第3讲 分数除法【高频考点+典例精析+易错精练】-人教版小学六年级数学上册期末易错高频考点精讲精练

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倒数
（1）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。
（2）求倒数的方法
①求分数的倒数：交换分子分母的位置。
②求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
③求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。
（3）1的倒数是1；因为 1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0（分母不能为0）
真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1，带分数的倒数小于1。
运用求和是多少。把看成等于1也就是求的倒数和求的倒数。
【例1】（2020秋•舞阳县期中） 没有倒数，1的倒数是 ．
【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．0没有倒数，1的倒数是1．
【解答】解：因为没有任何数乘0等于1，所以0没有倒数，
因为1×1＝1，所以1的倒数是1．
故答案为：0；1．
【点评】考查了倒数的意义，用倒数的意义解答．
【例2】（2019•益阳模拟）的倒数与0.25的倒数的积是多少？
【分析】先根据倒数的求法求出的倒数与0.25的倒数，再相乘即可解答．
【解答】解：的倒数是2，0.25的倒数是4，
2×4＝8；
答：积是8．
【点评】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，根据语言简单列出算式求解即可．
【例3】已知m的倒数是，n的倒数是，求m+n的倒数．
【分析】根据倒数的定义可求m、n，再相加得到m+n的值，再根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：因为m的倒数是，n的倒数是，
所以m＝3，n＝，
所以m+n＝3＝，
所以m+n的倒数是．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. 分数除法的意义
乘法：因数×因数=积
除法：积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如：意义是：已知两个因数的积是与其中一个因数，求另一个因数的运算。
分数除法的计算法则
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
分数除法比较大小时的规律
(1)当除数大于1，商小于被除数；
(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数；
(3)当除数等于1，商等于被除数。
“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
【例4】（2020•朔州）某学校男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的．
【分析】设女生的人数是1，先把女生的人数看成单位“1”，男生的人数是女生的1+，用乘法求出男生的人数；然后用女生的人数除以男生的人数即可．
【解答】解：设女生的人数是1
1×（1+）
＝1×1.25
＝1.25
1÷1.25＝；
答：女生人数是男生的；
故答案为：．
【点评】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系解决问题．
【例5】（2017秋•富源县期末）把米平均分成2份，每份是它的，每份是 分米．
【分析】根据分数的意义，可知把米平均分成2份，每份是它的，每份是（÷2）米；由此解答．
【解答】解：把米平均分成2份，每份是它的，每份是：÷2＝（米）；
答：每份是它的，每份是米，是×10＝（分米）；
故答案为：，．
【点评】本题注意区分每份的长度与每份是总长度的几分之几的区别：前者是一个具体的数量，用除法的意义求解；后者是一个分率，根据分数的意义求解．
【例6】（2015秋•明光市校级期中）用递等式计算．
××
×15÷
÷÷×．
【分析】（1）直接约分计算即可；
（2）把除法化成乘法，再约分计算即可；
（3）把除法化成乘法，再约分计算即可．
【解答】解：（1）××
＝
＝3；
（2）×15÷
＝×15×
＝
＝；
（3）÷÷×
＝××
＝
＝．
【点评】同级运算，按照从左到右的顺序计算即可，注意要进行约分，把结果化成最简分数．
分数除法解决问题
（1）解法：①方程: 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
②算术（用除法）：单位“1”的量未知用除法：即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。分率对应量÷对应分率=单位“1”的量。
（2）看分率前有没有比多或比少的问题
分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷（1－分率）=单位“1”的量
（比多）：具体量÷（1＋分率）=单位“1”的量
求一个数是另一个数的几分之几是多少：用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。（4）求一个数比另一个数多几分之几的方法
