安徽省六安皋城中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份安徽省六安皋城中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟，满分：150分
一、选择题（每题4分，共计40分．每题给出四个选项A、B、C、D，其中只有一个符合题目要求．）
1. 如图对称性表述，正确的是（ ）

A. 轴对称图形B. 旋转对称图形
C. 既是轴对称图形又是旋转对称图形D. 既不是轴对称图形又不是旋转对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；和旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，分别判断即可．
【详解】解：如图所示：既是轴对称图形又是旋转对称图形，
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
2. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 顶点坐标为B. 有最大值
C. 与轴无交点D. 对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解∶∵，
∴顶点坐标为，开口向下，
故选项A正确，但不符合题意；
∴二次函数有最大值，
故选项B正确，但不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，且函数有最大值，
∴函数图象与轴无交点，
故选项C正确，但不符合题意；
的对称轴为轴，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据合比性质即得．
详解】，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．
5. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，则的值为（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，点在轴的正半轴上，
∴，
∴点A的坐标为，
又∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式以及坐标与图形，解题的关键是利用等腰直角三角形的性质确定点A的坐标．
6. 如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7. 往水平放置的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，水的最大深度为，则该容器截面的半径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，过点O作于点C交于D，根据垂径定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点O作于点C交于D，
，
则，
∵，，
∴，
设的半径为，
中，，，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作的垂线，由此即可求解．
8. 如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则的长为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解∶ 解：弦，点C是靠近点B的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点D是靠近点A的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
9. 某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示：
在该函数图象上有和两点，且，，则与可以取的值是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，由此确定答案．
【详解】解：∵和时，；
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
∴抛物线的开口向下，
∵，，
∴，
由表格知当或时，；当时，，
∴或，，
故C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．
10. 如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到，，继而推出，可得点P在以为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时，最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
则，
∴点P在以为直径的圆上，
如图，设的中点为D，连接，即长度不变，

∴，
∴当C，D，P三点共线时，最小，此时，
∵，
∴，，
∴的最小值为，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出，得到点P在以为直径的圆上．
二、填空题（每题5分，共计20分）
11. 已知是关于的反比例函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的形式可得的值．
【详解】解：是关于的反比例函数，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
12. 如图，在菱形中，，于点，的延长线与的延长线交于点，则________．（表示面积）

【答案】
【解析】
【分析】设，则，根据勾股定理求出，然后证明，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶ ∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13. 如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接并延长到圆上一点D，可得出，由点和点得到，，由圆周角定理得到，则．
【详解】解：连接并延长到圆上一点D，

∵为直径，
∴，即x轴交于点D，
∵点，点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握性质定理是解题关键．
14. 抛物线与轴的两个交点为点和点，．
（1）抛物线的对称轴为________；
（2）若关于的方程在的范围内有实数根，则的取值范围是________．
【答案】 ①. 直线 ②.
【解析】
【分析】（1）直接利用对称轴公式计算即可；
（2）根据得出点A和点B的坐标，继而求出函数解析式，再画出相应图像，将方程的解转化为抛物线与直线在的范围内有交点，结合图像解答即可
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线；
故答案为：直线
（2）∵抛物线与轴的两个交点为点和点，，
∴，，即，，
将代入中，
得：，
∴，
∵方程在的范围内有实数根，
∴抛物线与直线在的范围内有交点，
当直线与直线重合时，
令，则，
当直线与直线重合时，
令，则，
∴直线在直线和直线之间，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】4．
【解析】
【分析】先计算特殊角的三角函数值，然后再合并同类项，即可得到答案.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点都在小正方形的顶点上．

（1）请在此网格中，以点为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于；
（2）将绕点按顺时针方向旋转得，在网格中画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别连接、、，并令，，，即可确定的位置；
（2）借助网格，分别找出点和的位置，连接即可．
【小问1详解】
解：如图即为所求，
【小问2详解】
解：如图即为所求，
【点睛】本题考查网格作图，理解位似两个图形，顶点与位似中心连线之比等于位似比是正确画出图形的关键．另外在画旋转图形时，需明确旋转中心、旋转方向和旋转角度．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据比例的性质知，，．将它们代入所求的代数式，通过约分求值．
【详解】解：设，
则，，，
∴
．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握由，得到，，的解题方法．
18. 如图，我国某海域有，两个港口，相距80海里，港口在港口的东北方向，点处有一艘货船，该货船在港口的北偏西30°方向，在港口的北偏西75°方向，求货船与港口之间的距离．（结果保留根号）
【答案】货船与港口之间的距离是海里
【解析】
【分析】过点作于，先求出，在中，，由三角函数定义求出，求出，则是等腰直角三角形，得出海里即可．
【详解】解：过点作于点
根据题意，得
∵
∴
∴
在中
∵，
∴
∵
∴
在中
∵，
∴
答：货船与港口之间的距离是海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 直线与双曲线交于点和点．

（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）4.5
【解析】
【分析】（1）把点代入，可得双曲线的解析式为，再求出，再把A，B代入，即可求解；
（2）设直线交y轴于D，可得，，再根据计算，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，即，
∴双曲线的解析式为；
把点代入得，，
∴，
把A，B代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线交y轴于D，
，
当时，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
20. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为8，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；
（2）由证得，运用正弦的概念可得结论．
【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA．
∵EF=PF，
∴∠EPF=∠PEF
∵∠APH=∠EPF，
∴∠APH=∠EPF，
∴∠AEF=∠APH．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°．
∴∠OAE+∠APH=90°．
∴∠OEA+∠AEF=90°
∴∠OEF=90°
∴OE⊥EF．
∵OE是的半径
∴EF是圆的切线，
（2）∵CD⊥AB
∴是直角三角形
∵
∴
设，则
由勾股定理得，
由（1）得，是直角三角形
∴
∴，即
∵
∴
解得，
【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴上，且，连接，于点，于点，连接、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用证明，得出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）证明，利用相似三角形的性质列式求出，然后利用勾股定理求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 某一种苹果在农贸水果市场需求量（万斤）、市场供应量（万斤）与市场价格（元/斤）分别满足下列关系：，，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该苹果的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该苹果的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
【答案】（1）平衡价格为5元斤，平衡需求量为万斤
（2）当时，市场销售额取得最大值为万元
【解析】
【分析】（1）令，再解方程可得的值，把的值代入或，可得平衡需求量；
（2）分和两种情况列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：令，则，
解得，
，
答：平衡价格为5元斤，平衡需求量为万斤；
【小问2详解】
令，，则，
解得：，
当时，，
，
，对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大．
当时，最大，
当时，，
，
，对称轴为直线，
当时，最大，
综上，当时，市场销售额取得最大值为万元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，正确得出函数关系式是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 在四边形中，，，点是边的中点，连接、，．

（1）如图1，若，连接，求证：；
（2）如图2，点是边的中点；
①若，求的长；
②直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求，，，然后利用两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形是相似三角形即可得证；
（2）①过D作于M，交于N，连接，利用三线合一的性质求出，证明四边形是平行四边形，得出，利用三角形中位线定理得出∴，，可证，得出，设，则，，，证明，得出，可求，，然后利用勾股定理即可求解；
②过E作交于Q，可证，求出，证明，得出，设，则，，利用平行线分线段成比例可求，，则，，证明，可求，，，最后代入化简即可．
【小问1详解】
证明：∵，，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①过D作于M，交于N，连接，
，
又，
∴，
又，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵F是中点，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②过E作交于Q，
，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴， ，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
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