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(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习04《函数及其表示》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域为( )
A.(﹣∞，1] B.[﹣1,1]
C.(﹣1，﹣eq \f(1,2))∪(﹣eq \f(1,2)，1) D.[﹣1，﹣eq \f(1,2))∪(﹣eq \f(1,2)，1]
【答案解析】答案为：C.
解析：要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,2x2－3x－2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1所以函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域为(﹣1，﹣eq \f(1,2))∪(﹣eq \f(1,2)，1).
设函数f(x)＝lg2(x﹣1)＋eq \r(2－x)，则函数f(eq \f(x,2))的定义域为( )
A.[1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4)
【答案解析】答案为：B.
解析：∵函数f(x)＝lg2(x﹣1)＋eq \r(2－x)有意义，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,2－x≥0，))解得1＜x≤2，
∴函数的f(x)定义域为(1,2]，∴1＜eq \f(x,2)≤2，解得x∈(2,4]，
则函数f(eq \f(x,2))的定义域为(2,4].故选B.
已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋eq \f(1,2))＋f(﹣eq \f(1,2))的定义域是( )
A.[eq \f(1,2)，1] B.[eq \f(1,2)，2] C.[eq \f(1,2)，eq \f(3,2)] D.[1，eq \f(3,2)]
【答案解析】答案为：C.
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x＋\f(1,2)≤2，,0≤x－\f(1,2)≤2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,\f(1,2)≤x≤\f(5,2)，))∴eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,2).故选C.
若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝9x＋8 B.f(x)＝3x＋2
C.f(x)＝﹣3x﹣4 D.f(x)＝3x＋2或f(x)＝﹣3x﹣4
【答案解析】答案为：B.
解析：令t＝3x＋2，则x＝eq \f(t－2,3)，所以f(t)＝9×eq \f(t－2,3)＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2，故选B.
若函数f(1﹣2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(eq \f(1,2))＝( )
A.1 B.3 C.15 D.30
【答案解析】答案为：C.
解析：由于f(1﹣2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则当1﹣2x＝eq \f(1,2)时，x＝eq \f(1,4)，所以f(eq \f(1,2))＝15.故选C.
设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2，x≥2，,lg2x，x<2，))若f(m)＝7，则实数m的值为( )
A.0 B.1 C.﹣3 D.3
【答案解析】答案为：D.
解析：①当m≥2时，由f(m)＝7得m2﹣2＝7，解得m＝3或m＝﹣3(舍去)，则m＝3；②当m＜2时，由f(m)＝7得lg2m＝7，解得m＝27＞2，舍去.综上可得，实数m的值是3.故选D.
若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x≤1，,5－x2，x>1，))则f(f(2))＝( )
A.1 B.4 C.0 D.5﹣e2
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意知，f(2)＝5﹣4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.
设函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 且f(1)＝6，则f(2)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意，得f(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f(2)＝lg2(2×2＋4)＝lg28＝3，故选C.
下列函数中，与y＝x相同的函数是( )
A.y＝eq \r(x2) B.y＝lg 10x C.y＝eq \f(x2,x) D.y＝(eq \r(x－1))2＋1
【答案解析】答案为：B.
解析：选项A，y＝eq \r(x2)＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B，y＝lg 10x＝x，是相同函数；选项C，y＝eq \f(x2,x)＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同；选项D，函数的定义域不相同，不是相同函数.故选B.
函数f(x)＝eq \r(－x2＋9x＋10)﹣ SKIPIF 1 < 0 的定义域为( )
A.[1,10] B.[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D.(1,2)∪(2,10]
【答案解析】答案为：D.
解析：要使原函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋9x＋10≥0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1＜x≤10且x≠2，
所以函数f(x)＝eq \r(－x2＋9x＋10)﹣ SKIPIF 1 < 0 的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(1)＋f(eq \r(2))＋f(eq \r(3))＋…＋f(eq \r(2 020))＝( )
A.44 B.45 C.1 009 D.2 018
【答案解析】答案为：A.
解析：由442＝1 936,452＝2 025可得eq \r(1)，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(2 020)中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f(eq \r(2))＋f(eq \r(3))＋…＋f(eq \r(2 020))＝44.
函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 则不等式f(x)＞1的解集为( )
A.(1,2) B.(﹣∞，eq \f(4,3)) C.(1，eq \f(4,3)) D.[2，＋∞)
【答案解析】答案为：A.
解析：当x＜2时，不等式f(x)＞1即ex﹣1＞1，∴x﹣1＞0，∴x＞1，则1＜x＜2；当x≥2时，不等式f(x)＞1即﹣lg3(x﹣1)＞1，∴0＜x﹣1＜eq \f(1,3)，∴1＜x＜eq \f(4,3)，此时不等式无解.综上可得，不等式的解集为(1,2).故选A.
