2022-2023学年安徽省亳州市涡阳一中高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省亳州市涡阳一中高二（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知点A（m，n）在焦点为F的抛物线x2＝4y上，若|AF|＝3，则m2＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
2．（5分）中国空间站（ChinaSpaceStatin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
3．（5分）已知函数f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线y2＝8x上任意一点M到准线l的距离为d，则d+|MA|的最小值为（ ）
A．2B．2C．2D．2
4．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，分别取棱AA1，A1D1的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面ACD1的距离为（ ）
A．B．C．1D．
5．（5分）直角坐标平面内，与点A（﹣1，1）的距离为2（2，5）的距离为3的直线的条数为（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．（5分）在展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．常数项为﹣160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
7．（5分）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22023
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为（ ）
A．B．9C．18πD．40π
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的有（ ）
A．两平行线3x+4y+5＝0、3x+4y﹣5＝0间的距离为2
B．过点（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C．直线3x+4y+5＝0的方向向量可以是
D．直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a＝﹣1或2
（多选）10．（5分）已知过点P（4，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为4
B．|AB|的最小值为2
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，过F的直线与抛物线交于A，M为A，B的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与x＝﹣2相离
B．当，AB＝9
C．AB最小值为8
D．M的坐标可为（6，4）
（多选）12．（5分）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，过F1作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若2|＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点F2到直线l的距离为a
B．双曲线C的标准方程为
C．双曲线C的离心率为
D．△PF1F2的面积为18
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内 ．
14．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1（包括两个端点）上的动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为 ．
15．（5分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y＝x上（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，则直线l的方程为 ．
16．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（结果用数字表示）
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，且圆心C在直线l上．
（1）若圆心C的坐标为（3，2），过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCDAD，∠BAD＝∠ABC＝90°
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
21．（12分）已知椭圆的焦距为2，离心率．
（1）求C的方程；
（2）过点F（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若
22．（12分）已知椭圆与直线有且只有一个交点1，F1分别为椭圆的上顶点和右焦点，且|B1F1|＝2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l不经过点B1且与椭圆交于M，N两点，当直线B1M，B1N的斜率之和为时，求证：直线l过定点．
2022-2023学年安徽省亳州市涡阳一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知点A（m，n）在焦点为F的抛物线x2＝4y上，若|AF|＝3，则m2＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可．
【解答】解：∵抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣8，
∵|AF|＝3，∴n﹣（﹣1）＝6，
又点A（m，n）在物线x2＝4y上，
所以m6＝4n＝4×8＝8，
故选：B．
【点评】根据抛物线的性质，方程思想即可求解．
2．（5分）中国空间站（ChinaSpaceStatin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
【分析】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得．
【解答】解：由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种，分人数为1﹣6﹣3的三组种；
第二种，分人数为2﹣2﹣6的三组种；
所以不同的安排方法共有360+90＝450种．
故选：A．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
3．（5分）已知函数f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线y2＝8x上任意一点M到准线l的距离为d，则d+|MA|的最小值为（ ）
A．2B．2C．2D．2
【分析】求出A的坐标，利用抛物线的定义，可得当F、A、M三点共线时，d+|MA|取得最小值为|AF|，即可得出结论．
【解答】解：当x+2＝0，解得x＝﹣5，
故A（﹣2，2），
由题意得F（7，0），
利用抛物线的定义，可得当F、M，
