9-x)2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
16.【答案】4
解析：解：由题意得：2m+5=4m-3，
解得：m=4，
故答案为：4．
根据同类二次根式定义可得2m+5=4m-3，再解即可．
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式．
17.【答案】解：原式=1+3-3-1
=0．
解析：直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、有理数的乘方、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：解不等式①，得：x≥-2，
解不等式②，得：x<1，
则不等式组的解集为-2≤x<1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：
原式=a2-2ab+b2a-b⋅aba-b
=(a-b)2a-b⋅aba-b
=ab，
当a= 3+1，b= 3-1时，
原式=( 3+1)( 3-1)
=3-1
=2．
解析：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
20.【答案】解：∵2a+b的算术平方根是4，4a-b的立方根是2，
∴2a+b=16①，4a-b=8②，
②-①得：2a-2b=-8，
∴a-b=-4．
解析：首先根据算术平方根和立方根的定义可得：2a+b=16①，4a-b=8②，两式相减可得结论．
此题主要考查了立方根的含义和求法，算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
21.【答案】解：(1)正方形ABCD的边长为：BC= 8=2 2，
正方形ECFG的边长为：CF= 32=4 2；
(2)∵BF=BC+CF，BC=2 2，CF=4 2，
∴BF=6 2；
∴S△BFG=12GF⋅BF=24；
又S△ABD=12AB⋅AD=4，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG-S△BFG-S△ABD
=8+32-24-4，
=12．
解析：(1)根据正方形的面积公式求得边长；
(2)先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．
本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第(2)题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．
22.【答案】(1)证明：∵CE⊥AE，BF⊥AE，
∴∠E=∠AFB=∠CAB=90°，
∴∠CAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABF=90°，
∴∠CAE=∠ABF，
在△AEC和△BFA中，
∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABFAC=BA，
∴△AEC≌△BFA(AAS)，
∴EC=AF，AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-CE；
(2)证明：如图2中，过点B作BT⊥AE于点T．

∵BA=BD，BT⊥AD，
∴AT=DT，
同法可证△AEC≌△BTA，
∴EC=AT，
∴AD=2EC；
(3)解：如图3中，过点B作BK⊥AE于点K．

同法可证△AEC≌△BKA，
∴AE=BK，EC=AK，
∵AM=AE，
∴AM=BK，
∵∠BKG=∠MAG=90°，∠AGM=∠BGK，
∴△AGM≌△BGK(AAS)，
∴AG=GK，
∴AG=12EC=1．
故答案为：1．
解析：(1)证明△AEC≌△BFA(AAS)，推出EC=AF，AE=BF，可得结论；
(2)如图2中，过点B作BT⊥AE于点T.证明AT=DT，同法可证EC=AT，可得结论；
(3)如图3中，过点B作BK⊥AE于点K.证明ZK=EC，AG=GK，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】解：(1)∵3+2 3是a+12 3的完美平方根，
∴(3+2 3)2=a+12 3，
即9+12 3+12=a+12 3，
∴a=9+12=21；
(2)∵m+n 5是a+b 5的完美平方根，
∴(m+n 5)2=a+b 5，
∴m2+5n2+2mn⋅ 5=a+b 5，
∴a=m2+5n2，b=2mn；
(3)∵17-12 2=17-2 72=( 9- 8)2=(3-2 2)2=(2 2-3)2，
∴3-2 2或2 2-3是17-12 2的完美平方根．
解析：本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．也考查了完全平方公式．
(1)利用完美平方根的定义得到(3+2 3)2=a+12 3，然后把等式左边展开得到a的值；
(2)利用完美平方根的定义得到(m+n 5)2=a+b 5，然后利用有理数与无理数的定义可用m、n表示a和b；
(3)先利用完全平方公式得到17-12 2=(3-2 2)2=(2 2-3)2，然后根据完美平方根的定义求解．
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．也考查了完全平方公式．
24.【答案】10 102 n n2 44
解析：解：(1)由题意可得，OA102=( 9)2+1=10，S10= 102，
故答案为：10， 102；
(2)由题意可得OAn2=( n-1)2+1=n，Sn= n2，
故答案为：n， n2；
(3)线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022的长分别是 1、 2、 3、 4、...、 2022．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、、a，
∵442=1936，452=2025，
∴a=44，
∴线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44；
(4)1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+⋅⋅⋅+1S99+S100
=1 12+ 22+1 22+ 32+1 32+ 42+⋯⋯+1 992+ 1002
=2 1+ 2+2 2+ 3+2 3+ 4+……+2 99+ 100
=2×[ 2- 1( 2+ 1)( 2- 1)+ 3- 2( 3+ 2)( 3- 2)+…+ 100- 99( 100+ 99)( 100- 99)]
=2×( 2- 1+ 3- 2+ 4- 3+……+ 100- 99)=2×( 100-1)
=18．
(1)认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；
(2)认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；
(3)通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方．
(4)化简整理后求值即可．
本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．