用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数－小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数－小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（+）（工作效率=）。例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，丙单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？列式：。
【例7】（2021秋•源汇区期末）①平均每分钟打运份稿件的几分之几？
②剩下的稿件还要打几分钟？
【分析】①用工作量除以工作时间20分钟即可求出平均每分钟打运份稿件的几分之几。
②用剩下的工作量（1﹣）除以①的结果即可。
【解答】解：①÷20＝
答：平均每分钟打运份稿件的。
②（1﹣）÷
＝×50
＝30（分钟）
答：剩下的稿件还要打30分钟。
【点评】解答本题的关键是熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。
【例8】（2021秋•东湖区期末）修一条路，甲工程队单独修需20天，乙工程队单独修需30天，先由甲单独修5天，再由甲、乙两个工程队合修，还需多少天完成？
【分析】首先表示出甲乙的工作效率；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率乘以5，求出甲队先修5天的工作量；最后用1减去甲队先合修5天的工作量，求出还剩下这项工程的几分之几，再除以甲乙的工作效率之和，求出还需要多少天即可．
【解答】解：（1﹣×5）÷（+）
＝（1﹣）÷
＝×12
＝9（天）
答：还需9天完成．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
【例9】（2021秋•木兰县期末）挖一条水渠，王伯伯每天挖整条水渠的，李叔叔每天挖整条水渠的．两人合作，几天能挖完？
【分析】首先根据王伯伯每天挖整条水渠的，李叔叔每天挖整条水渠的，用加上，求出两人的工作效率之和；然后用1除以两人的工作效率之和，求出两人合作几天能挖完即可．
【解答】解：1÷（+）
＝1÷
＝12（天）
答：两人合作，12天能挖完．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•桃江县期末）A是一个（ ）时，它的倒数小于1．
A．大于1的整数B．假分数
C．真分数
2．（2020秋•路北区期末）因为×＝1，所以（ ）
A．是倒数B．是倒数
C．和是倒数D．和互为倒数
3．（2020秋•乐陵市期中）王师傅说“我每天加工5把椅子，”李师傅说“我5天加工30把椅子．”他们谁做得快些？（ ）
A．王师傅B．李师傅C．一样快
4．（2012•恩施州）方程：（x+2）×6+x＝18的解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2009秋•上城区期末）如果2x+3＝10，那么4x﹣3就等于（ ）
A．17B．4C．11D．7
6．（2022•江宁区）把4个同样大的橘子分给小朋友，每人分个，可以分给几人？小花的算法是：4÷＝4×3，这里的“3”表示（ ）
A．4个橘子平均分给3人B．1 个橘子平均分给3人
C．1人平均分得3个橘子
7．（2020秋•魏县月考）甲数的倒数大于乙数的倒数，那么，甲数（ ）乙数．
A．大于B．小于C．等于
8．（2015秋•梁平区期中）下面计算错误的是（ ）
A．÷＝＝B．12÷＝3÷3＝1
C．÷4＝×＝
二．填空题（共8小题）
9．（2013春•上海月考）将方程4x﹣3y＝27变形为用含y的式子表示x，那么x＝ ．
10．（2021•雨城区模拟）甲数是24，乙数是甲数的，乙数是 ；甲数是24，相当于乙数的，乙数是 ．
11．（2021秋•广宁县期末）工人师傅0.25小时做了30个零件．照此计算他1小时能做 零件．
12．（2021•大洼区开学）÷9表示 。
13．（2011秋•松江区期末）方程，x的值为 ．
14．（2022•宝清县）比40吨多是 吨，40吨比 吨多。
15．（2021秋•龙口市期中）的倒数乘3，所得的积是 。
16．（2021秋•郴州期末）1.2倒数是 ，和 互为倒数．
三．判断题（共5小题）
17．（2022春•大埔县期末）+＝1，所以和互为倒数． ．
18．（2021秋•巴马县期末）如果两个数互为倒数，那么这两数的乘积一定是1．
19．（2021秋•宁津县期中）×5÷×5＝1． ．
20．（2015•百色模拟）一项工程，计划5小时完成，实际4小时就完成了任务，工作效率提高了． ．
21．÷3＝4×＝ ．
四．计算题（共1小题）
22．（2015秋•海安县校级期中）用递等式计算．
××
×15÷
÷÷．
五．应用题（共6小题）
23．两个自然数的倒数的和是，这两个自然数中较小的是几？
24．（2018秋•安岳县期末）一个工程队要修一条长2800米的公路，已经修了14天，平均每天修165米，还剩多少米没有修完？
25．（2021春•灌南县期末）一台拖拉机7小时可以耕地8公顷，这台拖拉机每小时可以耕地多少公顷，耕一公顷地需要多少小时？
26．（2020•鹿城区）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做15天完成。两人合作5天后，还剩下总工程的几分之几？
27．最小质数的倒数减去最小合数的倒数，所得的差的倒数是多少？