d+|MA|取得最小值为|AF|＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义和性质的应用，解答的关键利用是抛物线的定义，体现了转化的数学思想．
4．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，分别取棱AA1，A1D1的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面ACD1的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】利用等体积法或向量法进行计算即可求解．
【解答】解：如图所示，∵点E1，A1D4的中点，
∵该正方体的棱长为2，∴，
∴EF∥平面ACD7，
∴点G到平面ACD1的距离即为点E或F到平面ACD1的距离，
∵△ACD2为等边三角形，∴，，
设F到平面ACD7的距离为d，
∵，
∴，解得．
故选：D．
【点评】本题考查等体积法求点面距，属中档题．
5．（5分）直角坐标平面内，与点A（﹣1，1）的距离为2（2，5）的距离为3的直线的条数为（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】将问题转化为求以点A（﹣1，1）为圆心，以2为半径的圆和以点B（2，5）为圆心，以3为半径的圆的公切线的条数求解．
【解答】解：到点A（﹣1，1）距离为5的直线可看作以A为圆心2为半径的圆的切线，
同理到点B（2，2）距离为3的直线可看作以B为圆心3为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有5条．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6．（5分）在展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．常数项为﹣160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
【分析】利用题中的条件表示出展开式的通项，即可解出．
【解答】解：展开式的通项为，r＝0，1，…，4，
由2r﹣6＝6，得r＝3＝﹣160；
由通项公式可得r为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，，，，可知第5项的系数最大；
展开式共有7项，所以第7项二项式系数最大；
令x＝1，得＝1，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
7．（5分）已知，下列命题中，不正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22023
B．展开式中所有偶数项系数的和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为
D．
【分析】根据二项式系数的和即可判断A；分别令x＝1，x＝﹣1，即可判断BC；令即可判断D．
【解答】解：对于A，二项式（1﹣2x）2023展开式中所有项的二项式系数的和为62023，A正确；
对于B，令x＝1，a0+a6+a2+a3+…+a2023＝﹣7，
令x＝﹣1，则，
两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为，B不正确；
对于C，由选项B知，C正确；
对于D，令x＝00＝2，
令，则，
所以，D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理，赋值法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为（ ）
A．B．9C．18πD．40π
【分析】首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．
【解答】解：如图所示：
三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，
M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，
则：当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，
由于：PA⊥平面ABC，
所以：PA2+AM2＝PM3，
解得：AM＝1，
所以：BM＝，
则：∠BAM＝60°，
由于：∠BAC＝120°，
所以：∠MAC＝60°
则：△ABC为等腰三角形．
所以：BC＝2，
在△ABC中，设外接圆的直径为2r＝，
则：r＝7，
所以：外接球的半径R＝，
则：S＝，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的有（ ）
A．两平行线3x+4y+5＝0、3x+4y﹣5＝0间的距离为2
B．过点（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C．直线3x+4y+5＝0的方向向量可以是
D．直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a＝﹣1或2
【分析】计算平行直线的距离得到A正确；
截距相等的直线有y＝x和y＝﹣x+2，B正确；
直线的一个方向向量是＝（﹣4，3），C错误；
当a＝2时，两直线重合，D错误．
【解答】解：对于A，两平行线3x+4y+5＝0＝2；
对于B，过点（6，B正确；
对于C，直线3x+4y+5＝0的一个方向向量是，3）；
当a＝3时，两直线重合；
故选：AB．
【点评】本题考查了两条平行线间的距离，直线的截距式方程，直线的方向向量，两直线平行关系的判定，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知过点P（4，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为4
B．|AB|的最小值为2
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为
【分析】求得圆C的圆心坐标为C（3，3），半径为r＝2，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解．
【解答】解：由题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为C（5，3），
又由点P（4，8）在圆C内部，
因为过点P（4，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）4＝4交于A，B两点，
所以|AB|的最大值为2r＝3，所以A正确；
因为，
当直线l与PC垂直时，此时弦|AB|取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线l与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值，
且最大值为，所以C正确；
由，可得kOC⋅kPC＝﹣4，即OC⊥PC，
所以△POC的面积为，所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，三角形面积公式，圆的几何性质，属中档题．
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，过F的直线与抛物线交于A，M为A，B的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与x＝﹣2相离
B．当，AB＝9
