2023-2024学年重庆市永川北山中学校高二上学期期中考试数学试题含答案

2023-2024学年重庆市永川北山中学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．设，，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.2．已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出线段的中点坐标及直线的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.【详解】线段的中点为，，则线段垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即.故选：B.3．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ）  A． B．C． D．【答案】C【分析】由空间向量基本定理求解即可.【详解】解：由，点为的中点，可得，又，．故选：C.4．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.【详解】设弦为,,由，消去y得，即.，，所以弦的中点的横坐标是，代入直线方程中，得.所以弦的中点坐标是.故选：A.5．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（    ）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由椭圆的定义求解．【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C6．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C7．直线被曲线截得的弦长的最小值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据圆的性质，结合勾股定理进行求解即可.【详解】，所以直线过定点，又可化为，因此当圆心与连线垂直于直线时，直线被曲线截得的弦长最小，此时最小值为．故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线所过的定点以及圆的几何性质.8．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程，由此得到关于离心率的方程求得结果.【详解】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，焦点坐标为，，不妨设为第一象限内的点，则，，则，由余弦定理得：，，，又，，.故选：.【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．直线的方向向量为，平面的法向量是，则B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则C．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则D．平面的一个法向量为，点在平面内，则点也在平面内【答案】AD【分析】根据题意法向量的性质以及求法，即可判断CD，由空间中的线面关系，即可判断AB.【详解】因为，，则，所以，故A正确；因为，所以，但是直线有可能在平面内，所以不一定得到，故B错误；设平面的法向量为，且，，则，解得，取，则，所以，且向量是平面的法向量，则，所以，故C错误；因为点在平面内，且，又为平面的法向量，，所以点在平面内，故D正确；故选：AD10．下列命题正确的是（    ）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．点满足，则点的轨迹是一个椭圆C．过点且与圆相切的直线有1条D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是【答案】BD【分析】A:当斜率不存在时，就不能用表示；B:借助椭圆的定义即可判断;C:通过判定点与圆的关系，得到圆外的一点引圆的切线有且只有2条；D:利用平行线间的距离公式，计算即可.【详解】对于选项A：若经过定点的直线垂直于轴时，不能用方程表示，故A错误；对于选项B：可以看成到的距离；可以看成到的距离，所以,满足椭圆的定义，所以点的轨迹是一个椭圆，故B正确；对于选项C：将点代入圆，得到，所以点在圆外，由圆外的一点引圆的切线有且只有2条,故C错误;对于选项D：将直线化为，由平行线间的距离公式：，故D正确.故选：BD.11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ）A．四面体是鳖臑B．与所成角的余弦值是C．点到平面的距离为D．点到直线的距离为【答案】ABD【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解.【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，对于A中，，因为，所以，即，所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确；对于B中，，则与所成角的余弦值为，所以B正确；对于C中，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则点到平面的距离为，所以C错误；对于D中，由，直线方向上的单位向量是，则到的距离为，所以D正确.故选：ABD.12．已知正方体的棱长为是侧面内任一点，则下列结论中正确的是（    ）A．若满足，则点的轨迹是一条线段B．若到棱的距离等于到的距离的2倍，则点的轨迹是圆的一部分C．若到棱的距离与到的距离之和为6，则点的轨迹的离心率为D．若到棱的距离比到的距离大2，则点的轨迹的离心率为【答案】ABC【分析】由平面即可判断A；由正方体的性质可将到棱的距离与到的距离转化为在平面内，M到点的距离与到点B的距离，据此求出轨迹方程判断B，根据椭圆的定义、离心率判断C，根据双曲线的定义、离心率判断D.