辽宁省辽东南2023-2024学年高二上学期12月月考数学（A）试卷(含答案)

这是一份辽宁省辽东南2023-2024学年高二上学期12月月考数学（A）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线过点,,则此直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．顶点在原点,焦点是的抛物线的标准方程是( )
A.B.C.D.
3．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( )
A.48B.54C.72D.84
4．已知点M是圆上的动点,点,则MN的中点P的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
5．已知椭圆的一个焦点为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．现安排甲,乙,丙,丁,戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译,导游,礼仪,司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲,乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.152B.126C.90D.54
7．已知双曲线的离心率为,则点到C的渐近线的距离为( )
A.B.C.D.
8．在长方体,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．满足方程的x值为( )
A.1B.3C.5D.7
10．若椭圆的焦距是2,则m的值是( )
A.3B.4C.5D.6
11．已知空间三点,,,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
12．若双曲线C过点,且它的渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为B.曲线经过双曲线C的一个焦点
C.双曲线C的离心率为D.直线与双曲线C有两个公共点
三、填空题
13．若直线与双曲线相交于两点,则______;
14．将2名教师､4名学生分成2组,分别安排到甲､乙两个基地实习,要求每组有1名教师和2名学生,则不同的安排方法有___________种
15．圆上的点到直线的距离的最大值是_______
16．已知在直三棱柱中,,,,则异面直线与AC所成角的余弦值是____.
四、解答题
17．经过抛物线焦点的直线l交该抛物线于A,B两点.
（1）若直线l的斜率是,求的值;
（2）若是坐标原点,求的值.
18．已知圆C经过两点,,且圆心C在x轴上.
（1）求圆的标准方程;
（2）已知直线l与直线AB垂直,且与圆C相交所得弦长为,求直线l的方程.
19．如图,在直三棱柱中,,,,点E,F分别为的中点.
（1）证明:平面;
（2）求与平面AEF所成角的正弦值.
20．已知双曲线的其中一个焦点为,一条渐近线方程为
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4,求直线l的方程.
21．如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面为正三角形,,平面平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F.
（1）求证:;
（2）若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为,求点B到平面AEC的距离.
22．已知椭圆C的两个焦点分别为,,短轴的两个端点分别为,.
（1）若为等边三角形,求椭圆C的方程;
（2）若椭圆C的短轴长为,过点的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意直线斜率为,所以倾斜角为.
故选:A.
2．答案：B
解析：由题意知抛物线开口向上,,,
故抛物线的标准方程是:
故选:B.
3．答案：C
解析：根据题意,现将3个乘客全排列,将有4个空隙,再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位,放入4个空隙中的两个,共有种.
故选:C.
4．答案：A
解析：设线段MN中点,则.
在圆上运动,
,即.
故选:A.
5．答案：C
解析：分析:首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为,从而求得,再根据题中所给的方程中系数,可以得到,利用椭圆中对应的关系,求得,最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详根据题意,可知,因为,
所以,即,
所以椭圆C的离心率为,故选C.
6．答案：B
解析：试题分析:根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一,②甲乙不同时参加一项工作;分别由排列,组合公式计算其情况数目,进而由分类计数的加法公式,计算可得答案.
根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:C31×A33=18种;
②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;
丙,丁,戊三人中有两人承担同一份工作,有种;
甲或乙与丙,丁,戊三人中的一人承担同一份工作:种;
由分类计数原理,可得共有种,
故选B.
考点:排列,组合的实际应用.
7．答案：D
解析：分析:由离心率计算出,得到渐近线方程,再由点到直线距离公式计算即可.
详
所以双曲线的渐近线方程为
所以点到渐近线的距离
故选D
8．答案：B
解析：如下图所示:
设,,,又,
平面,平面,平面平面.
又平面平面,过点在平面内作于点,
则的长即为点到截面的距离,在中,,,
由,可得,因此,点到截面的距离为,故选B.
9．答案：AB
解析：因为,所以或
解得:或或或,
当时,,故舍去;
当时,,故舍去;
当时,;
当时,,;
故选:AB
10．答案：AC
解析：当椭圆的焦点在x轴上时,,,.
又因为,所以.所以,
所以;
当椭圆的焦点在轴上时,,,
所以,所以.
故选:AC
11．答案：AC
解析：因为,,,
所以,,
所以,,
所以,不共线.
故选:AC
12．答案：ABD
解析：对于A:由双曲线渐近线方程为,可设双曲线方程为,
把点代入,得,即.
所以双曲线C的方程为,故A正确;
对于B:因为双曲线C的方程为,所以,
则双曲线C的焦点坐标为,
而当时,,
所以曲线经过双曲线C的一个焦点,故B正确;
对于C:由选项B可知双曲线C的离心率为,故C错误;
对于D:联立,消去x,得,
则,所以直线与双曲线C有两个公共点,故D正确.
故选:ABD.
13．答案：
解析：由消去y并整理得:,,
设,,则,,
所以.
故答案为:
14．答案：12
解析：第一步,为甲地选一名老师,有2种选法;
第二步,为甲地选两个学生,有种选法;
第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法;
故不同的安排方案共有种.
故答案为:12.
15．答案：
解析：圆心为,圆心到直线距离为,圆上的点到直线的距离的最大值为.
16．答案：
解析：
由题意得,,
,
又,,
.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）
抛物焦点是,直线l方程是,
与,联立得:,
解得,,
所以.
（2）当l垂直于x轴时,,,.
当l不垂直于x轴时,设,,,
代入得,
所以,
从而.
故,
综上.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）已知圆心C在x轴上,
故设圆的标准方程为,
因为圆C经过两点,,所以,
解之得,所以;
（2）由题意知,所以直线l的斜率为,
所以设直线l的方程为,
得圆心C到直线l的距离为,
因为直线l与圆C相交所得弦长为,所以,
所以,即,
求得或,
所以直线l的方程为或.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:连接,,
在三棱柱为直三棱柱,E为的中点,则E为的中点,
又因为F为AB的中点,所以,
因为平面,平面,所以平面.
（2）以为原点,以,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,,所以,
设与平面AEF所成角为,则.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由焦点可知,
又一条渐近线方程为
所以,
由可得,解得,,
故双曲线C的标准方程为
（2）设,,AB中点的坐标为
则①,②,
②①得:,
即,又,
所以,
所以直线l的方程为,即
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）底面为矩形,,
又平面PBC,平面PBC,平面.
又平面ADE,平面平面,
（2）如图,取AD的中点O,连接PO,过点O作交BC于点H.
侧面为正三角形,,
平面平面ABCD,且交线为AD,平面PAD,
平面ABCD底面ABCD为矩形,,.
以原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则,,,,,
,.
设,则,
.
设平面AEC法向量为,
则
令,则,平面AEC的一个法向量为.
易知是平面ABC的一个法向量.
,
解得,,.
又平面AEC的一个法向量,
点B到平面AEC的距离为
22．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）为等边三角形,则
椭圆C的方程为:;
（2）容易求得椭圆C的方程为,
当直线l的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线l的方程为,
由得,设,,
则,,
,,,
,
即
解得,即,
故直线l的方程为或.