C．AB最小值为8
D．M的坐标可为（6，4）
【分析】由题意可得p＝4，由抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD；由抛物线的通径可判断C．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞4）的焦点F到准线的距离为4，
所以p＝4，
所以抛物线y4＝8x，抛物线的准线方程为x＝﹣2，8），
设A（x1，y1），B（x3，y2），M（x0，y6），
对于A：由抛物线的定义易知：2（x0+3）＝x1+2+x6+2＝|AF|+|BF|＝|AB|，
所以以AB为直径的圆与x＝﹣2相切，故A错误；
对于B：由得k4x2﹣（4k2+8）x+4k6＝0，
则，
如图，过点A，垂足分别为A1，B2，过B作BD⊥AA1，垂足为D，
由得|AF|＝3|FB|＝2t1D|＝|BB4|＝|FB|＝t，|AA1|＝|AF|＝2t，|AD|＝|AA7|﹣|A1D|＝2t﹣t＝t，，
所以，
所以，故B正确；
对于C：当AB为抛物线的通径时，|AB|min＝8，故C正确；
对于D：令，解得k＝±1，
所以当k＝±l时，，
，
当k＝8时，则有y0＝4，即M（7，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，过F1作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若2|＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点F2到直线l的距离为a
B．双曲线C的标准方程为
C．双曲线C的离心率为
D．△PF1F2的面积为18
【分析】取渐近线为，则F1到渐近线的距离为b，作F2G⊥l于点G，易得|F2G|＝2|OH|＝2a；联立与|PF1|﹣|PF2|＝2a即可求出双曲线C的标准方程与离心率；再利用△PF1F2的面积为，即可求出△PF1F2的面积．
【解答】解：∵F1（﹣c，0），F6（c，0），
则F1到渐近线的距离为b，
∴|F7H|＝b，，作F2G⊥l于点G，如图所示，
∵OH∥F2G，O为线段F1F4的中点，
∴|F2G|＝2|OH|＝2a，H为线段F1G的中点，
∴F2到直线l的距离为3a，故A错误；
∵，∴|F5H|＝|GH|＝|GP|＝b，
∵|PF2|＝5，∴|PF3|＝2a+5＝6b，
在Rt△PGF2中，，即b2+4a8＝25，
∴，解得a＝2或，
∴b＝3，，∴双曲线C的标准方程为，
∴离心率，故B；
∵|PF1|＝8b＝9，|F2G|＝7a＝4，
∴△PF1F3的面积为＝＝18．
故选：BCD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，“焦点三角形“面积的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内 11 ．
【分析】本题利用共面定理可以解答，即若空间中四点P，A，B，C，满足 ，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解．
【解答】解：由共面向量定理，可设，y∈R
（x﹣4，﹣2，8，﹣2）+z（﹣1，4，得方程组：得
故答案为：11
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容，考查了向量相等的性质．
14．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1（包括两个端点）上的动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为 2． ．
【分析】以E为原点，EA、EC为x、y轴，建立空间直角坐标系，建立直线BD与EF所成的角为θ，由csθ＝＝，由此能求出BD．
【解答】解：以E为原点，EA、y轴，如图所示，
由题意得E（0，0，3），，2），﹣7，D（0，t，（﹣1≤t≤3），
＝（，，2），，t+5，
设直线BD与EF所成的角为θ，
则csθ＝＝＝，
解得t＝1，∴BD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y＝x上（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，则直线l的方程为 x﹣2＝0或4x+3y﹣2＝0 ．
【分析】由已知求出圆C的标准方程，利用直线与圆的位置关系结合勾股定理，可得圆C的圆心到直线l的距离d＝1，分类讨论直线l的斜率存在和不存在两种情况，利用点线距公式列方程求出直线的斜率，可得直线l的方程．
【解答】解：设圆C的圆心坐标为（a，a），
则根据题意可得，
解得a＝2，∴r＝2，
∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
设圆C的圆心（1，1）到直线l的距离为d，
则，解得d＝1，
①若直线l的斜率不存在，则d＝3，此时直线的方程为x﹣2＝0；
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y+5＝k（x﹣2），
则，解得．
故答案为：x﹣2＝5或4x+3y﹣8＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．
16．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为 13 ．
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答】解：圆C1：（x+4）8+y2＝4的圆心为（﹣8，0）1＝7；
圆C2：（x﹣4）8+y2＝1的圆心为（4，0）2＝8，
设双曲线x2﹣＝4的左右焦点为F1（﹣4，3），F2（4，2），
连接PF1，PF2，F2M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|5＝（|PF1|2﹣r52）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF2|2﹣4）﹣（|PF6|2﹣1）
＝|PF4|2﹣|PF2|7﹣3＝（|PF1|﹣|PF8|）（|PF1|+|PF2|）﹣5
＝2a（|PF1|+|PF4|﹣3＝2（|PF8|+|PF2|）﹣3≥6•2c﹣3＝3•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号．
故答案为：13．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（结果用数字表示）
【分析】（1）分捆绑法2步进行分析：①、先把三个女生看成一个整体，考虑其之间的顺序，②将这个整体与五个男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）用插空法分析：①、先把五个男生排好，分析其空位的数目，②、再把三个女生插入这六个位置中，由分步计数原理计算可得答案；
（3）分2步进行分析：①、在5个男生中挑选2个安排在两端，②、将其余6人全排列，安排在其他位置，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、因为三个女生必须排在一起，三个女生之间又都有，
②、这个整体同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有．
因此共有种不同的排法；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、先把五个男生排好种不同排法，加上两边两个男生外侧的两个位置，
