昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试卷含答案

这是一份昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了在中，点满足，则等内容，欢迎下载使用。
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为，则
A．B．C．D．
4．在中，点满足，则
A．B．
C．D．
5．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是
A．若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B．若该八名选手成绩的众数仅为，则
C．若该八名选手成绩的极差为，则
D．若该八名选手成绩的平均数为，则
6．已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，
，且，则
A． B． C． D．
7．若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”，则
A．B．C．D．
8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，则
A．B．与平面所成的角为 C．D．平面
10．已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则
A．直线的斜率为1B．四边形的面积为
C．D．
11．古希腊数学家托勒密（Ptlemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为．例如圆
心角所对弦长等于60个度量单位，即．则
A．
B．若，则
C．
D．（）
12．已知函数，则
A．当时，有2个零点
B．当时，有2个零点
C．存在，使得有3个零点
D．存在，使得有5个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角
终边上，且，则的值可以是 .（写一个即可）
14．春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为 .（用数字作答）
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 ．
16．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在中，，，.
（1）求的面积；
（2）如图，，，求.
18．（12分）
记为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
求数列的前项和.
19．（12分）
如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由．
20．（12分）
聊天机器人（chatterbt）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
21．（12分）
已知是椭圆的右焦点，点在不过原点的直线上，交于，两点.当与互补时，，.
（1）求的方程；
（2）证明：为定值.
22．（12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试
数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
三. 填空题
13. （,,均可） 14. 15. 16.
17．解：（1）因为，所以 ，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，解得.
又因为，
所以. ………………………5分
（2）由（1）可知，，因为，所以，
又因为，即，故，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得. ………………………10分
18．解：（1）当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即. ……………………6分
（2）由题意，，则，
记数列的前项和为，
所以. …………………12分
19．解：（1）证明：因为，是的中点，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面． ………………………………6分
（2）存在点满足条件，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，
，，
设平面的法向量为，
则令得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由已知得，即，解得，即，
所以存在点使平面与平面的夹角为，此时． …………12分
20．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
. ……6分
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，. ……………………………12分
21．解：（1）因为与互补，所以与关于轴对称，
所以轴，又因为直线过，故的方程为.
设在第一象限，因为，则，
设为的左焦点，则，故，即,
因为在上，，解得，
所以的方程为. ……………………………6分
（2）设，，直线，
联立得，
，，
所以， …………………………9分
故，
所以为定值. …………………………12分
22．解：（1）函数的定义域为，
.
①当时，令，得，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，得或.
ⅰ）当时，则当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减.
ⅱ）当时，当时，，所以在上单调递增.
ⅲ）当时，则当或时，；当时，，所以 在和上单调递增，在上单调递减. ……………………6分
（2）当时，令，则，时，，则，故，则，故当时，.
所以当时，，解得，
由（1）可知，当时，在上的极小值为，
由题，则有，解得.
当，解得，
= 1 \* GB3 ①当时，，，符合题意；
= 2 \* GB3 ②当时，，，符合题意.
综上，当时，恒成立. ………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
C
A
B
B
D
AB
AC
BCD
BCD