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2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一上学期第二次考试数学试题备用卷B含答案
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这是一份2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一上学期第二次考试数学试题备用卷B含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
，
所以.
故选：C
2．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性与单调性判断.
【详解】对A：在上单调递减不满足，故A错误；
对B：定义域为不具有对称性，所以既不是偶函数也不是奇函数，故B错误；
对C：定义域为，，故为偶函数；
又在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；
对D：，故不是偶函数.
故选：C
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质和结合举反例分别对四个选项进行判断.
【详解】对A选项，反例，但，故A错误；
对B选项，由不等式的基本性质，若，则，故B正确；
对C选项，如，，而，故C错误；
对D选项，若，，则，故D错误.
故选：B.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的单调性，由，，结合函数零点存在定理即可求解.
【详解】函数与在其定义域内均为增函数，
函数在单调递增，
，，则，
根据函数零点存在定理可知函数的零点所在的区间是.
故选：C.
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断．
【详解】，当或时，，，排除AD，
当时，，，排除C，
故选：B．
6．已知，则的值是（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】D
【分析】运用根式的运算性质即可得出.
【详解】，
故，
，故与一正一负，
和二者中一个为，另一个为，即，
即.
故选：D.
7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：C
8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为不等式在恒成立即可求解.
【详解】由，可化为 ，
又函数，可知在上单调递增，
不等式在恒成立，
即不等式在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，
即，解得
故实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ）
A．
B．
A．
B．
【答案】ABD
【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项
【详解】A.满足函数的定义，故A正确；
B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确；
C.，不满足函数的定义，故C错误；
D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确.
故选：ABD
10．下面选项中所给的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据换底公式比较大小，判断AB选项；根据与0、1的大小关系判断CD选项.
【详解】，
因为，所以，故A正确B错误；
因为，所以，故C错误D正确；
故选：AD
11．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为36B．的最小值为
C．的最小值为16D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】根据对出运算法则可得，利用基本不等式可解得A正确；由完全平方是可知B正确；由基本不等式“1”的妙用即可求得C正确；将整理变形可得其最小值为，即D错误.
【详解】由可得，即；
所以，解得，当且仅当，等号成立；即A正确；
由，当且仅当，等号成立，即B正确；
由可得，
所以，当且仅当时等号成立，即C正确；
易知
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以D错误；
故选：ABC
12．函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数至多有一个零点
B．设方程的所有根的乘积为，则
C．当时，设方程的所有根的乘积为，则
D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则
【答案】ABCD
【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点,当时，有一个交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，得到；C选项，当时，，求出，得到；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案.
【详解】对于选项A,令，则，
而恒过定点，
当时，，
画出与的图象，如图所示：
则无零点，
当时，恒过定点，则与图象，如图所示：
则有一个零点，故至多有一个零点，A正确;
对于选项B，画出与的图象，如图所示：
其中，，
由图象可知，，且，
即，故，
则，故B正确;
对于选项C, 当时，，即，
求出，故，故C正确；
对于选项D, 当时，，
画出与的图象，如图所示：
则，
画出与的图象，如图所示：
的最小根为，则，
由于与互为反函数，则关于对称，
而也关于对称，
故与相加得，
，
即，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数代入求值即可.
【详解】.
故答案为：
14．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据条件转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】，得或，
若“”是“”的必要不充分条件，得或，
所以，即的最大值为.
故答案为：
15．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（，）
【答案】
【分析】根据已知条件列出不等式，两边取对数得，根据对数运算性质解不等式求解.
【详解】根据题意一个星期后，记忆内容剩余；二个星期后，记忆内容剩余；
个星期后，记忆内容剩余，为使得所记忆的内容不低于原来的，
则有，为增函数，对上式两边取对数有，
，，又因为，所以，
即，，，，
所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习.
故答案为：
16．已知，则 ， ．
【答案】 6 ，
【分析】利用指数幂的运算法则得到，从而得到，和
【详解】，
，
故，
故，，
故答案为：6，
四、解答题
17．求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】结合指数运算及对数运算即可求解.
【详解】（1）
（2）
18．已知一元二次不等式的解集为．
(1)求，的值；
(2)为何值时，的解集为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用是方程两个根可得答案；
（2）分、讨论，根据一元二次不等式的解集为肯定答案．
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以是方程两个根，且，
可得，解得；
（2）由（1）知，即的解集为，
若，则成立；
若，由的解集为，
可得，解得.
综上所述，时，的解集为．
即.
