2023-2024学年河北省石家庄市第二十八中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市第二十八中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷（ZX）
一、选择题（1－6每题3分，7－16每题2分，共16小题，满分38分）
1．一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，1B．－3，－1C．3，－1D．－3x2，－1
2．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，内接于是的直径，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2B．3C．6D．8
6．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）

A．B．C．D．2
9．课堂上丁老师带来一个立体图形的模型，嘉嘉同学从某一角度看到的形状为三角形，则这一立体图形一定不是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．棱柱D．棱锥
10．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．无实数解
11．若点，，是抛物线上的三点，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．
13．如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）．两次旋转的角度分别为（ ）

A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°
14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，. 则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
15．如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（ ）

A．①②④B．①③④C．①②③④D．①④
16．二次函数的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题（共3小题，满分10分）
17．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是 ．

18．如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．

三、解答题（共7小题，满分72分）
20．已知是方程的一个根，求代数式的值．
21．已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，的直径，求、的长．
22．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）[参考数据：，，
23．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
24．某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
(1)本次调查共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
(4)若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
(5)在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
25．某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米．
（1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）；
（2）能否建造米的活动场地？请说明理由；
（3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用）
26．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，
∴化为一般式为：-3x2+6x-1＝0
∴二次项系数和常数项分别为：-3，-1．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
2．D
【分析】本题主要考查二次函数的定义：“形如，，的函数是二次函数，”根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意；
B．，是二次函数，不符合题意；
C．，是二次函数，不符合题意；
D．，是一次函数，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查中心对称，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为．
【详解】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得
点关于原点的对称点的坐标是．
故选：D
4．C
【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出摸到白球的概率为，由此根据概率计算公式求出白球的数量，进而求出红球的个数即可．
【详解】解：由题意得，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为，
∴口袋中有白球个，
∴估计这个口袋中有个红球，
故选C．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先根据函数图象所在的象限判断出的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【详解】解：由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限，
∴，
又当时，有，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ．
点A的坐标为，
∴点C的坐标为，
故选C．
8．B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图所示：

设小正方形边长为，
，，，
，
∴是直角三角形，
在中，，
故选：B．
9．A
【分析】此题考查立体图形的视图，正确掌握各图形的特点，分别掌握从不同角度观察立体图形得到的图形形状是解题的关键．
【详解】解：A.圆柱从侧面看是长方形，从上面看是圆形，故符合题意；
B.圆锥从侧面看是三角形，故不符合题意；
C.棱柱中的三棱柱从上面看是三角形，故不符合题意；
D.棱锥从侧面看是三角形，故不符合题意；
故选：A．
10．C
【分析】先移项，再提取公因式分解因式，最后求解方程．
【详解】解：原方程变形，得，
解得，；
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．熟知二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，，是抛物线上的三点，
离对称轴的距离最远，在对称轴上，
，．
故选：．
12．B
【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．
13．A
【分析】图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB．
【详解】根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角．
14．C
【分析】利用数形结合思想，直接得出关于x的不等式的解集．
本题考查了用数形结合思想解决函数与不等式解集的方法，综合性比较强．
【详解】解：根据图象可知，
关于x的不等式的解集为或．
故答案为：C．
15．A
【分析】①连接，交于点，证明，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明，由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
【详解】解：①如图，连接，交于点，
∵正六边形中，，
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，故①符合题意；
②在正六边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②符合题意；
③∵，，，
∴与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意；
④在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故④符合题意．
故选：A．

【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
16．D
【分析】由二次函数的图象与x轴有两个公共点，则且，得到．①当时，直线与新图象恰有三个公共点时，此时直线过点B、C，故将点B的坐标代入，即可求解；②当时，直线与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点，进而求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
则且，
当时，解得，
∵a取满足条件的最小整数，而，
故，
当时，，
设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，
对于，
令，则，
解得或2，
令，则，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
由直线知，该直线过点C，
①当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过点B、C，
将点B的坐标代入得：，
解得；
②当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点，
当直线过点A、C时，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
当直线与只有一个交点时，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则，
解得，
综上，或或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式等知识点，分类求解是本题解题的关键．
17．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出，进而求出对称轴，根据对称性求出点坐标即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴关于对称轴对称，
∴对称轴为直线，
∵抛物线交轴于点，
∴；
故答案为：．
18． ##110度
【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键．
【详解】解：连接，，,
∵分别与切于点B，C，
∴，，，
在中，，
∵与相切于P，
∴，
∴的周长．
∵，，
∴，
∴，
∴优弧的度数为，
∴，
故答案为：，．
19． 12
【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案；
∴；
②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案．
故答案为：，
【详解】解：①∵在上，
∴，即，
如图，连接，过作轴于，过作轴于，

∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，
同理可得：，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，则，
解得：，即，
∴，
，
如图，过作于，

∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，而，
∴，，
∴正方形的面积．
故答案为：，
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题．
20．4
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据是方程的一个根得出，将化简为，最后将整体代入进行计算即可，根据题意得出是解此题的关键．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
．
21．(1)见解析；
(2)4；
【分析】本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
（1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论；
（2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：∵是的直径，是的弦，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，则，
∴，
∴，
∵是的直径，且，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴；
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵是的直径，，
∴．
22．河宽的长约为
【分析】根据等腰三角形的判定可得，在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴.
在中，，，，
∴，
∴，
∴.
答：河宽的长约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
23．(1)详见解析
(2)①详见解析；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答；
（2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①正明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
24．(1)300
(2)见详解
(3)120°
(4)200
(5)
【分析】（1）由国画赏析的人数除以所占的百分比，即可得到答案；
（2）利用抽取的总人数减去其他项目的人数，再补全条形图即可；
（3）先求电脑编程所占百分比，然后乘以360°，即可得到答案；
（4）先求民族舞蹈所占百分比，然后乘以1200，即可得到答案；
（5）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）；
故答案为：300；
（2）解：根据题意，
花样跳绳的人数为：（人）；
补全条形图如下：
（3）解：根据题意，
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）解：全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）；
（5）解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．
25．（1）；（2）不能，见解析；（3）10或6.4
【分析】（1）根据矩形的面积是64平方米，即可得到，即；
（2）把代入反比例解析式求出y，然后计算周长是否超过45即可得到答案；
（3）根据题意列出总费用关于x的方程求解，然后检验周长是否超过45即可得到答案.
【详解】解：（1）∵矩形体育场占地面积为64平方米，
∴．
（2）不能．
理由：把代入，得
．
周长为．
∴不能建造米的活动场地．
（3）活动场地造价为．
整理得，
解得，．
经检验，，均为原分式方程的解，且符合题意．
当时，总周长为；
当时，总周长为．
综上可得，的值为10或6.4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接OD，根据S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD计算即可．
（3）如图2中，延长FG交OB于M，只要证明△MAF≌△MGB，得FM＝BM．设M（m，0），列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．
∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝×t×1＋×t×2−×2×3＝t−3．
∴S＝x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．
∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
【点睛】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C