河北省邯郸市2023届高三上学期摸底考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市2023届高三上学期摸底考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.
C.D.
2．设复数,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知函数的图像在点处的切线方程是,则( )
A.B.2C.D.3
4．某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况,得到如图所示扇形统计图:
下列结论正确的是( )
A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6:5
B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6:7
C.2022年该校本科达线人数增加了80%
D.2022年该校不上线的人数有所减少
5．已知向量,,且夹角的余弦值为,则( )
A.0B.C.0或D.
6．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
7．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式,可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设a,b,c分别为内角A,B,C的对边,S表示的面积,其公式为.若,,则面积S的最大值为( )
A.B.1C.D.
8．从正方体的个顶点和中心中任选个,则这个点恰好构成三棱锥的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的局部图像如图所示,下列函数的解析式与图像符合的可能是( )
A.B.C.D.
10．已知双曲线的左,右焦点分别为,,离心率为2,P为C上一点,则( )
A.双曲线C的实轴长为2
B.双曲线C的一条渐近线方程为
C.
D.双曲线C的焦距为4
11．已知为等差数列,为其前n项和,则下列结论一定成立的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
12．如图,在正方体中,动点E在线段上,则( )
A.直线与BC所成的角为
B.对任意的点E,都有平面ACE
C.存在点E,使得平面平面
D.存在点E,使得平面平面CDE
三、填空题
13．若抛物线的准线与圆相切,则___________.
14．已知,则值为___________.
15．如图,在正四棱台中,,且四棱锥的体积为48,则该四棱台的体积为___________.
16．设函数,已知在上有且仅有3个极值点,则的取值范围是___________.
四、解答题
17．在①;
②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.
在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,___________.
（1）求角A;
（2）若,,求的面积.
18．设是等比数列的前n项和,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,数列的前n项和为,求.
19．暑假期间,某学校建议学生保持晨读的习惯,开学后,该校对高二,高三随机抽取200名学生(该学校学生总数较多),调查日均晨读时间,数据如表:
将学生日均晨读时间在上的学生评价为“晨读合格”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,依据的独立性检验,能否认为“晨读合格”与年级有关联?
（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况,现在从该校所有学生中,随机抽取2名学生,记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量,求的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD为梯形,,,,平面平面ABCD.
（1）证明:;
（2）若为正三角形,求二面角的正弦值.
21．已知椭圆的左,右焦点分别为,,上,顶点分别为M,N,的面积为,四边形的四条边的平方和为16.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若,斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点H在直线上,求证:线段AB的垂直平分线与圆恒有两个交点.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若,且,证明:有且仅有两个零点.(e为自然对数的底数)
参考答案
1．答案：C
解析：由题设,,
题图阴影部分为.
故选:C
2．答案：D
解析：,则
在复平面内对应的点为,位于第四象限
故选:D.
3．答案：D
解析：函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数,即就是切线的斜率,所以.
又,
所以.
故选:D
4．答案：C
解析：不妨设2021年的高考人数为100,则2022年的高考人数为
年本科达线人数为50,2022年本科达线人数为90,得2022年与2021年的本科达线人数比为,本科达线人数增加了,故选项不正确,选项C正确;
2021年专科达线人数为35,2022年专科达线人数为45,所以2022年与2021年的专科达线人数比为,选项B错误;
2021年不上线人数为15,2022年不上线人数也是15,不上线的人数无变化,选项错误.
故选:C
5．答案：A
解析：由已知,,,所以,即,故,且,解得或(舍去),所以
故选:A
6．答案：A
解析：因为且,充分性成立,
所以“0”是“”的充分不必要条件.
故选:A
7．答案：C
解析：由正弦定理得,得,
因为,的面积,
所以当,即时,的面积S有最大值为.
故选:C
8．答案：D
解析：从正方体的个顶点和中心中任取个,有个结果,个点恰好构成三棱锥分两种情况:
①从正方体的个顶点中取个点,共有个结果,
其中四点共面有两种情况:一是四点构成侧面或底面,有种情况,
二是四点构成对角面(如平面),有种情况.
在同一个平面的有个,构成三棱锥有个;
②从正方体的个顶点中任取个,共有个结果,
其中所取点与中心共面,则这个点在同一对角面上,共有个结果,
因此,所选点与中心构成三棱锥有个.
故从正方体的个顶点和中心中任选个,
则这个点恰好构成三棱锥的个数为,故所求概率.
故选:D.
9．答案：AC
解析：对于A:为偶函数,图像为开口向上的抛物线,,与题干图像相符;
对于B:为偶函数,但,与题干图像不相符;
对于C:,所以为偶函数.
由,当时,,单调递增,且.
记,.
记,在小于0,所以在上单调递减,而(因为),所以在上恒成立,所以在上为下凸函数.
与题干图像相符.故C正确;
对于D:为奇函数,与题干图像不相符.
故选:AC
10．答案：ABD
解析：由双曲线方程知:,离心率为,解得,故,
实半轴长为1,实轴长为,A正确;
因为可求得双曲线渐近线方程为,故一条渐近线方程为,B正确;
由于P可能在C的不同分支上,则有,C错误;
焦距为,D正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d,因为,所以,所以,则,故A正确;
因为,所以,所以,为递增数列,但不一定成立,如,,,,,,故B不正确;
因为,当且仅当时取等号,故C正确;
因为,解得,则,得,故D正确.
