2024年新高中考试数学解答题模拟训练——概率统计（答案版）

这是一份2024年新高中考试数学解答题模拟训练——概率统计（答案版），共75页。试卷主要包含了的频率分布折线图如下.等内容，欢迎下载使用。
(1)若，求的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．
【答案】(1)20
(2)6666
【分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案.
（2）首先计算出当时，，当时，，
记，计算，从而得到的单调性，最后得到其最大值.
【详解】（1）依题意X服从超几何分布，且，
故．
（2）当时，，
当时，，
记，则
．
由，
当且仅当，
则可知当时，；
当时，，
故时，最大，所以N的估计值为6666．
2．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；
（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
（3）由（2），.
3．（2023春·江苏连云港·高二校考期中）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【答案】(1)；
(2)①，，且；②5.
【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.
（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.
【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
4．（2023·全国·高二专题练习）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.
【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于的回归方程为.
（2）解：由可得，
年利润
，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.
5．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；
（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率的分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
所以．
6．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到红球的概率更大.
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）.
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
7．（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；
(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率的分布列，由二项分布的期望公式得期望；
（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．
【详解】（1）时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
；
（2）由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
8．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)
(2)6，答案见解析
【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黑球的影响说明期望的大小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
9．（2023·全国·高三专题练习）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.
(1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；
(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；
(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
(2)分布列见解析，数学期望为；
(3)，
【分析】（1）通过题意可得列联表，计算的值，可得结论；
（2）根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在的人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望；
（3）通过题意可得满足二项分布，能得到，然后通过作商法可得到当时，，当时，，即可得到答案
【详解】（1）由题意可知，22列联表如下表
零假设为：性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列为
所以数学期望为；
（3）平均每天运动时间在的频率为，
由题意可知，
所以，
由，得，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，即取最大值时，.
10．（2023·全国·高三专题练习）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.
(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.
参考数据：，，，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，元
【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；
（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.
【详解】（1）由折线图可知：，
，
所以，，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，
则，，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.
11．（2023春·福建南平·高二福建省南平市高级中学校考期中）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，
再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
12．（2023·全国·高三专题练习）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xiyi| < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xiyi| < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.
则，
，
，
.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
另解：因为，所以.
13．（2023·全国·高三专题练习）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；
(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
【答案】(1)；
(2)90.
【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；
（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，
由题得Y可以取0，100，200，300，则
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
则Y的数学期望为．
14．（2023·高二课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
（2）

整理得，解得或，
又∵，∴；
（3）由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
15．（2023春·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；
(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；
（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.
【详解】（1）前两局和棋最后一局甲胜，.
（2）的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，
乙超快棋比赛胜概率.
，
的分布列为
.
16．（2023·江苏·高一专题练习）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；
(2)若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，根据对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等可得答案；
（2）分①出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数；②出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数；③出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，由对称性可得答案．
【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，
，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故；
（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，
①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；
②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为；
③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知，
故，而由，
可得．
17．（2023春·山西朔州·高二统考期末）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
【答案】(1)
(2)人
(3)分布列见解析，均值为
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由可知即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
所以数学期望为．
18．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】(1)；
(2)（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．
从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，
因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．
（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值
，
则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布．
（ⅰ）因为，所以．
故参赛学生中成绩超过79分的学生数为．
（ⅱ）由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为．
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，．
所以随机变量的分布列为：
均值．
19．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
【答案】(1)
(2)甲种中药药性更好
【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;
（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,
，
，
，
，
故的分布列为
所以,
设B组的积分为，则，
所以,
因为，
所以甲种中药药性更好.
20．（2023春·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.
(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
(2)假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
数学期望为.
【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写出分布列，求出期望值.
【详解】（1）设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.
事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则，
事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则；
则
（2）X的可能取值为1，2，3，4.
，，，，
所以X的分布列为：
其中.
即数学期望为.
21．（2023春·江苏·高二南京市人民中学校联考阶段练习）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．
【详解】（1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即
（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，，
所以的分布列为：
所以．
（3）由（1）得，
，
所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，，得，
所以估计在之间通过的车辆数为辆．
22．（2023·全国·高二专题练习）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）运用古典概型求概率即可.
（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望.
（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果.
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为，
所以．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望
（3）证明：由题知，
所以，
所以，
所以，
即：，
所以，
即.
23．（2023·江苏·高一专题练习）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.
【分析】（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；
（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.
【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，
平均数为：
（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，
故所求的量位于
由得
故每天应该进98千克苹果.
【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：
(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；
(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；
(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
24．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
其中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
【答案】(1)适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率
(2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析
【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.
【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
25．（2023·四川·校联考模拟预测）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有分三种情况解决.
(2)先算出一个题被答对的概率，然后再算出被甲答对的概率，然后再根据条件概率求解.
【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则
由题意可得，的取值有
则的分布列为：
所以
（2）设甲乙两组对每个问题回答正确的概率分别为，两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，
则一个题被甲小组抢到为事件，则，
设一个题答对为事件，则
该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为
26．（2023·全国·高三专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.
(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)；
(2)第9个月的月利润预报值最大
【分析】（1）根据数据与回归方程的公式进行求解，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到关于的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.
（1）
令，则，，
，，所以y关于x的回归方程为；
（2）
由（1）知：，
，令，
令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，
所以第9个月的月利润预报值最大.
27．（2023春·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附:，其中.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；
(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.
【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，
按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.
随机变量的取值为:.
,
,
随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表重的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.
28．（2023春·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
(2)根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据：，，
，
，.
