2023-2024学年江苏省常州市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线，.当时，的值为（ ）
A．1B．C．或1D．
3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
5．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为30°
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
11．圆：和圆：的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为D．
12．已知是双曲线的左､右焦点，且到的一条渐近线的距离为为坐标原点，点为右支上的一点，则（ ）
A．
B．过点且斜率为1的直线与有两个不同的交点
C．若斜率存在，则
D．的最小值为
三、填空题
13．若直线平分圆的周长，则ab的最大值为
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ．
15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则双曲线E的离心率为 ．
16．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值 ．
四、解答题
17．已知直线l经过点，倾斜角为．
(1)若，求直线l的斜截式方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程．
18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
19．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.
20．如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.
(1)已知，求切线的方程；
(2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.
21．已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆方程，且圆心满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，过与垂直的直线交圆于两点，为线段中点，求的面积的取值范围.
22．已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为．
(1)求的半径；
(2)若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值．
1．C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
2．B
【分析】利用两直线平行的充要条件即得.
【详解】由直线，，
∴，得.
故选：B.
3．D
不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程.
【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知，
由于是等边三角形，则，所以，，
由题意可得，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
故选：D.
4．C
【分析】由直线、曲线方程画出图象示意图，应用数形结合法知：判断与曲线为何种位置关系时有且仅有一个公共点，即可求的取值范围.
【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，

要使它们有且仅有一个公共点，则在第二象限与曲线相切或直线截距在，
当在第二象限与曲线相切时，，可得.
综上，的取值范围或.
故选：C
5．C
由题意知，进而根据椭圆的第二定义可得：过 A作右准线的垂线，交与B点，可知最小值为.
【详解】由椭圆可得：，
，
，
，
根据椭圆的第二定义：过A作左准线的垂线，交与B点，
如图，
则的最小值为，
的最小值为 ,
故选：C
6．C
【分析】由题意得直线过定点，直线过定点，且，从而得点在以为直径的圆上，又点是圆上的动点，从而可得的最大值为与两圆半径之和，再计算即可得解．
【详解】解：由题意可得直线过定点，直线过定点，当时，，
当时，的斜率，的斜率，因为，得，
点A在以为直径的圆上（不包含O），且圆心，半径，
又点是圆上的动点，且圆心，半径，
的最大值为．
故选：C.
7．A
【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解.
【详解】设，则，
因为，可得，整理得，
即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足，
即，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：A.
8．D
【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件有，进而即得.
【详解】因为过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且，
所以四边形为矩形，
由椭圆的对称性知：，而，
所以，
则且M在第一象限，
整理得，
所以，
所以，
又，即，
所以，整理得，
所以.
故选：D.
9．ABC
【分析】由斜率公式求出直线AB的斜率即可判断A，
根据两条直线垂直求出a，进而判断B，
利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C，
作B关于x轴的对称点C，进而利用对称性得到答案，进而判断D.
【详解】对A，，故A错误；
对B，若两条直线垂直，则2a-3=0，得，故错误；
对C，直线可化为，则两条直线间的距离，故C错误；
对D，如图，设点B关于x轴的对称点为C（-1，-1），
则，当且仅当A,P,C三点共线时取“=”，故D正确.
故选：ABC.
10．AD
【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】利用两圆的方程相减即可得出公共弦方程，进而判断A；
由两直线位置关系可得线段AB的垂直平分线的斜率，结合和直线的点斜式方程即可判断B；
利用几何法求出弦长即可判断C；
将直线AB方程联立方程，求出点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即两圆的公共弦AB所在直线的方程为，故A正确；
B：由，知，半径，
由，知，半径，
由选项A可知线段AB的垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，故B正确；
C：圆心到直线的距离为，
所以公共弦AB的长为，故C错误；
D：，消去y，得，解得或，则或1，
若，，则，
若，，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C、D利用双曲线的定义即可解决.
【详解】设双曲线的半焦距为，其中一条渐近线为：
因为到的一条渐近线的距离为，
即，所以，又，所以，故A正确；
对于B，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为，
联立，消去得：，只有一个交点，故B错误；
对于C，设，则，，故C错误；
对于D，由双曲线的定义可知，当且仅当三点共线时取得等号，故D正确，
故选：AD.
