新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形第三讲三角函数与解三角形__大题备考微专题2三角形边的中线或等分线问题

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(1)若∠ADC＝，求tanB；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
4.[2023·四川成都三模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＋a＝bcsC－ccsB.
(1)求角B的大小；
(2)若D是AC边上一点，且BD＝CD＝b，求cs∠BDA.
技法领悟
解决此类问题时，一般要想到∠BDA＋∠CDA＝180°，如图所示，此时cs∠BDA＝－cs∠CDA.
[巩固训练3] 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs∠ABC.
微专题2 三角形边的中线(或等分线)问题
提分题
[例3] (1)解析：因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs∠ADB＝1＋4＋2＝7，
所以c＝.
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，得csB＝＝＝，
所以sinB＝＝.
所以tanB＝＝.
(2)解析：因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cs∠ADB＝－cs∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cs∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bcsin∠BAC
＝bc
＝bc
＝
＝，
解得bc＝4.
则由，解得b＝c＝2.
[例4](1) 解析：∵c＋a＝bcsC－ccsB，
由正弦定理有：
sinC＋sinA＝sinBcsC－sinCcsB，
∵sinA＝sin (B＋C)，
∴sinC＋sinBcsC＋sinCcsB＝sinBcsC－sinCcsB.
∴2sinCcsB＋sinC＝0.
又C∈(0，π)，∴sinC≠0.
∴csB＝－.
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2) 解析：在△BCD中，由余弦定理得：
cs∠BDC＝＝.
在△ABD中，由余弦定理得：cs∠BDA＝＝.
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴cs∠BDC＝－cs∠BDA.
即＝－，
整理得b2－c2＝2a2.
在△ABC中，由余弦定理得：
csB＝＝－.
则－＝－＝－.∴a＝c.
∴b2－c2＝6c2，即b＝c.
∴cs∠BDA＝＝.
[巩固训练3] (1)解析：证明：由题设，BD＝，由正弦定理知：＝，即＝，
∴BD＝，又b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)解析：由题意知：BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cs∠ADB＝＝，同理cs∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知：cs∠ABC＝＝，
当＝时，cs∠ABC＝>1不合题意；当＝时，cs∠ABC＝；
综上，cs∠ABC＝.