故选:ACD
12．答案：BC
解析：因为,所以即为直线与所成的角,,故错误;
因为⊥平面ABCD,平面ABCD,所以⊥,
又因为,,
所以平面,故平面ACE,故正确;
当点在处时,平面平面,
所以存在点E,使得平面平面,故C正确.
如图,过点E作,则MN为平面ABE与平面CDE的交线,
正方体中,平面,所以平面,所以,
,所以即为平面ABE与平面CDE所成的夹角,
方法一:因为点N一定在以BC为直径的圆外,
所以,所以不存在点E,使得平面平面CDE,故D错误.
方法二:设正方体的棱长为1,,则,,
所以,
当时,取得最大值,,此时为锐角,故D错误.
故选:BC
13．答案：或0
解析：抛物线的准线方程为,
圆的圆心为,半径,
由于圆与准线相切,
所以,
解得或0.
故答案为:或0
14．答案：
解析：令,
由的展开式的通项为,
令,得,令,得,
所以,
所以.
故答案为:
15．答案：399
解析：方法一:由题意,设点E到平面ABCD的距离为h,由四边形ABCD面积为,
得四棱锥的体积为,得.
所以棱台体积为.
方法二:由题意,设点E到平面ABCD的距离为h,由四边形ABCD面积为,
得四棱锥的体积为,得.
由棱台定义知,延长EA,FB,GC,HD交于一点,设为P,设棱锥的高为x,
则棱锥的高为,由三角形相似可得,得,
于是棱台体积.
故答案为:399
16．答案：
解析：
,
当时,,
令,则,
作出函数的图象如图所示:
由于函数在上有且仅有个极值点,
则,解得.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）选择①:因为,
由余弦定理可得,
所以结合正弦定理可得.
因为,则,
所以,即,
因为,所以;
选择②:因为,
由正弦定理得,
由余弦定理得.
因为,所以;
（2）由（1）知,又已知,,
由余弦定理得,,
即,所以,
所以的面积为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设等比数列的公比为q,显然,
由,,
相除可得,解得,所以,
所以数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,即;
（2）由（1）得:,
所以①,
②,
②①得:,
所以.
19．答案：（1）列联表见解析,依据的独立性检验不能认为“晨读合格”与年级有关联;
（2）分布列见解析,数学期望为.
解析：（1）列联表如下:
,
所以依据的独立性检验,不能认为“晨读合格”与年级有关联.
（2）由题设,学生晨读合格的概率为,易知,
所以,,,
的分布列为
所以.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:由题意,设,又,,
得,又,
所以,所以,
又平面平面,且平面平面ABCD,平面ABCD,
所以平面PCB,
又平面PCB,所以;
（2）方法一(向量法):取BC的中点O为坐标原点,以OP的方向为z轴正方向,过点O分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴,建立如图所示空间直角坐标系,
由为正三角形,,得,
则,,,,
则,,,
设为平面ABP的法向量,则有,
即,可取,
设为平面ACP的法向量,
同理
所以,
设二面角的平面角为,
则,
故二面角的正弦值为.
方法二(几何法):如图,取PA的中点M,连接CM,在平面PAB中作,连接CN,
由（1）知,又为正三角形,
所以,所以,
所以,又,
所以为二面角的平面角,
因为平面PCB,平面PCB,所以,
所以,,
在中,,,
所以,
所以,,,,
在中,,
所以,
在中,,
所以,
即二面角的正弦值为.
21．答案：（1）或
（2）证明见解析
解析：（1）由的面积为,得,
又四边形的四条边的平方和为16,
所以或,
即椭圆C的方程为或.
（2）设,,由于,得椭圆C的方程为,
设直线l的方程为,
当斜率时,线段AB的中点H在y轴上,不在直线上,故,
由,得,
由,
得.
由,
设线段AB的中点H为,得,
即,
所以.
所以线段AB的垂直平分线的方程为.
即,
故线段AB的垂直平分线恒过点.
因为,
故点在圆内,
所以线段AB的垂直平分线与圆恒有两个交点.
22．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得函数的定义域为,
当时,令,得,
所以在上单调递增;
令,得,
所以在上单调递减;
当时,因为恒成立,
所以在上单调递增;
（2）,
令,则在时恒成立,
所以在时单调递增,且,
所以有两个零点等价于有两个零点.
因为,由（1）知,在上单调递增,在上单调递减,
所以,
因为,所以.
下面证明当时,,
设,则,
令,又,
当时,恒成立,
所以单调递增,
得,
故在上单调递增,
得,即,
又因为,
所以在,上各存在一个零点,
所以时,函数有且仅有两个零点,
即当时,函数有且仅有两个零点.
日均晨读时间/分钟
人数
5
10
25
50
50
60
项目
晨读不合格
晨读合格
合计
高二
高三
15
100
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
项目
晨读不合格
晨读合格
合计
高二
25
75
100
高三
15
85
100
合计
40
160
200
0
1
2
P