【详解】对于A，如图连接，则平面，平面平面，则，，，平面，则平面，平面，则，同理：，，平面，则平面，故此时的轨迹为线段，即A正确，对于B，由正方体可知到棱的距离等于到的距离的2倍，即在平面内，到点的距离等于到点的距离的2倍，连接，以中点为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图，设，则，由可得，整理得，，易知点的轨迹是圆的一部分，所以B正确；对于C，到棱的距离与到的距离之和为6，可转化为在平面内，到点的距离与到点的距离的和为6，大于，所以点的轨迹为椭圆的一部分，其中，所以椭圆的离心率，故C正确；对于D，到棱的距离比到的距离大2，转化为在平面内，到点的距离与到点的距离大2，，所以点的轨迹是双曲线的一部分，该双曲线的实轴长为2，焦距为，所以离心率，所以D错误；故选：ABC【点睛】关键点睛：结合正方体的性质可将到棱的距离与到的距离转化为在平面内，M到点的距离与到点B的距离是解题的关键.三、填空题13．已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为 .【答案】【分析】根据斜率公式直接计算斜率，进而确定倾斜角.【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故答案为：.14．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为 ．【答案】【分析】先求出圆心坐标，再利用过切点的半径与切线垂直求出斜率，最后写出一般方程即可.【详解】由，可得，则圆心坐标为，且点在直线上，所以，则切线的斜率为，所以切线方程为，即故答案为：四、双空题15．圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ．【答案】 【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长.【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，化简得公共弦所在直线方程为，圆的标准方程为，其圆心，半径，圆心到公共弦的距离，所以公共弦长为．故答案为：；.16．设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为 （用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 ．【答案】 /【分析】在中由余弦定理求的面积；由正弦定理，根据，求离心率.【详解】空1：设，，，根据椭圆定义由，在中，由余弦定理有，整理有，化为，整理有，又，所以有，在中，由正弦定理有的面积；空2：依题意可知，即．即，又，得因此，得．故答案为：；．五、解答题17．已知的顶点．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求直线的斜率，结合，求高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）先根据中点坐标公式求点M的坐标，再利用点斜式求直线方程.【详解】（1）∵直线的斜率∴边上的高所在直线的斜率，则所求直线方程为，即∴边上的高所在直线的方程为（2）∵线段的中点∴边上的中线所在直线的斜率，则所求直线方程为，即∴边上的中线所在直线的方程为18．如图，在正方体中，点是的中点．  (1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，表示出和，由即可证明；（2）直接根据线面角的向量公式即可求解．【详解】（1）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，  设正方体的边长为2，则，所以，因为，所以．（2）由（1）得，设平面的一个法向量为，由，即，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．在平面直角坐标系中，圆，四点．(1)若三点的都在圆上，求圆的方程，并判断点与圆的位置关系；(2)过点的直线被圆截得的弦长为4，判断这样的直线有几条，并求出直线的方程．【答案】(1)在圆上；(2)有两条，或【分析】（1）设所求圆方程为，将点的坐标代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据题意，分当的斜率不存在和斜率存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设所求圆方程为，把三点坐标代入，可得，解得，所以圆方程是，把点坐标代入上式，可得，所以点在圆上.（2）解：有两条．由（1）可知圆，则圆心，半径，设圆心到该直线的距离为，则，可得，①当的斜率不存在时，，满足题意②当的斜率存在时，设为，则，即，可得，解得，即综上：所求直线方程为或.20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为.（2）依题意，过且斜率为1的直线为，设，则消去整理得，所以，所以.21．如图，在多面体中，平面平面，平面和均为正三角形，为线段的中点．(1)求证：面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直的性质推出线线平行，继而推得线面平行；（2）通过构建空间直角坐标系，求得相关点的坐标，相关平面的法向量坐标，最后利用空间向量夹角公式求得两平面所成的锐二面角余弦值.【详解】（1）如图，取中点，连接，在正和正中，，则，而平面平面，平面平面平面，平面，于是平面,平面，又平面，故有，而．因此四边形是平行四边形，则，又面面，从而面.（2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则,因，设平面的一个法向量为，则，令，得.因,设平面的一个法向量为，则令，得.于是，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．22．已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)是，定值为．【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.【详解】（1）将点和点的坐标代入，得，解得所以双曲线的离心率．（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．联立得，设，，则，，所以．，直线：．设，．联立得，则且，则，所以，所以为定值，定值为．  【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.