13．
【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出ab的最大值.
【详解】由题意得，直线过圆心，所以，
所以，（当且仅当，即，取“=”），
又，所以ab的最大值为.
故答案为.
14．
【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求.
【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，,

因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得,
.
故答案为.
15．##
【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率.
【详解】如图，由⊥，，可得，
在Rt中，由，不妨设，则，
由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，
所以，，
故在中，，即，
故，
故双曲线E的离心率为．
故答案为.
16．
【分析】根据题意得到，求得，设，可得，进而求得和，即可求得的值.
【详解】因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为，
又因为虚轴的两端点为，所以，
在中，由三角形的面积公式值，即，
因为，可得，即，
又因为，解得，
设，可得，所以，
在中，可得，
所以，
菱形的面积，
所以.
故答案为.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可以先求出直线的斜率，然后写出点斜式方程，将其化成斜截式方程即可.
（2）分两种情况来讨论，截距为0或者截距不为0，根据题意分别求出两种情况所对应的直线方程即可.
【详解】（1）由题可知：倾斜角为满足，又，且注意到，
所以解得，所以直线l的斜率为，
故直线l的方程为，化成斜截式得．
（2）当截距为零时，直线方程为；
当截距不为零时，设所求直线的方程为，将代入得，解得，
直线方程为，即．
所求直线的方程为或．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；
（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，
设，，
联立，消去，得，
则，，，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以．
20．(1)或
(2)直线MN恒过定点，定点坐标为
【分析】（1）易知当切线斜率不存在时其方程为；当切线斜率存在时设其方程为，两圆直线与圆位置关系建立方程，解之即可求解；
（2）如图，易知四点共圆，由题意求出其圆心坐标和半径，进而可得圆的标准方程，连接，则为两圆的公共弦.利用两圆的方程相减即可求解.
【详解】（1）由题意知，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即，由圆心到切线的距离等于半径，
得，解得，则切线方程为.
综上，切线方程为或.
（2）连接，则，连接，
则四点共圆，为圆的直径，设为圆，
连接，则为两圆的公共弦.
又，半径为，
所以，又，
两圆的方程相减，得，
即直线MN的方程为，即，
所以直线MN恒过定点.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心满足求得椭圆的标准方程；
（2）若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，可求出的面积；的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，分别求出弦长和点到的距离，代入面积公式中，利用的范围求出的面积的取值范围．
【详解】（1）由题意可知：，，
，故，
从而，，椭圆的方程为
（2）①若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，
此时
②的斜率存在时，设，设，，
由，消，得，
，，，
，直线与椭圆相交，故，即
，为线段中点，，
又，，，又点到的距离，
令，则，
令，在单调递减，故
综上，
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式和面积公式，考查换元法求最值，属于中档题．
22．(1)或
(2)存在，使得．
【分析】（1）由题意可设点的坐标为，圆的半径为，，利用垂径定理即可列式求得值，进一步得到圆的半径为或．
（2）由，得，则圆的方程为．设点，，当直线的斜率存在时，设直线，联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线，斜率之和为，可得．代入，可得直线方程，再由直线系方程证明直线恒过定点，然后证明直线的斜率不存在时不合题意，即可证明直线恒过定点，从而得到当为，的中点时为定值．
【详解】（1）圆过点，，圆心在的垂直平分线上，
由已知点在直线上，且点，关于原点对称，
点在直线上，则点的坐标为．
圆与直线相切，圆的半径为，
连接，由已知得，
又，故可得，
整理得，解得或，
故圆的半径为或．
（2）由（1）及可知，则圆的方程为，
设，，
当直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
代入圆方程可得：，则，得，
且，，
所以
．
又直线，斜率之和为，，
得．
代入，得，
直线恒过定点．
当直线的斜率不存在时，，，，
直线，斜率之和为，，解得，
但，且，故不合题意，舍去．
综上，直线恒过定点．
又，是垂足，所以当为，的中点时，则，
此时．
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.