广东省深圳实验，湛江一中，珠海一中2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

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数学试题 2023.12
注意事项：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，则
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在梯形中，设，，若，则
A． B． C． D．
4．已知函数，则的最大值为
A． B． C． D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则
A． B． C． D．
8．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
则下列结论正确的为
A．这位同学成绩的中位数是
B．这位同学成绩的平均数是
C．这位同学成绩的第百分位数是
D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变
10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称
11．已知圆，点在圆上，过可作的两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为
A．当，时，点可是上任意一点
B．当，时，可能等于
C．若存在使得△为等边三角形，则的最小值为
D．若存在使得△的面积为，则可能为
12. 已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为
A．的轨迹长度为
B．四面体的体积最大值为
C．二面角的取值范围为
D．当△的周长最小时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ．
14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，
若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方
案数为 ．
15．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若恒成
立，则 ．
16. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不
与顶点重合，记为△的内心，，若，则的取值范围
为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （10分）
已知为数列的前项和，且满足（）.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 记，求数列的前项和．
18．（12分）
已知△的内角，，的对边分别为，，，且．
(1) 求证：；
(2) 若△的面积为，且，求．
19．（12分）
如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形.
(1) 证明：；
(2) 若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小.
20．（12分）
已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1) 当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2) 若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
21．（12分）
已知函数，．
(1) 讨论的单调性；
(2) 当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．
22．（12分）
在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设△的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．
(1) 求的方程；
(2) 已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．
( = 1 \* rman i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
( = 2 \* rman ii) 若，当最大时，求四边形的面积．
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