二、填空题
已知函数f(x)＝2x﹣3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________.
【答案解析】答案为：{﹣1,1,3,5,7}.
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x﹣3＝﹣1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{﹣1,1,3,5,7}.
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域是________.
【答案解析】答案为：(﹣1,1).
解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x＋1)的定义域为(﹣1，＋∞)，要使函数y＝ SKIPIF 1 < 0 有意义，则﹣x2﹣3x＋4＞0，∴﹣4＜x＜1，∴函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域为(﹣1,1).
下列f(x)与g(x)表示同一函数的是________.
(1)f(x)＝eq \r(x2－1)与g(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)；
(2)f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x3＋x,x2＋1)；
(3)y＝x与y＝(eq \r(x))2；
(4)f(x)＝eq \r(x2)与g(x)＝eq \r(3,x3).
【答案解析】答案为：(2).
已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________________.
【答案解析】答案为：f(x)＝x2﹣1(x≥1).
解析：法一：设t＝eq \r(x)＋1(t≥1)，则x＝(t﹣1)2，
∴f(t)＝(t﹣1)2＋2(t﹣1)＝t2﹣2t＋1＋2t﹣2＝t2﹣1，∴f(x)＝x2﹣1(x≥1).
法二：∵x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1﹣1＝(eq \r(x)＋1)2﹣1，
∴f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2﹣1，∴f(x)＝x2﹣1(x≥1).
三、解答题
求下列函数的定义域：
(1)y＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣eq \r(1－x)； (2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).
【答案解析】解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x≤1.))
所以定义域为{x|x≤1且x≠﹣1}.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x>0，))得x≤﹣eq \f(1,2)或2≤x＜4，
所以定义域为{x|x≤﹣eq \f(1,2)或2≤x＜4}.
已知函数f(x)＝x2﹣2x(x＞1或x＜﹣1)，
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：f(x)＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1(x＞1或x＜﹣1)是抛物线y＝x2﹣2x去掉﹣1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图所示.
(1)由图可知，函数f(x)的值域为(﹣1，＋∞).
(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m＞3.
(1)已知f(x＋1)＝x2﹣3x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x).
【答案解析】解：(1)方法一 (配凑法)：∵f(x＋1)＝x2﹣3x＋2
＝(x＋1)2﹣5x＋1＝(x＋1)2﹣5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2﹣5x＋6.
方法二 (换元法)：令t＝x＋1，则x＝t﹣1，
∴f(t)＝(t﹣1)2﹣3(t﹣1)＋2＝t2﹣5t＋6，
即f(x)＝x2﹣5x＋6.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))
∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝﹣2x﹣8.
(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x﹣eq \f(1,x))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)﹣2f(﹣x)＝1＋2x，求f(x).
【答案解析】解：(1)方法一 (换元法)：令x＋1＝t，
∴x＝t﹣1，∴f(t)＝3(t﹣1)＋2＝3t﹣1，
∴f(x)＝3x﹣1.
方法二 (配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)﹣1，∴f(x)＝3x﹣1.
(2)∵f (x﹣eq \f(1,x))＝x2＋eq \f(1,x2)＝(x﹣eq \f(1,x))2＋2，
令t＝x﹣eq \f(1,x)，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)由题意，在f(x)﹣2f(﹣x)＝1＋2x中，
以﹣x代替x可得f(﹣x)﹣2f(x)＝1﹣2x，
联立方程组，消去f(﹣x)可得f(x)＝eq \f(2,3)x﹣1.
已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式.
【答案解析】解：由f(3)＝3，得b＝﹣3a﹣9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2﹣4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，
所以a＝﹣6，b＝9.
所以f(x)＝x2﹣5x＋9.
若函数f(x)满足对a，b∈R，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，求f(72).
【答案解析】解：∵a，b∈R时，f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，
∴f(72)＝f(8×9)
＝f(8)＋f(9)
＝f(4)＋f(2)＋f(3)＋f(3)
＝3f(2)＋2f(3)
＝3p＋2q.
已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与f(eq \f(1,2))，f(3)与f(eq \f(1,3))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f(eq \f(1,x))有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f(eq \f(1,2))＋f(3)＋f(eq \f(1,3))＋…＋f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值.
【答案解析】解：(1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1﹣eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1﹣eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，f(eq \f(1,2))＝1﹣eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5). f(3)＝1﹣eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，f (eq \f(1,3))＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f(eq \f(1,x))＝1.
证明如下：f(x)＋f(eq \f(1,x))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f(eq \f(1,x))＝1，∴f(2)＋f (eq \f(1,2))＝1，f(3)＋f (eq \f(1,3))＝1，
f(4)＋f(eq \f(1,4))＝1，…，f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1.
∴f(2)＋f(eq \f(1,2))＋f(3)＋f(eq \f(1,3))＋…＋f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 019.