甘肃省定西市陇西县B2片区2023—2024学年上学期九年级期末数学模拟试卷

这是一份甘肃省定西市陇西县B2片区2023—2024学年上学期九年级期末数学模拟试卷，共19页。
1．（3分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．太阳东升西落
B．圆是轴对称图形
C．任意写一个一元二次方程，该方程有解
D．钝角三角形的内角和大于180°
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝5B．（x﹣1）2＝6C．（x+1）2＝7D．（x+1）2＝6
4．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最大值是1
B．图象的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．它的图象可以由y＝﹣2x2向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当x＜2时，y随x的增大而减小．
5．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则2021+a+b＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
6．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点B．只有一个交点
C．没有交点D．无法判断
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝15°，则∠BCD的大小是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
8．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（ ）
A．4mB．6mC．8mD．10m
9．（3分）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，如果参加这次交易会的公司共有x家，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝45B．12x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45D．12x（x+1）＝45
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到△A2OP2，再将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3，再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到△A4OP4，以此类推⋯⋯，则点P2023的坐标是（ ）
A．(1，3)B．(−1，−3)C．（2，0）D．（﹣2，0）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF，连接AE，CF，则CFAE= ．
13．（3分）二次函数y=−12x2的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为 °．
15．（3分）如图所示，它是由一个“树叶”旋转了 次，分别旋转了 而得到的．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t＝ 秒时，三角形△PCQ的面积最大．
（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为 ．
三．解答题（共6小题，满分32分）
17．（4分）用配方法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
18．（4分）先化简再求值：2x−y−x+yx2−2xy+y2÷x+y3x−3y，其中x=5−2，y=5+2．
19．（5分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+14k2+1＝0．
（1）k取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．
20．（6分）已知等腰△DEF中，DE＝DF，求作△DEF的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹）
21．（6分）大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，始建于唐太宗贞观八年（634年）．小东周末乘坐公交车到遗址公园游玩，他从地图上查找路线时发现，几条线段都需要换乘一次，且在同一站点换乘．在出发站点可选择空调车A，普通车a，普通车b，换乘站点可选择空调车B，空调车C，普通车c，空调车投币2元，普通车投币1元（假设小东坐公交车时都选择投币）．
（1）求小东在出发站点乘坐普通车的概率；
（2）请你用列表或画树状图的方法，求小东到达遗址公园恰好投币3元的概率．
22．（7分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝26°，求∠DAB的度数．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．（7分）在下面坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象，并观察所画图象回答：
①抛物线与y轴交点坐标是 ；
②抛物线与x轴交点坐标是 ；
③它的对称轴是 ；
④当x满足 时，y＞0．
24．（7分）我州拥有充足的日照、优质的水源和土壤，非常利于冬草莓种植，但草莓的产量对培育技术要求很高．某基地为降低成本、提高产量，发现基地草莓的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p=−1160（t﹣h）2+0.4刻画．按照经验，基地草莓提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
（1）求h的值；
（2）写出m关于p的函数表达式；
（3）用含t的代数式表示m；
（4）天气寒冷，大棚加温可改变草莓生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天．但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：假如草莓上市售出后大棚暂停使用）
25．（8分）△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
（1）如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
（2）如图2．若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
26．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．
27．（10分）抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，−54）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，−54）的距离与到直线y=−134的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省定西市陇西县B2片区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：A选项不是中心对称图形．
