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2023-2024学年广东省佛山市顺德区乐从中学高一上学期第二次质量检测（12月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区乐从中学高一上学期第二次质量检测（12月）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合P，由交集运算即可得结果.
【详解】由已知，得，又集合，
则，
故选：D.
2．已知，且在第三象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可推得，根据正余弦的关系结合的象限，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，.
因为在第三象限，
所以，.
故选：A.
3．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
4．已知函数 ，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：或
【解析】函数求值
5．哈六中学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．会议室才能进入使用．则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作．
A．50B．60C．90D．120
【答案】C
【分析】建立坐标系，根据函数过，代入可得，再根据题意解不等式即可.
【详解】由题意，该模型的函数图象过，故，，故药物释放完毕后，与满足关系.
当时，，即.
故工作人员至少在会议开始时提前小时，即90分钟进行消毒工作.
故选：C
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】易知二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的减函数，
所以，解得.
故选：D.
7．若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
8．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0B．2023C．4046D．4048
【答案】C
【分析】令，解得，然后利用递推式求解即可.
【详解】令，解得，递推得：
，
故选：C.
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，当，，，时，，故C不正确；
对于D，因为，所以，又，所以.故D正确.
故选：ABD.
10．下列比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用函数的单调性比较大小可判断选项A、B、C；利用指数函数的单调性及中间值“1”可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为指数函数为增函数，，
所以成立，故选项A正确；
对于选项B：因为幂函数在上单调递增，，
所以成立，与矛盾，故选项B不正确；
对于选项C：因为对数函数在上为减函数，，
可得成立，所以选项C正确；
对于选项D：因为函数为增函数，为减函数，
则，，
所以，与矛盾，所以选项D不正确.
故选：AC.
11．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上有无数个零点
C．在上单调递减D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】判断函数奇偶性判断A；求出函数取值范围判断B；确定函数单调性判断C；求出函数的最大值判断D.
【详解】函数的定义域为R，，是偶函数，A正确；
当时，，在上无零点，B错误；
当时，，在上单调递减，C正确；
对，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ACD
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．
C．
D．函数的值域为
【答案】BCD
【分析】求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求出即可判断B；结合B选项即可判断C；分离常数，再结合反比例函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，由，得，所以，
所以函数的定义域为，
又，所以函数是偶函数，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由B选项可得，
所以，故C正确；
对于D，，
由且，得且，
所以，所以，
所以函数的值域为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知幂函数单调递减，则实数 .
【答案】
【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解.
【详解】因为幂函数单调递减，
所以，解得.
故答案为：
14．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 .
【答案】.
【分析】根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
【详解】，即，由恒成立，
可得，，所以，所以，函数在上为减函数.
又函数是上的奇函数，所以，
所以，当时，有；当时，有.
当，由可得，所以有，解得，所以；
当，由可得，所以有，解得，所以；
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：
16．若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别讨论、，结合指数函数性质，画出图象，即可列出两函数图象有两个交点的条件.
【详解】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；
当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.
故答案为：
四、问答题
17．设集合，，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.
（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以
（2）由题意“”是“”的充分不必要条件
得
①若，则，解得；
②若，则，解得；
，或，
综合①②得：的取值范围是.
18．已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足；
条件③：角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)时，原式；时，原式；
【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；
（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.
【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件②：因为角满足，
又因为，即可得
所以，可得
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，∴，
即
（2）易知
由（1）可知：，
当时，原式；
当时，原式.
19．对于函数.
(1)是否存在实数使函数为奇函数?
(2)探索函数的单调性.
【答案】(1)存在且；
(2)答案见解析
【分析】（1）假设存在，则有，代入计算即可得；
（2）根据单调性的定义，设，根据去分类讨论的正负即可得.
【详解】（1）假设存在实数使函数为奇函数，
因为的定义域为，
则有，
即，解得，
故，
故存在实数，使得为奇函数；
（2）令，
则
由，则， ，
故当，即时，，即，
所以在上单调递减，
当，即时，，即，
所以为常函数，不具单调性；
当，即时，，即，
所以在上单调递增，
综上所述：
当时，为常函数，不具单调性；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)对于，成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇偶性定义可求出答案；
（2）由可得，然后求出右边对应函数的最小值即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，，
于是，，，因此 ；
（2）在上恒成立，
在上成立，
于是，在上恒成立，
记，
当且仅当，即等号成立.
因此，，即，
所汉，实数m的取值范围为.
21．已知函数.
(1)判断函数奇偶性；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)偶函数
(2).
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断出是偶函数.
（2）根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
【详解】（1）∵，∴，∴定义域为,
由,
，
∴为偶函数.
（2）∵，
函数在上单调递增，
当时，，在单调递增，
∴在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，∴，
两边平方得，
解得或，
所以所求不等式的解集为.
五、应用题
22．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
(1)求收入函数的最小值；
(2)求成本函数的边际函数的最大值；
(3)求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
【答案】(1)48千万元
(2)
(3)（千万元）
【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可.
（2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值.
（3）求出利润函数的解析式，根据二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）∵，，.
∴，当且仅当，即时等号成立.
∴当时，（千万元）.
（2），，.
∴，，.
由函数单调性可知：在，单调递增，
∴当时，.
（3），
∴，，.
