2024镇江一中高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024镇江一中高一上学期12月月考试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、单选题 (本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
1. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
2. 命题“”的否定是 （ ）
A.
B.
C.
D.
3. 若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A. 或 3B. 1 或C. D. 3
4. 已知 ，则 的大小关系为 （ ）
A
B.
C.
D.
5. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)
A. 70B. 80C. 90D. 100
7. 已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题 (本题共 4 小题,在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.)
9. 下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
D. 若是第一象限角，则是第一或第二象限角
10. 下列函数中，最小值为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A
B.
C. 存在实数使得
D.
12. 已知函数 ，则方程实数根的个数可以为 （ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
三、填空题：（本题共 4 小题.)
13. 已知，则__________．
14. 函数 在区间 上单调递增，则实数 取值范围是________
15. 已知一个函数解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个.
16. 若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________.
四、解答题 (本题共 6 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17. 化简求值:
（1）.
（2）.
18. 已知是第二象限角，且____________ . 从下面三个条件中选一个解答;
①
②
③
（1）求和.
（2），求的值.
19. 已知函数.
（1）求不等式的解集.
（2）记，对，总使得成立，求实数的取值范围.
20. 已知函数 :
（1）讨论函数 奇偶性.
（2）若 为偶函数，方程 在 上有实根，求实数的取值范围.
21. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
22. 已知奇函数和偶函数 满足：.
（1）分别求出函数和的解析式.
（2）若，对恒成立，求实数的取值范围.
（3） 若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围.
高一年级 12 月学情调查
数学试题
一、单选题 (本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
1. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先确定出集合中元素个数，然后可求子集个数.
【详解】因为，集合中有个元素，
所以子集个数个，
故选：C.
2. 命题“”的否定是 （ ）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：“修改量词，否定结论”，由此得到结果.
【详解】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，
可知“”的否定为“”，
故选：B.
3. 若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A. 或 3B. 1 或C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，
则，则或，
当，，不符合题意，
当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则；
故选：D.
4. 已知 ，则 的大小关系为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的单调性求解和求解三角函数和指数的值
【详解】,
,
,
因为，所以,
所以.
故选：A
5. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案.
【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角，
所以.
，即.
故选：C.
6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)
A. 70B. 80C. 90D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.
【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，
两边同时取对数，化简得，
所以，即.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.
故选：B.
7. 已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据题意求得函数的性质，从而得解.
【详解】依题意，令，则的定义域为，
因为是定义在上的奇函数， 所以，
所以函数是定义在上的偶函数，
因为对，且有，
所以在上单调递增，所以当时，，
当时，则有，
所以，即，
又，所以在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递减，
因为，所以，
所以由，得，则，
所以，解得.
故选：D.
8. 设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件将问题转化为在上的值域为，然后结合的图象分析出所满足的不等关系，由此求解出结果.
【详解】因为在上的值域为，
将问题转化为在上的值域为，
且开口向上对称轴为，，如下图所示：
由图象可知：，解得，
故选：B.
二、多选题 (本题共 4 小题,在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.)
9. 下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
D. 若是第一象限角，则是第一或第二象限角
【答案】BC
【解析】
【分析】根据弧度、角度关系判断A；同角三角函数关系化简判断B；弧度表示角度，利用弧长公式求半径，再由扇形面积公式求面积判断C；根据已知求得，，即可判断D.
【详解】A：，错；
B：，对；
C：由，则半径，扇形面积为，对；
D：由题设，，则，，
所以是第一或第二象限角或轴线角，错.
故选：BC
10. 下列函数中，最小值为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式分析各选项的最值，注意“一正、二定、三相等”的判断，由此可得结果.
【详解】对于A：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B：当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，故B错误；
对于C：由条件可知，
所以
所以，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当时取等号，此时，
所以上式等号取不到，故D错误；
故选：AC.
11. 若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 存在实数使得
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意得，，从而结合各选项的要求和函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数图象上任意一点关于对称点为，
所以，又可知.
对于A：，即，故A正确；
对于B：，即，故B错误；
对于C：当时，，即，故C正确；
对于D：由知，即，解得，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数 ，则方程实数根的个数可以为 （ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，分别讨论，，，或，方程的实数根个数，从而可得答案.
【详解】设，则，则，
画出函数的图象，
①若时，方程没有实数根，
②若时，方程有个实数根，或，
当时，函数的图象与直线没有交点，
当时，函数的图象与直线有4个交点，
所以时，方程实数根的个数为.