19．已知函数是定义在的偶函数，当时，．
(1)请画出函数图像，并求的解析式；
(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【答案】(1)图像见解析；
(2)；
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图像即可；
（2）根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图像，结合图像即可得到其最小值.
【详解】（1）
设，则，则，
又函数是定义在的偶函数，
所以，
则；
函数的图像，如图所示.
（2）
因为，
当时，令，解得，
则当时，，
当时，令，解得，
则当时，，
所以，
画出函数的图像，如图所示，
结合图像可知，当时，.
20．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并求函数的值域；
(2)若实数满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解；值域
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域为与函数，再证明，从而证明是奇函数，最后求函数的值域；
（2）先判断在定义域上单调递增且是奇函数，再转化不等式为，最后求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则函数的定义域为，且，
所以，
所以是奇函数，
因为，
因为，所以，则，
所以函数的值域，
（2）因为在定义域上单调递增且是奇函数，
所以，则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围：.
21．一种药在病人血液中的含量不低于时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（单位：）随着时间（单位：）变化的函数关系式近似为，其中．
(1)若病人一次服用2个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，后再服用个单位的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，求的最小值．
【答案】(1)小时
(2)的最小值为0
【分析】（1）由题意可得，则可得的解析式，求解，即可得答案；
（2）求出当时，，若药剂有效，需满足对恒成立，参变分离求的取值范围肯定答案.
【详解】（1）当时，，
当时，由得，此时，
当时，由得，此时，
综上所述，，
所以若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时；
（2）由（1）若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时，
当时，由，
因为对恒成立，
所以对恒成立，等价于，
令，
则函数在上单调递增，
所以时，有最大值，
所以的最小值为0.
22．若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
(1)证明：函数具有性质，并求出相应的；
(2)已知函数具有性质，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定义，将代入，化简计算即可得证；
（2）由的定义域为，可得，根据函数具有性质，存在，使得成立，代入化简整理得到关于的方程，转化为方程有解的问题，进而求出的取值范围.
【详解】（1）证明：代入得：，
即，解得，
函数具有性质，；
（2）由题知的定义域为，且，
函数具有性质，
存在，使得成立，
代入得：，
，
，
整理得：有实根，
①当时，解得，；
②当时，得，
即，解得：，
综上可得：.
1
2
3
4
2
4
3
3
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
，
所以.
故选：C
2．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性与单调性判断.
【详解】对A：在上单调递减不满足，故A错误；
对B：定义域为不具有对称性，所以既不是偶函数也不是奇函数，故B错误；
对C：定义域为，，故为偶函数；
又在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；
对D：，故不是偶函数.
故选：C
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质和结合举反例分别对四个选项进行判断.
【详解】对A选项，反例，但，故A错误；
对B选项，由不等式的基本性质，若，则，故B正确；
对C选项，如，，而，故C错误；
对D选项，若，，则，故D错误.
故选：B.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的单调性，由，，结合函数零点存在定理即可求解.
【详解】函数与在其定义域内均为增函数，
函数在单调递增，
，，则，
根据函数零点存在定理可知函数的零点所在的区间是.
故选：C.
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断．
【详解】，当或时，，，排除AD，
当时，，，排除C，
故选：B．
6．已知，则的值是（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】D
【分析】运用根式的运算性质即可得出.
【详解】，
故，
，故与一正一负，
和二者中一个为，另一个为，即，
即.
故选：D.
7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：C
8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为不等式在恒成立即可求解.
【详解】由，可化为 ，
又函数，可知在上单调递增，
不等式在恒成立，
即不等式在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，
即，解得
故实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．以下与的关系中，其中是关于的函数的有（ ）
A．
B．
A．
B．
【答案】ABD
【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项
【详解】A.满足函数的定义，故A正确；
B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确；
C.，不满足函数的定义，故C错误；
D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确.
故选：ABD
10．下面选项中所给的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据换底公式比较大小，判断AB选项；根据与0、1的大小关系判断CD选项.
【详解】，
因为，所以，故A正确B错误；
因为，所以，故C错误D正确；
故选：AD
11．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为36B．的最小值为
C．的最小值为16D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】根据对出运算法则可得，利用基本不等式可解得A正确；由完全平方是可知B正确；由基本不等式“1”的妙用即可求得C正确；将整理变形可得其最小值为，即D错误.