当时，即，解得或，
∴当或时，（千万元）.
一、单选题
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合P，由交集运算即可得结果.
【详解】由已知，得，又集合，
则，
故选：D.
2．已知，且在第三象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可推得，根据正余弦的关系结合的象限，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，.
因为在第三象限，
所以，.
故选：A.
3．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
4．已知函数 ，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：或
【解析】函数求值
5．哈六中学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．会议室才能进入使用．则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作．
A．50B．60C．90D．120
【答案】C
【分析】建立坐标系，根据函数过，代入可得，再根据题意解不等式即可.
【详解】由题意，该模型的函数图象过，故，，故药物释放完毕后，与满足关系.
当时，，即.
故工作人员至少在会议开始时提前小时，即90分钟进行消毒工作.
故选：C
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】易知二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的减函数，
所以，解得.
故选：D.
7．若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
8．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0B．2023C．4046D．4048
【答案】C
【分析】令，解得，然后利用递推式求解即可.
【详解】令，解得，递推得：
，
故选：C.
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，当，，，时，，故C不正确；
对于D，因为，所以，又，所以.故D正确.
故选：ABD.
10．下列比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用函数的单调性比较大小可判断选项A、B、C；利用指数函数的单调性及中间值“1”可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为指数函数为增函数，，
所以成立，故选项A正确；
对于选项B：因为幂函数在上单调递增，，
所以成立，与矛盾，故选项B不正确；
对于选项C：因为对数函数在上为减函数，，
可得成立，所以选项C正确；
对于选项D：因为函数为增函数，为减函数，
则，，
所以，与矛盾，所以选项D不正确.
故选：AC.
11．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上有无数个零点
C．在上单调递减D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】判断函数奇偶性判断A；求出函数取值范围判断B；确定函数单调性判断C；求出函数的最大值判断D.
【详解】函数的定义域为R，，是偶函数，A正确；
当时，，在上无零点，B错误；
当时，，在上单调递减，C正确；
对，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ACD
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．
C．
D．函数的值域为
【答案】BCD
【分析】求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求出即可判断B；结合B选项即可判断C；分离常数，再结合反比例函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，由，得，所以，
所以函数的定义域为，
又，所以函数是偶函数，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由B选项可得，
所以，故C正确；
对于D，，
由且，得且，
所以，所以，
所以函数的值域为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知幂函数单调递减，则实数 .
【答案】
【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解.
【详解】因为幂函数单调递减，
所以，解得.
故答案为：
14．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 .
【答案】.
【分析】根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
【详解】，即，由恒成立，
可得，，所以，所以，函数在上为减函数.
又函数是上的奇函数，所以，
所以，当时，有；当时，有.
当，由可得，所以有，解得，所以；
当，由可得，所以有，解得，所以；
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：
16．若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别讨论、，结合指数函数性质，画出图象，即可列出两函数图象有两个交点的条件.
【详解】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；
当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.
故答案为：
四、问答题
17．设集合，，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.
（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以
（2）由题意“”是“”的充分不必要条件
得
①若，则，解得；
②若，则，解得；
，或，
综合①②得：的取值范围是.
18．已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足；
条件③：角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)时，原式；时，原式；
【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；
（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.
【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件②：因为角满足，
又因为，即可得
所以，可得
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，∴，
即
（2）易知
由（1）可知：，
当时，原式；
当时，原式.
19．对于函数.
(1)是否存在实数使函数为奇函数?
(2)探索函数的单调性.
【答案】(1)存在且；
(2)答案见解析
【分析】（1）假设存在，则有，代入计算即可得；
（2）根据单调性的定义，设，根据去分类讨论的正负即可得.
【详解】（1）假设存在实数使函数为奇函数，
因为的定义域为，
则有，
即，解得，
故，
故存在实数，使得为奇函数；
（2）令，
则
由，则， ，
故当，即时，，即，
所以在上单调递减，
当，即时，，即，
所以为常函数，不具单调性；
当，即时，，即，
所以在上单调递增，
综上所述：
当时，为常函数，不具单调性；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)对于，成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇偶性定义可求出答案；
（2）由可得，然后求出右边对应函数的最小值即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，，
于是，，，因此 ；
（2）在上恒成立，
在上成立，
于是，在上恒成立，
记，
当且仅当，即等号成立.
因此，，即，
所汉，实数m的取值范围为.
21．已知函数.
(1)判断函数奇偶性；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)偶函数
(2).
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断出是偶函数.
（2）根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集.
【详解】（1）∵，∴，∴定义域为,
由,
，
∴为偶函数.
（2）∵，
函数在上单调递增，
当时，，在单调递增，
∴在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，∴，
两边平方得，
解得或，
所以所求不等式的解集为.
五、应用题
22．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
(1)求收入函数的最小值；
(2)求成本函数的边际函数的最大值；
(3)求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
【答案】(1)48千万元
(2)
(3)（千万元）
【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可.
（2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值.
（3）求出利润函数的解析式，根据二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）∵，，.
∴，当且仅当，即时等号成立.
∴当时，（千万元）.
（2），，.
∴，，.
由函数单调性可知：在，单调递增，
∴当时，.
（3），
∴，，.
当时，即，解得或，
∴当或时，（千万元）.
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