故答案为：A．
2．【解答】解：A、太阳东升西落，是必然事件，故A不符合题意；
B、圆是轴对称图形，是必然事件，故B不符合题意；
C、任意写一个一元二次方程，该方程有解，是随机事件，故C符合题意；
D、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：x2+2x＝5，
x2+2x+1＝6，
（x+1）2＝6．
故选：D．
4．【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+1，a＝﹣2＜0，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最大值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小，当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；
故选项A、B的说法正确，D的说法错误；
根据平移的规律，y＝﹣2x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝﹣2（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝﹣2（x﹣2）2+1；
故选项C的说法正确，
故选：D．
5．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2021+a+b＝2021﹣1＝2020．
故选：A．
6．【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选：A．
7．【解答】解：∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠ABD＝15°，
∴∠ACD＝∠ABD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝105°，
故选：B．
8．【解答】解：根据垂径定理可知AD＝8，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：
OA2＝AD2+OD2
则102＝82+（10﹣CD）2
解得：CD＝16或4，
根据题中OA＝10m，可知CD＝16不合题意，故舍去，
所以取CD＝4m．
故选：A．
9．【解答】解：依题意得：12x（x﹣1）＝45．
故选：B．
10．【解答】解：∵边长为2的等边三角形AOP在第二象限，
∴P（﹣1，3）．
将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A1OP1，
∴P1与点P关于y轴对称，
∴P1（1，3）．
再作△A1OP1关于原点O的中心对称图形，得到△A2OP2，
∴P2与点P1关于原点对称，
∴P2（﹣1，−3）．
再将△A2OP2绕点O顺时针旋转60°，得到△A3OP3，
此时点P3落在x轴的负半轴上，
∴P3（﹣2，0）．
再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到△A4OP4，
此时点P4落在x轴的正半轴上，
∴P4（2，0）．
以此类推，则P5（1，−3），P6（﹣13），
∴P6与点P重合，
∴对应的点Pn（n大于1的整数）的坐标以（1，3），（﹣1，−3），（﹣2，0），（2，0），（1，−3），（﹣1，3）为规律循环，
∵2023÷6＝337余1，
∴P2023与P1的坐标相同，
∴P2023（1，3）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：根据题意得：a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，
解得：a＝﹣1，b＝0．
则a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：连接BD交CF于K．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠AFE＝120°，FA＝FE，
∴∠FAE＝30°，
∴∠BAE＝90°，同理可证∠AED＝∠BDE＝90°，
设FG＝CK＝a，则AF＝BC＝AB＝2a，
∴CF＝4a，AE＝2AG＝23a，
∴CFAE=423=233，
故答案为：233．
13．【解答】解：∵二次函数y=−12x2，
∴根据其图象可知二次函数y=−12x2的图象的开口向下；
二次函数y=−12x2的图象的对称轴为y轴；顶点坐标为（0，0）；当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，
故答案为：下，y轴，（0，0），＜0，＞0．
14．【解答】解：连接OC，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝100°，
∵∠1+∠BOC＝360°，
∴∠1＝260°，
∵∠A=12∠1，
∴∠A＝130°．
故答案为：130．
15．【解答】解：如图所示，它是由一个“树叶”旋转了2次，分别旋转了120°，240°而得到的．
故答案为：2；120°，240°．
16．【解答】解：（1）∵CP＝BC﹣BP＝30﹣3t，CQ＝t，
∵∠C＝90°，
∴S△PCQ=12PC•CQ=12×(30−3t)•t=−32t2+15t，
当t=−15−2×32=5时，三角形△PCQ的面积最大；
（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：
当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，
PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，
过点A作AE∥MN交BC于点E，
此时CD＝30﹣3×10＝0，
∴MD＝15﹣0＝15，
∵N是AD的中点，
∴M是DE的中点，
∴EM＝DM＝15，MN=12AE，
∴CE＝0+15+15＝30，
∴AE=302+102=1010，
∴MN＝510；
即线段PQ的中点所经过的路程长为510．
故答案为：5，510．
三．解答题（共6小题，满分32分）
17．【解答】解：2x2﹣7x+3＝0，
∴2x2﹣7x＝﹣3，
∴x2−72x=−32，
∴x2−72x+4916=−32+4916，
∴（x−74）2=2516，
∴x−74=±54，
解得：x1＝3，x2=12．
18．【解答】解：原式=2x−y−x+y(x−y)2•3(x−y)x+y
=2x−y−3x−y
=−1x−y，
将x=5−2，y=5+2代入，得：原式=−15−2−(5+2)=14．
19．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴（k+1）2﹣4×1×（14k2+1）
＝k2+2k+1﹣k2﹣4
＝2k﹣3≥0，
解得：k≥32；
（2）∵方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，
∴x1+x2＝k+1，x1•x2=14k2+1，(x1−x2)2=2，
∴(x1+x2)2−4x1x2=2，即(k+1)2−4(14k2+1)=2，
平方得：（k+1）2﹣4（14k2+1）＝4，
整理得：2k＝7，
解得：k＝3.5．
20．【解答】解：如图所示：
