北京市通州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份北京市通州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回，下列关于二次函数的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ）
A．内B．上C．外D．无法确定
3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，点A，B，C在上，是等边三角形，则的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
5．如图，在方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点P所在的格点为（ ）
A．B．C．D．
6．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小D．当时，y有最大值为0
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若的面积为9，则的面积为（ ）
A．18B．27C．36D．45
8．兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是______（结果保留π）．
10．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则______．
第10题
11．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为______米．
第11题
12．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为8米，轮子的半径AO为5米，则轮子的吃水深度CD为______米．
第12题
13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在______Ω．
第13题
14．如图，AB为的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与相切于点C，D，若，则的度数为______．
第14题
15．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF面积为1，则阴影部分的面积之和为______．
第15题
16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若，，则我们把叫做点P的“角坐标”．
（1）点的“角坐标”为______；
（2）若点P到x轴的距离为2，则的最小值为______．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．．
18．如图，在中，，，．求AC的长和的值．
19．已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
20．如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，求AB的长．
21．无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离．
22．下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，．
求作：直线BD，使得．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交劣弧于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
图1 图2
∵点A，B，C，D在上，，
∴______．
∴（ ）（填推理的依据）．
∴．
23．如图，中，，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．
（1）求证：点D为AB的中点；
（2）求证：．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点是．
（1）求m和k的值；
（2）设点P是双曲线上一点，直线AP与x轴交于点B．若，结合图象，直接写出点P的坐标．
25．如图，点C在以AB为直径的上，CD平分交于点D，交AB于点E，过点D作交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是的切线；
（2）若，，求DF的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若，，则______；（用“”填空）
（3）若对于，，都有，求m的取值范围．
27．如图，中，，，点D在AB的延长线上，取AD的中点F，连结CD、CF，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连结AE、BE．
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断BE、CF的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，的半径为1．给出如下定义：过外一点P做直线与交于点M、N，若M为线段PN的中点，则称线段PN是的“外倍线”．
（1）如图1，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______；
（2）的“外倍线”PN与直线交于点P，求点P纵坐标的取值范围；
（3）如图2，若的“外倍线”PN，N的坐标为，直线与线段PN有公共点，直接写出b的取值范围．
图1 图2
通州区2023-2024学年第一学期九年级期末质量检测
数学试卷参考答案及评分标准
2024年1月
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9． 10． 11．4 12．2 13． 14．50° 15．6 16．（1）（2）90
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解：原式…3分
…5分
18．解：在中，，，
∴…2分
∴…3分
∴…5分
19．解：（1）∵二次函数图象经过点和
∴该二次函数图象的对称轴为直线…2分
（2）由题意可知：二次函数图象的顶点坐标为…3分
∴设该二次函数表达式为：
将点代入得：
∴…4分
∴…5分
20．解：在中，，，
∴…1分
∴…2分
∵AD平分，∴…3分
在中，，∴．…5分
21．解：过点A作于点D…1分
∴，，
在中，…2分
在中，…3分
∴．…4分
答：小山两端B，C之间的距离为米…5分
22．（1）
…3分
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在上，，
∴．…4分
∴（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．…5分
∴．
23．（1）证明：连结CD…1分
∵BC为半圆的直径，∴…2分
∴，
∵，∴点D为AB的中点…3分
（2）方法一：
证明：∵，∴，
∵四边形BCED为圆内接四边形，∴…4分
∴…5分
∴．…6分
方法二：证明：连结DO，EO，
∵，，∴…4分
∵，，
∴．∴，∴．…5分
∵，∴．…6分
24．解：（1）∵直线与双曲线的一个交点是，
∴把点代入中，得，…1分
∴把点代入，得，．…2分
（2）点或．…6分
25．（1）证明：连结OD
∵AB为的直径，∴
∵CD平分，∴…1分
∴…2分
∵，∴，∴
∴直线DF是的切线．…3分
（2）解：在中，，，
∴，…4分
∴，
∵
又∵，∴…5分
在中，．…6分
26．解：（1）∵…1分
∴抛物线顶点坐标为．…2分
（2）．…3分
（3）∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，…4分
∵抛物线开口向上，，∴，
∴，解得．…6分
27．（1）如图⋯1分
（2），
证明：取AC中点M，连结FM
∵F为AD中点，∴，，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，∴，
∵，∴，
∴…2分
∵，∴，
∴，
∵，∴…3分
∴…4分
∴，…5分
∵，∴，∴
∴…6分
∴．…7分
注：方法不唯一，酌情给分
28．解：（1），．…2分
（2）由题意，可得．
∵，∴．
如图，当且点P在直线上时，
∵，∴．
结合图形，点P的纵坐标取值范围为．…5分
（3）．…7分x
…
-3
-2
-1
1
3
4
…
y
…
12
5
0
-4
0
5
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
C
C
C
A