②、再把三个女生插入这六个位置中，有，
所以共有种不同的排法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、因为两端不能排女生，有种不同排法，
②、将其余6人全排列，有种排法，
所以共有种不同的排法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，关键是掌握特殊问题的处理方法．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，且圆心C在直线l上．
（1）若圆心C的坐标为（3，2），过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【分析】（1）根据圆心与半径得到圆C的方程，设出切线方程为y＝kx+3，利用圆心到切线的距离1，解出k的值即可得切线方程；
（2）由MA＝2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，易知圆C与圆D相交或相切，由此得到关于圆心距CD的不等关系式，求其解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）∵圆心的坐标（3，2），
∴圆的方程：（x﹣6）2+（y﹣2）5＝1，
由题意易知切线斜率存在，设切线的方程为y＝kx+3，
∴切线到圆心的距离d＝2，
∴，
∴，
∴9k6+6k+1＝7+k2，
∴8k2+6k＝0，
∴k＝3或，
∴切线为y＝3或，
即切线的方程为y＝3或3x+8y﹣12＝0；
（2）因为圆心C在直线l：y＝2x﹣6上，故C（a，设点M（x，
由MA＝2MO，得，化简得：x2+（y+3）2＝4，
∴点M的轨迹方程以（8，﹣1）为圆心，记为圆D，
∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相切或相交，
∴2﹣3≤|CD|≤2+1，
即，
解得，
故．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求解，圆方程的求解，圆与圆的位置关系，方程思想，不等式思想，属中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）通过PB⊥平面 ADMN可证明PB⊥DM；
（Ⅱ） 取AD的中点G，则BG∥CD，则BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等，再结合PB⊥平面ADMN，可得到∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
【解答】解：（I） 因为N是PB的中点，PA＝PB，
所以AN⊥PB．
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN．
因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．
（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG，BG//CD，
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，．
故所成的角的正弦值．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象的核心素养，属于中档题．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCDAD，∠BAD＝∠ABC＝90°
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，因为E是PD的中点，
所以EFADAD，∴BC∥，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，CE⊄平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，则AB＝BC＝6，
∴∠PCO＝60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN＝MN，CN＝，BC＝1，
可得：1+BN2＝BN6，BN＝，MN＝，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ＝
＝，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：＝．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（12分）已知椭圆的焦距为2，离心率．
（1）求C的方程；
（2）过点F（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若
【分析】（1）根据焦距得到c＝1，根据离心率得到a＝2，计算得到，得到椭圆方程；
（2）设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，根据向量运算得到，解方程组得到答案．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），焦距为2，c＝2，
离心率，，解得a＝2，，
所以椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x4，y2），显然直线的斜率存在，则直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
由，消去y整理得（3+4k2）x5﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
则，
F（1，7），1，﹣y4）＝2（x2﹣8，y2），
即，，解得，
故，解得，
直线l的方程为，
即直线l的方程为或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆与直线有且只有一个交点1，F1分别为椭圆的上顶点和右焦点，且|B1F1|＝2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l不经过点B1且与椭圆交于M，N两点，当直线B1M，B1N的斜率之和为时，求证：直线l过定点．
【分析】（1）根据题意求出a，b即可；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y＝kx+t，联立方程，利用韦达定理求得x1x2，x1+x2，再根据斜率公式及已知求出k，t之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，，
解得a＝7，，
所以椭圆方程为；
（2）证明：显然，设M（x1，y1），N（x6，y2），
①当直线的斜率不存在时，M（x1，y6），N（x1，﹣y1），
∴，
从而x＝﹣5与椭圆只有一个交点，不合题意；
②当直线l的斜率存在时，不妨设l的方程为：，
联立直线与椭圆的方程得（2k2+1）x2+5ktx+2t2﹣7＝0，
由根与系数的关系得，，，
∴，
即，
整理得，
所以直线l的方程为，
故直线过定点，
综上，直线过定点．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，直线恒过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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