第13讲：第五章 平面向量及解三角形（测）（提高卷）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
∵､､三点共线，
∴，
解得.
故选：A.
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
4．（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据：）
A．68B．70C．72D．74
【答案】B
如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得为直角三角形，，，(米)，(米),设PQ=x，则,.
∴，
∴,
∴塔高(米),
故选：B
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形中，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．四边形为菱形
C．D．四边形为平行四边形
【答案】A
如图（1）所示，设，则 都是单位向量，
因为，所以，可得，
又因为，所以，且为的平分线，所以C不正确；
在中，因为，且，
可得，
所以四边形的面积大于，所以A正确；
如图图（2）所示只有当时，此时凸四边形才能为平行四边形且为菱形，所以B、D不正确；
故选：A.
6．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，
所以存在，使得，即，
即，
因为、不共线，所以，消去，得，
因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，，因为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以高的取值范围为.
故选：C.
8．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形
【答案】C
设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，
，则
，∴
同理，
∴，∴，，∴可以构成三角形
，∴，
∴为钝角三角形，
故选：C
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
解：A：若，由正弦定理得，
，则 A正确；
B：若，则，
，即为钝角，
为钝角三角形，故 B错误；
C：若，则，
为直角三角形，故 C正确；
D：若，则，
， ，
由余弦定理知，
，则，
，，为直角三角形，故 D正确．
故选：ACD．
11．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．的取值范围是
C．当时，为定值D．的最大值为12
【答案】AC
如图，设直线与圆于，.
则,
故A正确.
取的中点为，连接，则
，
而，故的取值范围是，故B错误.
当时，
，故C正确.
因为，故，故D错误.
故选：AC
12．（2022·浙江·嘉兴一中高一期中）在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
对于A选项，重心为中线交点，则，即，
因为，
则，
所以，，
所以，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则，
即，所以，
由A选项，则，，
所以，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，
在中，，则，
，
所以，易知，所以，
所以，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
由C选项，因为，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以，故D正确；
故选：ACD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·河南省杞县高中高一阶段练习）已知点，，，，则向量在向量方向上的投影向量为______．
【答案】
解：，，，，
，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
故答案为：
14．（2022·北京·二模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是________．
【答案】（答案不唯一）
由正弦定理得：，
，，
，
，
（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量，其中且其中设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．
【答案】
解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题：
由，为锐角，
同时由余弦定理，
而实际上表示的是OA的延长线．
故，而，则与的夹角．
可知，随着的增大，也在增大，则在减小，
由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可．
第一种极限情况，当与A重合时，
第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，，
由于恒成立，则，则k的最小值为．
故答案为：
16．（2022·浙江·模拟预测）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中点，延长BM交AC于点H，，，则___________，___________.
【答案】
在△ABC中，AD是的角平分线，所以.
因为，所以.
因为，又，解得
.
所以
△ADC中，设则，由余弦定理得：，即，即，所以.
在△ABC中，，.
因为AD是∠BAC的角平分线，所以
所以，
所以.
由正弦定理得：,
所以.而，
所以.
取为基底，则由H、M、B三点共线可得：①；、
由C、D、B三点共线可得：；
即，所以,所以.
即②.
因为M是AD的中点，所以,①式可化为：，
即③
设，则
②③对照得：，解得，即.
故答案为：；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，
(1)若，求角B.
(2)设，，试求的最大值.
【答案】(1)；(2)
(1)，∴，
，
∵,∴，
又∵
∴.
(2)，
∵，∴，，
∴当时，有最大值.
18．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1)(2)
(1)解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
(2)解：是的边上的中线，，
，
，
．
19．（2022·广东·华南师大附中三模）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，
(1)求B；
(2)设，，求函数的值域．
【答案】(1)(2)
(1)由，
可得，
即，可得，
因为，所以，
(2)
∵，则，，
在三角形ACD中，由正弦定理得，
可得，
在三角形ABC中，由正弦定理得，
可得
，
因为，
可得，
当时，即，
可得，
当时，即，
可得，
所以的值域为．
20．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)(2)6
(1)选①，得
∴
∵
∴
∴
选②
∵
∴
选③
又
所以，
所以
(2)由余弦定理知：
由基本不等式知：
所以
所以：(当且仅当时，等号成立)，
所以
综上：△ABC的周长的最大值为6．
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区.
(1)若在的正北方向且，求A，到市中心的距离和最小时的值；
(2)若到市中心的距离为，此时设在的平分线与的交点位置，且满足，则求A到市中心的距离最大时的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意可知，
若在的正北方向，则，
在中，，
在中，，
由正弦定理可得，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以A，到市中心的距离和最小时；
(2)解：因为，
所以，
即，
即，
因为平分，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以当时，有最大值20，
此时在中，，
即，
所以，
所以，
所以当A到市中心的距离最大时.
22．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)，由正弦定理得：
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中，
所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，
由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，
故，
面积为
故面积的取值范围是.