28．（2021•新市区）加工一批零件，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，丙单独做需要20天，现由三人合作，途中甲有事停工几天，结果6天才将任务完成，甲停工几天？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，依此即可得到大于1的整数的倒数小于1．
【解答】解：A、大于1的整数的倒数小于1，故选项正确；
B、假分数的倒数小于或等于1，故选项错误；
C、真分数的倒数大于1，故选项错误．
故选：A。
【点评】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，是基础题型．本题可以通过举反例解答．
2．【分析】根据倒数的意义．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，说倒数时必须是一个数是另一个数的倒数，不能单独说一个数是倒数．据此判断．
【解答】解：因为×＝1，可以说和互为倒数，或者说是的倒数，是的倒数．
故选：D。
【点评】本题考查了倒数的意义，要注意倒数是互相的，不能单独说一个数是倒数．
3．【分析】根据王师傅每天加工5把椅子，李师傅5天加工30把椅子，由工作效率＝工作量÷工作时间，求出李师傅每天加工多少把，然后比较大小，判断出谁做得速度快即可．
【解答】解：30÷5＝6（把），
因为6＞5，
所以李师傅做得速度快些．
故选：B．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
4．【分析】先化简方程的左边，得到3x+12＝18，方程的两边同减去12，再同除以3得解．
【解答】解：（x+2）×6+x＝18，
3x+12＝18，
3x+12﹣12＝18﹣12，
3x÷3＝6÷3，
x＝2；
故选：B．
【点评】方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值，所以先解这个方程，求得方程得解，再选择．
5．【分析】先由2x+3＝10，根据等式的性质求出x的值，再把求出的x值代入4x﹣3即可．
【解答】解：2x+3＝10，
2x+3﹣3＝10﹣3，
2x＝7，
2x×＝7×，
x＝；
把x＝代入4x﹣3得，
4×﹣3，
＝14﹣3，
＝11；
故选：C．
【点评】解答此题的关键是利用等式的性质，先解方程求出x的值再把求出的x值代入要求的式子的即可．
6．【分析】把每个橘子平均分成3份，每人分个，所以1个橘子平均分给3个人。据此解答。
【解答】解：4÷＝4×3＝12（人），这里“4×3”中的“3”表示1个橘子平均分给3个人。
故选：B。
【点评】明确个表示把1个橙子平均分成3份，每人分1份，也就是个是解题的关键。
7．【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．由此可知较大数的倒数小于较小数的倒数，依此即可作出判断．
【解答】解：甲数的倒数大于乙数的倒数，
那么甲数小于乙数．
故选：B．
【点评】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，注意两个数倒数的大小与这两个数的大小比较正好相反，大的反而小，小的反而大．
8．【分析】分数除以分数，可以用分数的分子除以分子，分数的分母除以分母，这是在对应分子及对应的分母能整除的情况下进行的；分数除法的计算法则是：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数，这个对于任何分数除法（注除数不能为0）都适用．
【解答】解：A、÷＝＝，解答正确；
B、12＝12×＝16，解答错误；
C、÷4＝×＝，解答正确；
故选：B。
【点评】明确一个数除以分数的计算法则，是解答此题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据等式的性质，在方程两边同时加上3y，再除以4求解．
【解答】解：4x﹣3y＝27，
4x﹣3y+3y＝27+3y，
4x÷4＝（27+3y）÷4，
x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐．
10．【分析】①根据题意知，乙数是甲数的，是把甲数成单位“1”，求单位“1”的几分之几用乘法；
②相当于乙数的，是把乙数看成单位“1”，已知几分之几求单位“1”用除法．
【解答】解：①24×＝8；
②24＝72；
故答案为：8，72．
【点评】此题考查了求单位“1”的几分之几求这个数，和已知一个数的几分之几是多少求单位“1”．
11．【分析】求1小时能做多少个零件就是求他的工作效率，依据工作效率＝工作总量÷工作时间即可解答．
【解答】解：30÷0.25＝120（个）
答：照此计算他1小时能做 120零件．
故答案为：120．
【点评】本题考查基本数量关系：工作效率＝工作总量÷工作时间，据此代入数据即可解答．
12．【分析】÷9表示把平均分成9份，每份是多少。据此解答。
【解答】解：÷9表示把平均分成9份，每份是多少。
故答案为：把平均分成9份，每份是多少。
【点评】本题考查了分数除以整数，就是把这个数平均分成几份，每份是多少。
13．【分析】根据被减数﹣减数＝差，所以减数＝被减数﹣差，根据公式进行解方程即可得到答案．
【解答】解：7﹣x＝2
x＝7﹣2，
x＝5．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是如何利用公式解方程．
14．【分析】把40吨看作单位“1”，要求的数量相当于40吨的（1+），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
