考点03 天体质量和密度的计算（解析版）—高中物理

这是一份考点03 天体质量和密度的计算（解析版）—高中物理，共8页。

1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
典例1(利用“重力加速度法”计算天体质量和密度)设在地球上和在某未知天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和该天体的半径比也为k，则地球质量与该天体的质量比为( )
A．1 B．k C．k2 D.eq \f(1,k)
答案 B
解析 在地球和天体的表面附近，物体的重力近似等于物体受到的万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，竖直上抛时上升的最大高度H＝eq \f(v02,2g)，联立解得M＝eq \f(v02R2,2HG)，则M地∶M天＝(eq \f(R地,R天))2·eq \f(H天,H地)＝k，故选B.
典例2(利用“环绕法”计算天体质量和密度)(多选)(2021·东北师大附中高一月考)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
答案 AD
解析 月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T12)r，解得地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT12)，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Geq \f(mm0,R2)＝m0eq \f(4π2,T22)R，解得月球的质量m＝eq \f(4π2R3,GT22)，则月球的密度ρ＝eq \f(m,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT22),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22)，D正确．
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可得，地球质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确.
2.(多选)(2023·黑龙江省鹤岗一中高三检测)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2r,R2)
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得M＝eq \f(v2r,G)，月球体积V＝eq \f(4,3)πR3 ，所以月球平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3) ，故A错误，B正确；在月球表面，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得月球表面重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(v2r,R2)，故C错误，D正确．
3.(2023·天津·期末)如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A.M＝eq \f(4π2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,Gt2R3)
B.M＝eq \f(4π2R＋h2,Gt2)，ρ＝eq \f(3πR＋h2,Gt2R3)
C.M＝eq \f(4π2t2R＋h3,Gn2)，ρ＝eq \f(3πt2R＋h3,Gn2R3)
D.M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2)，ρ＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)
答案 D
解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)(eq \f(2π,T))2，其中T＝eq \f(t,n)，解得M＝eq \f(4π2n2R＋h3,Gt2)；又土星体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3πn2R＋h3,Gt2R3)，故D正确.
4.(2023·绍兴·期中)2019年1月3日，我国探月工程“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面的预选着陆区．在着陆之前，“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度约为262 km的圆形停泊轨道上，绕月飞行一周的时间约为8 000 s，已知月球半径约为1 738 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可计算出月球的质量约为( )
A．7.4×1022 kg B．6×1024 kg
C．6.4×1023 kg D．2×1030 kg
答案 A
解析 根据Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，代入数据解得M≈7.4×1022 kg，故选A.
5.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是密度均匀的球体，引力常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量( )
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
答案 C
解析 根据密度公式得ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，这里的R为该行星的半径，若仅已知飞船的轨道半径或行星的质量，无法求出行星的密度，A、D错误；已知飞船的运行速度，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得M＝eq \f(v2R,G)，代入密度公式后，无法求出行星的密度，故B错误；根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，解得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，代入密度公式得ρ＝eq \f(3π,GT2)，C正确.
6．(2023·重庆市模拟)2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为100 min.已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min.估算火星的平均密度约为( )
A．3.8×103 kg/m3 B．4.0×103 kg/m3
C．4.2×103 kg/m3 D．4.5×103 kg/m3
答案 B
解析 卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·eq \f(4π,3)R3，联立可得ρ＝eq \f(3π,GT2)∝eq \f(1,T2)，则有eq \f(ρ火,ρ地)＝eq \f(T地2,T火2)，解得火星的平均密度约为ρ火＝eq \f(T地2,T火2)ρ地＝eq \f(852,1002)×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误．
7．(2022·松原市模拟)2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕．若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，引力常量为G，则火星的质量为( )
A.eq \f(v3T,2πG) B.eq \f(v2T2,2πG) C.eq \f(vT3,2πG) D.eq \f(v3T,4πG)
答案 A
解析 “天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，则有T＝eq \f(2πr,v)，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，联立解得火星的质量M＝eq \f(v3T,2πG)，故选A.
8.(2023·广州·期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20).该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
A.eq \f(1,10) B.1 C.5 D.10
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得M∝eq \f(r3,T2)，已知eq \f(r51,r地)＝eq \f(1,20)，eq \f(T51,T地)＝eq \f(4,365)，则eq \f(M恒,M太)＝(eq \f(1,20))3×(eq \f(365,4))2≈1，B项正确.
9.1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是( )
A.地球的质量m地＝eq \f(GR2,g)B.太阳的质量m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))
C.月球的质量m月＝eq \f(4π2Leq \\al(2,1),GTeq \\al(2,1))D.由题中数据可求月球的密度
答案 B
解析 若不考虑地球自转，根据地球表面物体所受的万有引力等于重力，有Geq \f(m地m,R2)＝mg，则m地＝eq \f(gR2,G)，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有Geq \f(m太m地,Leq \\al(2,2))＝m地eq \f(4π2,Teq \\al(2,2))L2，则m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误.
10．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G) C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)
答案 A
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，又V＝eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，故选A.
11.(2023·甘肃·期末)若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的( )
A.27倍 B.3倍 C.0.5倍 D.9倍
答案 A
解析 物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq \f(GM,R2)，质量M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立解得g＝eq \f(4,3)πGρR，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·eq \f(4,3)πR3可知，星球质量是地球质量的27倍，故A正确.
12.(2023·合肥·联考)若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是( )
A.可以求出该行星的质量 B.可以求出太阳的质量
C.ρT2是定值 D.eq \f(T2,r3)是定值
答案 C
解析 设该行星的质量为M，卫星的质量为m，该行星的半径为R，根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2R,T2)得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，则ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，故ρT2＝eq \f(3π,G)是定值，选项C正确；因无法求解该行星的半径R，则无法求解该行星的质量，选项A错误；只知道该行星到太阳的距离无法求解太阳的质量，选项B错误；因为T不是该行星绕太阳的转动周期，则eq \f(T2,r3)不是定值，选项D错误.
13.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误．
14．2018年2月，我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/
kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，此时Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，
又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3
整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)
＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3
≈5×1015 kg/m3，故选C.
15.(多选)(2021·福建卷·8)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖．他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示．图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120 AU(太阳到地球的距离为1 AU)，S2的运行周期约为16年．假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出( )
A．S2与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．S2在P点与Q点的速度大小之比
D．S2在P点与Q点的加速度大小之比
答案 BCD
解析 设银河系中心超大质量的致密天体质量为M，恒星S2绕银河系中心(银心)做椭圆轨道运动的椭圆半长轴为a，半焦距为c，根据题述Q与O的距离约为120 AU，可得a－c＝120 AU，又有椭圆偏心率(离心率)约为eq \f(c,a)＝0.87，联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期也为TS2，因此Geq \f(M致密mS2,a2)＝mS2a( EQ \F(2π,Ts2) )2，对地球围绕太阳运动，有Geq \f(M太阳m地,r2)＝m地r( EQ \F(2π,T1) )2，而a＝120r，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误，B正确；由开普勒第二定律有eq \f(1,2)vP(a＋c)＝eq \f(1,2)vQ(a－c)，可解得S2在P点与Q点的速度大小之比为eq \f(vP,vQ)＝eq \f(a－c,a＋c)，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有Geq \f(M致密mS2,a＋c2)＝mS2aP，Geq \f(M致密mS2,a－c2)＝mS2aQ，联立可解得S2在P点与Q点的加速度大小之比为eq \f(aP,aQ)＝eq \f(a－c2,a＋c2)，选项D正确．