③若时，方程有个实数根，
令，解得：或，
由图象观察可知，，，，，
函数的图象分别与直线有个交点，
所以若时，方程实数根的个数为.
④若时，函数有个实数根，
则或或或，
函数的图象分别与直线有个交点，
所以若时，方程实数根的个数为.
⑤若时，方程有个实数根
由图象观察可知，，，，
函数的图象分别与直线有个交点，
所以若时，方程实数根个数为.
故选：ACD.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，分类讨论的范围，画出函数的图象，结合图象求解.
三、填空题：（本题共 4 小题.)
13. 已知，则__________．
【答案】.
【解析】
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可求得式子的值．
【详解】∵，∴ .
故答案为：.
14. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数定义并结合对数的真数要大于，即可求解.
【详解】由题意得在区间上单调递增，
因为在其定义域上是增函数，
所以在区间上单调递增且，
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个.
【答案】9
【解析】
【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案.
【详解】一个函数的解析式为，它的值域为，
则必取，至少取一个，至少取一个，
这样函数的定义域可为共9 个，
则这样的函数共有个.
故答案为：.
16. 若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据必要性，最值定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出．
【详解】设，，，
因为函数在 的最大值为2，，
所以，解得：，
当时，函数在上先递减再递增，
而，
所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意；
当时，函数在上递减，所以，
而，所以函数在 的最大值为2，符合题意，
综上，．
故答案为：
四、解答题 (本题共 6 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17. 化简求值:
（1）.
（2）.
【答案】（1）15 （2）0
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算以及用诱导公式求特殊角的三角函数值，由此求解出结果；
（2）根据对数的运算法则和性质求解出结果.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
.
18. 已知是第二象限角，且____________ . 从下面三个条件中选一个解答;
①
②
③
（1）求和.
（2），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择对应序号，然后用诱导公式求解出的值，再根据所在象限结合平方关系可求，则由商数关系可求；
（2）先根据诱导公式化简，然后由化简结果可求的值.
【小问1详解】
若选①：已知得，且在第二象限，所以，
所以，；
若选②：已知得，且在第二象限，所以，
所以，；
若选③：已知得，且在第二象限，所以，
所以，；
【小问2详解】
因为，
所以.
19. 已知函数.
（1）求不等式的解集.
（2）记，对，总使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义域和单调性列不等式组即可得到答案；
（2）由对数的运算性质得，又，总使得成立等价于值域值域，然后求的值域，并得，从而分离参数即可得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，易知函数在上是增函数.
由得，即，
由函数的定义域和单调性可得，解得.
故不等式的解集为.
【小问2详解】
(2)因为,对,总使得成立，等价于值域值域.
函数的单调性可知，时，的值域为，
所以，即在恒成立，
分离参数得，
又易知与在均为减函数，
所以的最大值为；的最小值为，
所以.
故实数的取值范围.
20. 已知函数 :
（1）讨论函数 的奇偶性.
（2）若 为偶函数，方程 在 上有实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和增函数的性质，可得实数的取值范围．
小问1详解】
由 ，则 ，
当 ，即，
即时，函数为偶函数，
当，即，
即 时，函数为奇函数；
当且，
即 时，函数为非奇非偶函数.
综上:当 时，函数为偶函数；
当 时，函数为奇函数；
当 时，函数为非奇非偶函数.
【小问2详解】
当为偶函数时，，即，
由方程 ，即
，
令，在 单调递增，
又是偶函数得，则
因为方程在上有实根，
则方程在上有实根，
即有解，
因为在上是增函数，
所以，所以.
21. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】（1）100 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 ,
整理得 , 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
【小问2详解】
由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 ,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
22. 已知奇函数和偶函数 满足：.
（1）分别求出函数和的解析式.
（2）若，对恒成立，求实数的取值范围.
（3） 若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用替换条件等式中的得，与 联立结合奇偶函数的性质即可得出答案；
（2）令，由题意分离参数可得，再由基本不等式的性质即可得出答案；
（3）由题意可得，令，则，即，再求的最小值，解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
用替换条件等式中的得，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，，所以，
与 联立可得: .
【小问2详解】
在上单调递增，
，
即 在恒成立.，令，则，
即，
整理得，
当且仅当，即 ，即 时，等号成立，
所以.
【小问3详解】
由题意，
令，因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
又因为对任意都有，
当时，恒成立，满足题意；
当时，察函数在递增，
所以，即 ；
当时，函数在上递减，
所以，即 ；
综上，实数的取值范围为.