【详解】由可得，即；
所以，解得，当且仅当，等号成立；即A正确；
由，当且仅当，等号成立，即B正确；
由可得，
所以，当且仅当时等号成立，即C正确；
易知
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以D错误；
故选：ABC
12．函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数至多有一个零点
B．设方程的所有根的乘积为，则
C．当时，设方程的所有根的乘积为，则
D．当时，设方程的最大根为，方程的最小根为，则
【答案】ABCD
【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点,当时，有一个交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，得到；C选项，当时，，求出，得到；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案.
【详解】对于选项A,令，则，
而恒过定点，
当时，，
画出与的图象，如图所示：
则无零点，
当时，恒过定点，则与图象，如图所示：
则有一个零点，故至多有一个零点，A正确;
对于选项B，画出与的图象，如图所示：
其中，，
由图象可知，，且，
即，故，
则，故B正确;
对于选项C, 当时，，即，
求出，故，故C正确；
对于选项D, 当时，，
画出与的图象，如图所示：
则，
画出与的图象，如图所示：
的最小根为，则，
由于与互为反函数，则关于对称，
而也关于对称，
故与相加得，
，
即，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数代入求值即可.
【详解】.
故答案为：
14．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据条件转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】，得或，
若“”是“”的必要不充分条件，得或，
所以，即的最大值为.
故答案为：
15．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（，）
【答案】
【分析】根据已知条件列出不等式，两边取对数得，根据对数运算性质解不等式求解.
【详解】根据题意一个星期后，记忆内容剩余；二个星期后，记忆内容剩余；
个星期后，记忆内容剩余，为使得所记忆的内容不低于原来的，
则有，为增函数，对上式两边取对数有，
，，又因为，所以，
即，，，，
所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习.
故答案为：
16．已知，则 ， ．
【答案】 6 ，
【分析】利用指数幂的运算法则得到，从而得到，和
【详解】，
，
故，
故，，
故答案为：6，
四、解答题
17．求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】结合指数运算及对数运算即可求解.
【详解】（1）
（2）
18．已知一元二次不等式的解集为．
(1)求，的值；
(2)为何值时，的解集为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用是方程两个根可得答案；
（2）分、讨论，根据一元二次不等式的解集为肯定答案．
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以是方程两个根，且，
可得，解得；
（2）由（1）知，即的解集为，
若，则成立；
若，由的解集为，
可得，解得.
综上所述，时，的解集为．
即.
19．已知函数是定义在的偶函数，当时，．
(1)请画出函数图像，并求的解析式；
(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【答案】(1)图像见解析；
(2)；
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图像即可；
（2）根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图像，结合图像即可得到其最小值.
【详解】（1）
设，则，则，
又函数是定义在的偶函数，
所以，
则；
函数的图像，如图所示.
（2）
因为，
当时，令，解得，
则当时，，
当时，令，解得，
则当时，，
所以，
画出函数的图像，如图所示，
结合图像可知，当时，.
20．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并求函数的值域；
(2)若实数满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解；值域
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域为与函数，再证明，从而证明是奇函数，最后求函数的值域；
（2）先判断在定义域上单调递增且是奇函数，再转化不等式为，最后求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则函数的定义域为，且，
所以，
所以是奇函数，
因为，
因为，所以，则，
所以函数的值域，
（2）因为在定义域上单调递增且是奇函数，
所以，则，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围：.
21．一种药在病人血液中的含量不低于时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（单位：）随着时间（单位：）变化的函数关系式近似为，其中．
(1)若病人一次服用2个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，后再服用个单位的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，求的最小值．
【答案】(1)小时
(2)的最小值为0
【分析】（1）由题意可得，则可得的解析式，求解，即可得答案；
（2）求出当时，，若药剂有效，需满足对恒成立，参变分离求的取值范围肯定答案.
【详解】（1）当时，，
当时，由得，此时，
当时，由得，此时，
综上所述，，
所以若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时；
（2）由（1）若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时，
当时，由，
因为对恒成立，
所以对恒成立，等价于，
令，
则函数在上单调递增，
所以时，有最大值，
所以的最小值为0.
22．若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
(1)证明：函数具有性质，并求出相应的；
(2)已知函数具有性质，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定义，将代入，化简计算即可得证；
（2）由的定义域为，可得，根据函数具有性质，存在，使得成立，代入化简整理得到关于的方程，转化为方程有解的问题，进而求出的取值范围.
【详解】（1）证明：代入得：，
即，解得，
函数具有性质，；
（2）由题知的定义域为，且，
函数具有性质，
存在，使得成立，
代入得：，
，
，
整理得：有实根，
①当时，解得，；
②当时，得，
即，解得：，
综上可得：.
1
2
3
4
2
4
3
3
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