华中科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试卷(含答案)

这是一份华中科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知点,经过点作直线l,若直线l与连接,两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为( )
A.B.C.D.
2、已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若,则A,B,C,M四点共面的充要条件是( )
A.B.C.D.
3、袋子中有大小,形状,质地完全相同的4个小球,分别写有“风”,“展”,“红”,“旗”四个字,若有放回地从袋子中任意摸出一个小球,直到写有“红”,“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,用1,2,3,4分别代表“风”,“展”,“红”,“旗”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:
411,231,324,412,112,443,213,144,331,123
114,142,111,344,312,334,223,122,113,133
由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率为( )
A.B.C.D.
4、一束光线从点出发,经轴反射到圆上的最短距离为( )
A.B.C.D.
5、设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是( )
A.4B.10C.5D.
6、设F是椭圆上的右焦点,P是椭圆上的动点,A是直线上的动点,则的最小值为( )
A.B.5C.D.4
7、鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图,在鳖臑中,平面ABC,,D,E分别是棱AB,PC的中点,点F是线段DE的中点,则点F到直线AC的距离是( )
A.B.C.D.
8、已知椭圆的上顶点,左右焦点分别为,连接,并延长交椭圆于另一点P,若,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中不放回地依次随机摸出2个球,则( )
A.“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B.“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C.“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D.“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
10、若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是( )
A.B.C.D.
11、如图,棱长为的正方体的外接球的球心为O,E,F分别为棱AB,的中点,G在棱BC上,则( )
A.对于任意点G,平面EFG
B.存在点G,使得平面平面EFG
C.直线EF被球O截得的弦长为
D.过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
12、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中,已知,点满足,设点的轨迹为圆C,则下列说法正确的是( )
A.圆C的方程是
B.过点向圆C引切线,两条切线的夹角为
C.过点作直线l,若圆C上恰有三个点到直线的距离为,则该直线的斜率为
D.过直线上的一点向圆C引切线PM,PN,则四边形PMCN的面积的最小值为
三、填空题
13、中秋节吃月饼是我国的传统习俗,若一盘中共有两种月饼,其中3个五仁月饼,4个蛋黄月饼,现从盘中任取2个都是相同馅月饼的概率为______.
14、如图,在的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知,,,则__________.
15、若三条直线,,不能围成三角形,则实数m取值的集合为____________.
16、如图,矩形ABCD中,,,平面ABCD,若在线段BC上至少存在一个点Q满足,则的取值范围是________.
四、解答题
17、已知直线.
（1）若直线l与直线平行,求的值;
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
18、已知圆,圆.
（1）求圆与圆的公共弦长;
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
19、如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
（1）;
（2）异面直线与所成角的余弦值.
20、年月日中国神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.在太空停留期间,航天员们开展了两次“天宫课堂”,在空间站进行太空授课,极大的激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此,某班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动,竞赛规则是:两人一组,两人分别从3个题中不放回地依次随机选出个题回答,若两人答对题数合计不少于题,则称这个小组为“优秀小组”.现甲乙两位同学报名组成一组,已知3个题中甲同学能答对的题有个,乙同学答对每个题的概率均为,并且甲,乙两人选题过程及答题结果互不影响.
（1）求甲同学选出的两个题均能答对的概率;
（2）求甲乙二人获“优秀小组”的概率.
21、如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中,,,,为棱BC上的点,且.
（1）求证:DE⊥平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若点Q在棱CP上(不与点C,重合),直线QE能与平面PCD垂直吗?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
22、如图,长轴长为4的椭圆的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于,Q两点,直线PA,QA与y轴分别交于M,N两点,当直线PQ的斜率为时,.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试问是否存在定点T,使得恒成立?若存在,求出定点T的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析:由题得,,
因为直线l与连接,两点的线段总有公共点,
结合图可知,.
故选:C
2、答案：B
解析:O是平面ABC外任意一点,且,
若A,B,C,M四点共面的充要条件是,即.
故选:B.
3、答案：B
解析:由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有:324,443,334,共有3个.
由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选:B
4、答案：A
解析:由题意,圆的标准方程为,
所以圆C的圆心坐标为,半径,
又点关于轴的对称点为,
所以,
所以,所求最短距离为.
故选:A.
5、答案：C
解析:由题意可知,动直线经过定点,
动直线即,经过定点,
因为,所以动直线和动直线始终垂直,
又是两条直线的交点,
则有,,
故,
故选:C.
6、答案：C
解析:由题可知,,.设椭圆左焦点为,则.
由椭圆定义有,则
又将椭圆方程与直线方程联立有,
其,故直线与椭圆相离.
如图,要使最小,只需保证与直线垂直即可.
此时,P,A三点共线,则,
故.
由上可知A,B,D错误,C正确.
故选:C.
7、答案：B
解析:因为,且是直角三角形,所以.以为原点,分别以,的方向为,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,,,,则,.故点到直线的距离.
故点F到直线AC的距离是.