21．【解答】解：（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为23；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小东到达遗址公园恰好投币3元的结果有4个，
∴小东到达遗址公园恰好投币3元的概率为49．
22．【解答】解：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD=AD，∠ACD＝26°，
∴∠ACD＝∠ABD＝26°．
∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣26°＝64°．
四．解答题（共5小题，满分40分）
23．【解答】解：如图：
将x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
令0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴﹣3＜x＜1时，y＞0，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝0（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：①（0，3）；②（﹣3，0），（1，0）；③直线x＝﹣1；④﹣3＜x＜1．
24．【解答】解：（1）把（25，0.3）代入p=−1160（t﹣h）2+0.4，得：
0.3=1160（25﹣h）2+0.4，
解得：h＝29或h＝21，
∵25≤t≤37，
∴h＝29．
（2）由表格可知，m是p的一次函数，
设m＝kp+b，
把（0.2，0），（0.3，10）代入得：0=0.2k+b10=0.3k+b，
解得：k=100b=−20，
∴m＝100p﹣20．
（3）当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，理由如下：
当10≤t≤25时，p=150t−15，
∴m＝100（150t−15）﹣20＝2t﹣40；
当25≤t≤37时，p=−1160（t﹣h）2+0.4，
∴m＝100[−1160（t﹣h）2+0.4]﹣20=−58（t﹣29）2+20，
∴m=2t−40(10≤t＜25)−58(t−29)2+20(25≤t≤37)；
（4）当20≤t≤25时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000，
当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；
当25＜t≤37时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000，
∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
25．【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，
∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH=12CE＝1，EH=3，
∴BH＝BC+CH＝5，
在Rt△BEH中，BE=BH2+EH2=25+3=27；
（2）BO＝AO+CO，理由如下：
如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH＝OC，连接CH，
∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，
∴12×AE•CP=12×BD•CF，
∴CP＝CF，
又∵CP⊥AE，CF⊥BD，
∴OC平分∠BOE，
∵∠ABC+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠CBO+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠BAO+∠BAC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴OC平分∠BOE，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°，
∵HO＝CO，
∴△CHO是等边三角形，
∴CH＝HO＝CO，∠HCO＝60°＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠ACO，
∴△BCH≌△ACO（ASA），
∴BH＝AO，
∴BO＝BH+OH＝AD+CO．
26．【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
∴∠ABC＝90°，
即OBC+∠OBA＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ABP＝∠C，
∴∠OBA+∠ABP＝90°，
即OB⊥BP，
∵OB是半径，
∴PB是是⊙O的切线；
（2）解：∵PB是是⊙O的切线，点B为切点，
∴∠OBP＝90°，
在Rt△OBP中，OP＝8，OB＝4，
∴∠OPB＝30°，
∴∠POB＝90°﹣30°＝60°，
∵OP∥BC，
∴∠POB＝∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△BOC是正三角形，
∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S△OBC
=60π×42360−12×4×（32×4）
=8π3−43，
答：阴影部分的面积为8π3−43．
27．【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，−54），
∴a−b+c=025a+5b+c=0c=−54，
解得：a=14b=−1c=−54，
∴抛物线C的表达式为：y=14x2﹣x−54；
（2）如图1，作PH⊥直线y=−134于点H，作MH′⊥直线y=−134于点H′，
∵抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，−54）的距离与到直线y=−134的距离相等，
∴MQ＝MH′，
∴MP+MQ＝MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P（3，4），
∴PH＝4﹣（−134）=294，
∴MP+MQ的最小值为294；
当x＝3时，y=14×32﹣3−54=−2，
∴M（3，﹣2）；
（3）∵y=14x2﹣x−54=y=14（x﹣2）2−94；
∴抛物线对称轴为x＝2，
设点坐称为（2，m），
∵A（﹣1，0），P（3，4），D（2，m），
∴AP＝42，AD2＝9+m2，PD2＝1+（m﹣4）2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°
①当∠DAP＝90°时，AP2+AD2＝PD2，
∴（42）2+9+m2＝1+（m﹣4）2，
解得：m＝﹣3，
∴D1（2，﹣3）；
②当∠ADP＝90°时，PD2+AD2＝AP2，
∴1+（m﹣4）2+9+m2＝（42）2，
解得：m1＝2+7，m2＝2−7，
∴D2（2，2+7）；D3（2，2−7）；
③当∠APD＝90°时，PD2+AP2＝AD2，
∴1+（m﹣4）2+（42）2＝9+m2，
解得：m＝5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+7）或（2，2−7）或（2，5）．
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15