把要求的数量看作单位“1”，40吨相当于要求数量的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
【解答】解：40×
＝40×
＝50（吨）
40
＝40×
＝32（吨）
答：比40吨多是50吨，40吨比32吨多。
故答案为：50，32。
【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。
15．【分析】的倒数是6，6×3计算出即可。
【解答】解：1÷＝6
6×3＝18
故答案为：18
【点评】主要考查求倒数的方法。
16．【分析】求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置；
求分数的倒数的方法：我们只须把这个分数的分子和分母交换位置即可．
【解答】解：1.2＝，它的倒数是，和互为倒数．
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了倒数的定义和求倒数的方法：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
三．判断题（共5小题）
17．【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．据此判断．
【解答】解：+＝1，但×＝≠1，
所以不能说和互为倒数．
故答案为：×．
【点评】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，是基础题目．
18．【分析】倒数的意义：乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：如果两个数互为倒数，那么这两数的乘积一定是1；
故答案为：√．
【点评】本题主要考查倒数的意义．
19．【分析】×5÷×5按照从左到右的顺序计算，得出结果与1比较即可．
【解答】解：×5÷×5，
＝1÷×5，
＝5×5，
＝25．
故答案为：×．
【点评】本题要注意运算顺序，不要错用了运算定律．
20．【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出原来和实际的工作效率各是多少；然后用工作效率之差除以原来的工作效率，求出工作效率提高了几分之几即可．
【解答】解：
＝
＝
答：工作效率提高了．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出原来和实际的工作效率各是多少．
21．【分析】分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
【解答】解：÷3
＝×
＝
≠
所以原题计算错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了分数除法的计算法则，注意不要错用运算法则．
四．计算题（共1小题）
22．【分析】①先约分再计算．
②把除法变成乘法，先约分再计算．
③把除法变成乘法，先约分再计算．
【解答】解：①××
＝
＝3
②×15÷
＝
＝
＝
③÷÷
＝
＝
【点评】本题主要考查分数四则混合运算的计算顺序．
五．应用题（共6小题）
23．【分析】因为两个自然数的倒数的和是，可知两个自然数中较小的大于8，再根据＝+求解即可．
【解答】解：因为＝+
所以这两个自然数中较小的是9．
答：这两个自然数中较小的是9．
【点评】此题考查了倒数的认识，找出其中分数能分解为两个分子是1的不同分数即可．
24．【分析】根据题意，已经修了14天，平均每天修165米，可以算出已经修了的长度，再用总长度减去已修的长度，即可解决问题．
【解答】解：2800﹣165×14
＝2800﹣2310
＝490（米）
答：还剩490米没有修完．
【点评】解决此题的关键是分析数量关系，没有修完的长度＝总长﹣已修的长度．
25．【分析】根据题意，要求平均每小时耕地的公顷数，平均分的是总公顷数，把公顷数按小时数分；要求耕一公顷地需要的小时数，平均分的是小时数，把小时数按公顷数分；都用除法计算即可。
【解答】解：8÷7＝（公顷）
7（小时）
答：这台拖拉机每小时可以耕地公顷，耕一公顷地需要小时。
【点评】此题考查分数除法应用题的基本类型，解决关键是弄清楚平均分的是哪一个量，就用这个量除以另一个量即可。
26．【分析】用甲乙工作效率的和乘工作时间，求出甲、乙完成的量，再用总工程“1”减去甲、乙完成的量即可求解。
【解答】解：1﹣（）×5
＝1﹣
＝1﹣
＝
答：还剩下总工程的。
【点评】本题运用工作效率、工作时间、工作总量之间的关系进行解答即可。
27．【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，根据倒数的概念，解决问题．
【解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4，
﹣＝，
的倒数是4．
答：所得的差的倒数是4．
【点评】完成本题的关键在于明确最小的质数与最小的合数各是多少．
28．【分析】结果6天才将任务完成，乙、丙两人做了6天，求出乙、丙两人做的工作量，再用1减去，就是甲做的工作量，再除以甲的工作效率就是甲做的天数，用6减去，就是停工的天数。据此解答。
【解答】解：6﹣[1﹣（+）×6]÷
＝6﹣[1﹣×6]÷
＝6﹣÷
＝6﹣3
＝3（天）
答：甲停工3天。
【点评】此题主要考查工作总量、工作效率、工作时间之间的数量关系，先求出三个合作中甲做的工作量是多少是解题的关键。