人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.18 相似三角形的判定（培优篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.18 相似三角形的判定（培优篇）（专项练习），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，中线CE交AD于点F，AD=18，EF=5，则BC长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．如图，在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，且与轴，轴分别交于两点，点为的中点，点在线段上，其坐标为，连结，，若，那么的值为（ ）
A．B．4C．5D．6
3．如图，△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN=∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，则该四边形的面积为（ ）

A．9 B．12 C．8 D．8
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（ ）
A．B．C．或D．或
7．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（3，）C．（3，）D．（2，）
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：
①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．如图，，若，，则________．
12．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，则DE的长为_________．
14．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____．
15．如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“0,
所以OA=2m，OB=m；因为坐标为，点D（4,0）所以OC=2，OD=4,
因为,∠AOB=∠DOC=90° ,所以△AOB∽△DPC,所以∠CDO=∠BAO.
又因为，所以根据三角形内角和和平角定义可得：∠APB+∠1=∠APB+∠CPD
所以∠1=∠CPD，又因为∠CDO=∠BAO，所以△PCD∽△BPA，所以 ,
因为点为的中点，所以AP=OP=m，PD=m+4，Rt△AOB中，由勾股定理得AB= m，同理得CD=2，因为，所以，解得m=6.
故选D.
【点拨】本题考查一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，
3．C
【分析】
根据两角对应相等得出△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，进而得到∠AMN=∠ABC；依据△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得图中共有8对相似三角形；依据AN=AC，△AMN∽△ABC，即可得到，即BC=2MN．
解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ANC=∠AMB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ABM∽△ACN，
∴，即，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠ABC，故①正确；
根据两角对应相等得出：△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，
△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵Rt△ACN中，∠A=60°，
∴∠ACN=30°，
∴AN=AC，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，
即BC=2MN，故③正确．
故选C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合运用，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
4．A
【分析】
根据角平分线和两直线平行可得，再根据等角对等边可得，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据两组角对应相等的两个三角形相似得求出，然后利用勾股定理求出，从而得出的长，最后根据四边形的面积，即可得出答案．
解：是的平分线，
，
，
，
，
，
，
过点作于，则，
，，
，
，
即，
，
在△中，，
，
四边形的面积为：．
故选A．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理、三角形的面积公式等知识点，作辅助线构造出相似三角形并求出的长是解题的关键．
5．B
解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故选B．
6．C
解：如图，当点E在线段AD上时，
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴;
如图,当点E在射线AD上时．
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴.
故选C.
7．D
解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
8．C
解：设AP=x，则BP=7-x，然后根据对应关系，分情况为：
①当△ADP∽△BCP时，可得，即，解得x=，这时有一个P点；
②当△ADP∽△BPC时，可得，即，解得x=1或x=6，因此这样的点有两个；
因此符合条件的P点共有3个.
故选C
【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.
9．B
【分析】
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN，
∴CM，
∴，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
10．C
【分析】
结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．
解：结论（1）正确，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）错误．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，
∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴，
即OP•OC=OE2．
∴DE2=2OE2=2OP•OC，
∴AD2+BE2=2OP•OC．
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点拨】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．
11．
【分析】
根据平行线AC∥EF分线段成比例得到同理则由比例的性质得到根据等量代换推知所以把相关数据代入即可求得EF的值．
解：如图,∵AC∥EF，
∴
又∵EF∥DB，
∴
则由比例的性质知 即
∴
∵AC=8，BD=12，
∴
∴EF=.
故答案是：.
【点拨】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.
12．∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
【分析】
解：根据∠AED=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B；根据∠2=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B；根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB，然后任选其一即可解答．
解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B可证其相似；
∵∠2=∠B，∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B可证其相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB可证其相似．
故答案为∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
13．
【分析】
利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长．
解：如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G．
∵△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．
∠B＝∠C＝30°．
在Rt△CEG中，∠C＝30°．
∴EG＝CE＝，CG＝．
∴AG＝2﹣＝．
∵AF⊥BC．
∴∠AFC＝90°．
∴AF＝AC＝．
∵∠DAE＝60°＝∠FAC．
∴∠DAF＝∠EAG．
∵∠AFD＝∠AGE＝90°．
∴△ADF∽△AGE．
∴，即．
∴DF＝．
由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝AF2+EF2．
∴EF2＝（）2+（）2﹣（）2＝4．
∴EF＝2．
DE＝2+＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．
14．或或
【分析】
因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．
解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽；
②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽；
③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；
故答案为：或或．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.
