安徽省宣城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

这是一份安徽省宣城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共11页。
一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.设是实数，且是实数，则（ ）
A．B．C．D．
2.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）
A．，，则B．，，则
C．，，则D．，，则
5.利用数学归纳法证明eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)BF，∠ABC＝120°.
(1)当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF?
(2)在(1)的条件下，求二面角E－AC－F的余弦值.
22．(本题13分）已知动点C是椭圆Ω：上的任意一点，AB是圆G：的一条直径(A，B是端点)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最大值是eq \f(31,4).
(1)求椭圆Ω的方程；
(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆Ω于P，Q两点. 在线段上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
选择题
BAADC CCDAB BA
填空题
9 ， 14 ，15. 5， 16
16.由题意可得如下示意图，设交于，则，即
所以为二面角的平面角，即，
又，所以平面，过作于，，所以平面，
若分别是面的外接圆圆心、三棱锥的外接球的球心，
则平面，所以，
所以必共面且该面为球体的最大截面，
连接，有为外接球半径，
为面的外接圆半径，若设 则：，，
∵菱形中，，，
∴，，，
且，，，，∴，
即，解得，∴，
所以三棱锥的外接球的表面积，
17.解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为人. 由题意，解得，
，
.
（2）记“选中的人恰好为两男一女”为事件，记名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选人有以下情况： ；；；；；；；；；，共种情况，基本事件共有个，它们是等可能的，
事件包含的基本事件有个，分别为：；；；；；，
故，所以选中的人恰好为两男一女的概率为.
18.（1）类比上述性质知：切线方程为.
（2）①设切点为，点，
由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：，
通过点，∴有， ∴A，B满足方程：，
∴直线AB恒过点：，即直线AB恒过点.
19（1）略（2）
20（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则，
故为定值.
21解 (1)连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.
取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.
∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.
∴OG，AC，BD两两垂直.
以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设BF＝m(03时，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最大值是eq \f(41－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(7,4)))－16,41－a)，
由条件得eq \f(41－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(7,4)))－16,41－a)＝eq \f(31,4)，即a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a＝2(舍去)．
综上所述，椭圆Ω的方程是eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点坐标为(x0，y0)，
则满足eq \f(x\\al(2,1),5)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),5)＋yeq \\al(2,2)＝1，两式相减，整理得eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(x2＋x1,5y2＋y1)＝－eq \f(x0,5y0)，从而直线PQ的方程为y－y0＝－eq \f(x0,5y0)(x－x0)，又右焦点F2的坐标是(2,0)，
将点F2的坐标代入PQ的方程得－y0＝－eq \f(x0,5y0)(2－x0)，
因为直线l与x轴不垂直，故2x0－xeq \\al(2,0)＝5yeq \\al(2,0)>0，从而0