【答案】(1)，
(2)30（千件）
【分析】（1）求出，根据公式计算出得线性回归方程；求出，再求得系数，，代入得非线性回归方程；
（2）根据（1）回归方程分别求得相关指数，比较可得，然后估算销售量即可．
【详解】（1）由题可得，，
， ，
所以， ，
方案①回归方程，
对两边取对数得：，令，是一元线性回归方程.
，
，
，
方案②回归方程 ；
（2）方案①相关指数；
方案②相关指数，
（有此结论即给分），
故模型②的拟合效果更好，精度更高.
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量（千件）.
29．（2023春·高二课时练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据古典概型求解即可得事件的概率，再结合二项分布的概率公式求解即可得事件的概率；
（2）设甲平台的日销售收入为，乙平台的日销售收入为，进而分别求其分布列，进而根据分布列求期望，比较期望大小即可得答案.
【详解】（1）解：令事件“甲平台日销售量不低于8件”，
则，
令事件“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，
则
（2）解：设甲平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为
所以，，
设乙平台的日销售收入为，则的所有可能取值为
所以，的分布列为：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，当时，选择甲平台；当时，甲乙平台均可；当时，选择乙平台.
30．（2023春·高二单元测试）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0
【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；
【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则
得分为的分布列用表格表示
（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为的分布列用表格表示为
31．（2023春·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【答案】(1)；
(2)；
(3)品牌商选择方案二更好.
【分析】（1）根据给定条件，求出3人都没通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
（2）求出甲、乙、丙都通过决赛的概率，再借助对立事件的概率公式计算作答.
（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的分布列，求出其期望，比较大小作答.
【详解】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
（2）设事件B表示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件C表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，事件D表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，
则，，3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事件为，
所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率．
（3）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为900，1600，2300，3000，
，，
，，
所以Z的分布列为：
则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
32．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.
(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）根据条件概率和全概率公式计算即可；
（2）分别求出,1,2,3,4时的概率，得到分布列，然后求期望即可.
【详解】（1）设事件为同学甲晩上选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，则，
，
所以，即同学甲晩上选择类套餐，中午也选择类套餐的概率为.
（2）晩上选择类套餐的概率；
晩上选择类套餐的概率.
所以4名同学在晩上有个人选择类套餐，的所有可能取值为，
则，
所以，，，，，
所以的分布列为
故.
33．（2023·广东广州·统考模拟预测）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．
(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；
(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）0.4；（ⅱ）0.62．
【分析】(1)由已知得，然后列出相应分布列即可.
(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.
【详解】（1）由题意得，，则，其中，
则X的分布列为：
则.
（2）设事件为“乙在第i次挑战中成功”，其中．
（ⅰ）设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，
则
．
即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．
（ⅱ）因为
，
且
，
所以．
即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．
34．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意可得，当取最大值时，则，
然后求解，即可得到结果；
（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得的概率，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）因为前两个矩形的面积之和为，前三个矩形面积为，
所以中位数在之间，设中位数为，
则，解得，故中位数为.
（2）由题意可得，成绩在上的概率为，则不在的概率为，
所以，即有，，
当取最大值时，则，
即，
解得，即，
且，所以.
（3）由题意可知，从6道题中选4题共有，
因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有，
所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为；
因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有,
所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；
依题可得，的可能取值为，
所以，，，
则分布列为:
则.
35．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；
(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案；
（2）分别求出乙恰好经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概率除以经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率和可得答案.
【详解】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，
则.
（2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，
则，
，
，
故在乙最后晋级决赛的前提下，
乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为.
36．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．
(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；
(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)需要对生产工序进行改良
【分析】（1）先求每个AI芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解；
（2）先求，利用导数判断单调性可求解；
（3）利用条件概率求出AI芯片的合格率，与93%比较可得结论.
【详解】（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则
.
（2）由题意，
∴
令，则，
当，，为增函数；
当，，为减函数；
所以在处取到最大值．
（3）记事件B＝“人工检测达标”，
则，
又，
所以，
所以需要对生产工序进行改良．
37．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
【答案】(1)
(2)反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
(3)见解析
【分析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，
（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果
（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论
【详解】（1）令，则可转化为，
因为，
所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为
（2）与的相关系数为
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为，所以，
因为样本标准差为，
所以，
所以非原料成本y服从正态分布，
所以
因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
38．（2023·高二课时练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望：
(3)至少要进行11轮测试
【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
(2)的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望；
(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解
【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，
其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，
则，，
所以，.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
所以
（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试
39．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；
(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布
（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；
（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.
参考数据：
①；
②若，则
【答案】(1)7.33
(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.
【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；
（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.
【详解】（1）由可得中位数在区间内，
设中位数为，则，解得；
（2）（i）由可得，
则，只；
（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，
设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，
所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.
40．（2023·全国·高二专题练习）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；
（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
X
0
1
2
3
4
5
6
P
心理价位（元/件）
90
100
110
120
人数
10
20
50
20
0
1
2
3
4
分钟
性别
（0，40]
（40，60]
（60，90]
（90，120]
女生
10
40
40
10
男生
5
25
40
30
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
不合格
合格
合计
女生
50
50
100
男生
30
70
100
合计
80
120
200
0
1
2
10
20
30
40
P
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xiyi|
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1
Y
0
100
200
300
P
0
1
2
3
P
1
2
3
4
Y
0
5
10
15
20
25
P
0
1
2
3
P
0
1
2
3
X
1
2
3
4
p
X
1
2
3
4
p
0
1
2
3
4
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天
X
1
2
P
0.1
0.9
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
月份x
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
-0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
经验回归方程
残差平方和
18.29
0.65
商品日销售量（单位：件）
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
－2
0
2
P
－4
－2
0
2
4
P
Z
900
1600
2300
3000
P
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
P
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
0
1
2
3
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83