15． = 8
【分析】
①先证明△ABP≌△CBQ,再证明△QBD≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD.
解：①当BD平分∠PBQ时，
∠PBQ=45°，
∴∠QBD=∠PBD=22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ（ASA）,
∴BP=BQ，
在△QBD和△PBD中，
∴△QBD≌△PBD（SAS）,
∴PD=QD;
②当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ=∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，
∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，
∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,
∴∠BDQ=∠BDP,
∴△BQD∽△PBD，
∴,
∴PD·QD=BD2=22+22=8，
故答案为:=，8.
【点拨】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.
16．1
【分析】连接AE，先证明∠BAE的度数为定值，即∠BAE=∠BCP=45°，再根据垂线段最短，当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形，解直角三角形可得.
解：连接AE
∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形
∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°
∴ ，且∠CBP=∠ABE
∴△CBP∽△ABE
∴∠BCP =∠BAE
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠BCP=45°
∴∠BAE=∠BCP=45°
即∠BAE的度数为定值，
当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形，
因为，三角形ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，CD⊥AB
所以，AD=
所以，设AE=DE=x,则由AE2+DE2=AD2得，2x2=2,
解得x=1
所以，DE=1.
故答案为1
【点睛】此题比较综合，要熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形判定，抓住垂线段最短是关键.
17．
分析：分两种情况：①当CA⊥x轴时，根据两角对应相等的两三角形相似证明△CAD∽△ABO，得出，求出AO的值；②CB⊥y轴时，同理，可求出AO的值．
解：∵BC=AC，CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
∴AD=AB=4．
在Rt△CAD中，CD==3，
分两种情况：
①设AO=4t1时，CA⊥x轴时，A垂足，如图．
∴CA⊥OA，
∴CA∥y轴，
∴∠CAD=∠ABO．
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴Rt△CAD∽Rt△ABO，
∴，即，
解得t1=；
②设AO=4t2时，CB⊥y轴，B为切点，如图．
同理可得，t2=．
综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
18．①②④
解：∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD，故①正确；
∵△ABC∽△FCD，
∴，
∴DF=AC=AD，故②正确；
如图，过F作FG∥BC交AB于G，则
∵F是AD的中点，
∴，
∴GF=BD=BC，
∵GF∥BC，
∴，
∴EF=EC，即EF=CF，
∴EF：FC=1：3，
∴S△AEF：S△AFC=1：3，故③错误；
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠BCE=∠B，
设∠ACE=∠BCE=∠B=α，则∠ACD=2α=∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=α，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=2α，
∵△ABC中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°，
∴α+（a+2α）+2α=180°，
∴α=30°，即∠B=30°，故④正确；
故答案为①②④．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，三角形内角和及三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
19．（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；
（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．
（1）证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
．
（2）解：如图，作于．
∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFD=∠CEB，
∵∠BFD=∠CFE，
，
为等腰三角形，
，
，
∴点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
根据，即，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
20．（1）见分析；（2）16；（3）EB=EG，理由见分析
【分析】
（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可；
（2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可；
（3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
∴．
∴=16．
（3）如图2
∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴.
即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键．
21．证明见分析.
【分析】
本题要证明，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明，即可完成．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴
∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．
22．(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
【分析】
（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
23．（1）证明见分析；（2）点在中点位置时，，证明见分析．
【分析】
（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见分析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
24．（1）详见分析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【分析】
（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差证明∠BAP＝∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC是正三角形，AD是边BC上的高线，由三线合一可证△ABD≌△ACD；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因为△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）当点P在BD的中点运动到DC的中点时，利用相似三角形性质，设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：，解得，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3，所以点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三线合一可证△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3；
∴点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．