8、答案：C
解析:由题意得,,
所以,则,
由椭圆的定义可得,
所以,
因为,
所以,解得,,
在中,,
在中,,
因为,
所以,即,
所以
所以.
故选:C
9、答案：BC
解析:对A,“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况,故A错误;
对B,“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生,且不是对立事件,故为互斥事件,故B正确;
对C,“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件,故C正确;
对D,事件“第一次摸到的是白球”的概率,事件“第二次摸到的是黑球”的概率,又,因为,故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”不相互独立,故D错误;
故选:BC
10、答案：BC
解析:设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m,则,即.
因为,则,所以.
对A,,,不满足;
对B,,,满足;
对C,,,满足;
对D,,,不满足.
故选:BC.
11、答案：BC
解析:对于A选项,当G与重合时,平面EFB,平面EFB,此时直线OA与平面EFG相交,A错误;
对于B选项,因为四边形ABCD为正方形,则,
当为的中点时,,则,
平面ABCD,平面ABCD,则,
因为,则平面,
因为平面,所以,同理,,
因为,所以平面EFG,即平面EFG,
平面ODA,故平面平面EFG,B正确;
对于C选项,取EF的中点M,,E为AB的中点,则,
,同理可得,则.
因为平面ABCD,平面ABCD,则,
所以,,则,
球O的半径为,所以直线EF的被球O截得的弦长为,C正确;
设截面圆半径为,球心O到截面的距离为a,则.
因为,则,所以截面圆面积,D错误,
故选:BC.
12、答案：ABD
解析:对于A,因为,,点满足,设,则,
化简得,,即,故A正确;
对于B,因为,,设两条切线的夹角为,所以,解得,则,故B正确;
对于C,易知直线的斜率存在,设直线l的方程为,即,
因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线的距离,解得,故C错误;
对于D,由题意可得,故只需求PC的最小值即可,PC的最小值为点C到直线的距离,即,所以四边形PMCN的面积的最小值为,故D正确.
故选:ABD.
13、答案：
设从盘中任取2个都是相同馅月饼为事件A,
则.
故答案为:.
14、答案：
解析:,所以
,所以,故填:.
15、答案：
解析:当三条直线交于一点时不能围成三角形:由,
解得和的交点A的坐标,
由A在上可得,
解得
因为与相交,所以当,,有两条直线平行时不能围成三角形,
当时,,即,
当时,,即,
显然与不可能重合.
综上,m＝1,－,时,这三条直线不能围成三角形,
实数m的取值集合是.
故答案为:.
16、答案：
平面ABCD,平面ABCD,
,
又,,
平面PAQ,又平面PAQ,
,
所以点Q是以AD中点为圆心,以AD为直径的圆与BC的交点,
,,在线段BC上至少存在一个点Q满足,
.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）或
解析:（1）因为,所以,解得.
（2）令,得,即直线l在y轴上的截距为.
令,得,即直线l在x轴上的截距为.
因为直线l在两坐标轴上的截距相等,
所以,解得或.
则直线l的方程是或.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,
即,化简得,
所以圆的圆心到直线的距离为,
则,解得,
所以公共弦长为.
（2）解法一:
设过两圆的交点的圆为,
则;
由圆心在直线上,则,解得,
所求圆的方程为,即.
解法二:
由（1）得,代入圆,
化简可得,解得;
当时,;当时,;
设所求圆的圆心坐标为,
则,解得;
所以;
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）设,,,则,
,
,,;
,
（2）由（1）得,,
,
,
,
所以,,
由于异面直线所成角的取值范围是,
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）设三个题中甲能答对的题编号为a,b,答错的题编号为1,
则样本空间,
共有6个样本点,两个题均能答对的有2个样本点,
由古典概型的概率公式可得两个题均能答对的概率为.
（2）设表示“甲答对的题数为i”,表示“乙答对的题数为i”,
C表示“甲,乙二人获得优秀小组”.
由（1）知由古典概型得或.
由事件的独立性,,.
由题意,.
而事件,,两两互斥,事件与相互独立,,
.
所以,甲,乙二人获“优秀小组”的概率为.
21、答案：（1）见解析
（2）
（3）见解析
解析:（1）因为平面ABCD,所以,,又
则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,,
所以,,
所以,,且,AP,平面PAC
所以平面PAC.
（2）由（1）知是平面PAC的一个法向量.
,.
设平面PCD的一个法向量为,
所以,即
令,则,,
所以,
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）由（1）得,,,.
设,则,
可得,所以.
由（2）知是平面的一个法向量.
若平面,可得
则,该方程无解,
所以直线QE不能与平面PCD垂直.
22、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意可知,,则椭圆方程即,
当直线PQ的斜率为时,,
故设,,解得,
将代入得,即,
故,所以椭圆的标准方程为;
（2）设,,则,
则,,
由椭圆方程可得,直线PA方程为︰,
令可得,
直线QA方程为:,令得,
假设存在定点T,使得,则定点T必在以MN为直径的圆上,
以MN为直径的圆为,
即,
,即
,
令,则,解得,
以MN为直径的圆过定点,即存在定点,使得.